Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Графы-экспандеры

2017-12-22T15:39:08Z

Stelnov: /* Теорема о паросочетаниях */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leqslant \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра <tex>\{v, pi_{i}(v)\}</tex> попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leqslant \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено небольше <tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leqslant \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leqslant \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leqslant k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leqslant n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leqslant \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leqslant k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leqslant </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leqslant \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== Теорема о паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leqslant \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:
# <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>. Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.
# Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>. Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>. По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>). Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда: <tex>\Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex> Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>. Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>(-1, 1)</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия {{---}} алгебраическая и теоретико {{---}} групповая, вторая {{---}} аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья {{---}} комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>.

В качестве множества вершин графа возьмём <tex>V = \mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex> (таким образом, граф будет содержать <tex>n^{2}</tex> вершин). Каждая вершина <tex>(x, y)</tex> из <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex> соединяется рёбрами со следующими восьмую вершинами:

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

(все арифметические вычисления производятся по модулю <tex>n</tex>). Таким образом, степень каждой вершины графа равна 8. При достаточно больших <tex>n</tex> в этом графе не будет кратных рёбер.

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leqslant 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и [[PCP-теорема|Теорема PCP]]. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leqslant d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://compsciclub.ru/media/course_class_attachments/expanders-notes-spb-appendix.pdf Приложение к лекциям об экспандерах (CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-22T15:32:30Z

Stelnov: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leqslant \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра <tex>\{v, pi_{i}(v)\}</tex> попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leqslant \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено небольше <tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leqslant \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leqslant \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leqslant k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leqslant n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leqslant \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leqslant k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leqslant </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leqslant \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== Теорема о паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leqslant \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>(-1, 1)</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия {{---}} алгебраическая и теоретико {{---}} групповая, вторая {{---}} аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья {{---}} комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>.

В качестве множества вершин графа возьмём <tex>V = \mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex> (таким образом, граф будет содержать <tex>n^{2}</tex> вершин). Каждая вершина <tex>(x, y)</tex> из <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex> соединяется рёбрами со следующими восьмую вершинами:

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

(все арифметические вычисления производятся по модулю <tex>n</tex>). Таким образом, степень каждой вершины графа равна 8. При достаточно больших <tex>n</tex> в этом графе не будет кратных рёбер.

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leqslant 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и [[PCP-теорема|Теорема PCP]]. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leqslant d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://compsciclub.ru/media/course_class_attachments/expanders-notes-spb-appendix.pdf Приложение к лекциям об экспандерах (CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-22T15:30:37Z

Stelnov: /* Маргулис-Габбер-Галил */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leqslant \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра <tex>\{v, pi_{i}(v)\}</tex> попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leqslant \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено небольше <tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leqslant \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leqslant \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leqslant k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leqslant n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leqslant \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leqslant k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leqslant </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leqslant \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== Теорема о паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leqslant \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>(-1, 1)</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия {{---}} алгебраическая и теоретико {{---}} групповая, вторая {{---}} аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья {{---}} комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>.

В качестве множества вершин графа возьмём <tex>V = \mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex> (таким образом, граф будет содержать <tex>n^{2}</tex> вершин). Каждая вершина <tex>(x, y)</tex> из <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex> соединяется рёбрами со следующими восьмую вершинами:

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

(все арифметические вычисления производятся по модулю <tex>n</tex>). Таким образом, степень каждой вершины графа равна 8. При достаточно больших <tex>n</tex> в этом графе не будет кратных рёбер.

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leqslant 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и [[PCP-теорема|Теорема PCP]]. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leqslant d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-22T15:08:40Z

Stelnov: /* Маргулис-Габбер-Галил */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leqslant \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра <tex>\{v, pi_{i}(v)\}</tex> попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leqslant \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено небольше <tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leqslant \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leqslant \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leqslant k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leqslant n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leqslant \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leqslant k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leqslant </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leqslant \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== Теорема о паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leqslant \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>(-1, 1)</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия {{---}} алгебраическая и теоретико {{---}} групповая, вторая {{---}} аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья {{---}} комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\cfrac{\mathbb Z}{n \mathbb Z}</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leqslant 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и [[PCP-теорема|Теорема PCP]]. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leqslant d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-22T15:05:01Z

Stelnov:

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leqslant \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра <tex>\{v, pi_{i}(v)\}</tex> попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leqslant \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено небольше <tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leqslant \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leqslant \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leqslant k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leqslant n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leqslant \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leqslant k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leqslant </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leqslant \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== Теорема о паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leqslant \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>(-1, 1)</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия {{---}} алгебраическая и теоретико {{---}} групповая, вторая {{---}} аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья {{---}} комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb \cfrac{Z}{n} \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leqslant 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и [[PCP-теорема|Теорема PCP]]. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leqslant d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-22T15:00:17Z

Stelnov: /* Двудольный экспандер */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leqslant \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра <tex>\{v, pi_{i}(v)\}</tex> попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leqslant \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено небольше <tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leqslant \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leqslant \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leqslant k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leqslant n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leqslant \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leqslant k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leqslant </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{\tfrac{1 - \epsilon}{\epsilon}} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leqslant \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== Теорема о паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leqslant \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>(-1, 1)</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия {{---}} алгебраическая и теоретико {{---}} групповая, вторая {{---}} аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья {{---}} комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leqslant 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и [[PCP-теорема|Теорема PCP]]. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leqslant d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-22T14:53:14Z

Stelnov:

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leqslant \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра <tex>\{v, pi_{i}(v)\}</tex> попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leqslant \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено небольше <tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leqslant \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leqslant \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leqslant k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leqslant n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leqslant \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leqslant k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leqslant </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leqslant \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== Теорема о паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leqslant \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>(-1, 1)</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия {{---}} алгебраическая и теоретико {{---}} групповая, вторая {{---}} аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья {{---}} комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leqslant 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leqslant 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и [[PCP-теорема|Теорема PCP]]. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leqslant d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-22T14:31:44Z

Stelnov:

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leqslant \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leqslant \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия {{---}} алгебраическая и теоретико {{---}} групповая, вторая {{---}} аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья {{---}} комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:44:09Z

Stelnov: /* Конструирование */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия {{---}} алгебраическая и теоретико {{---}} групповая, вторая {{---}} аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья {{---}} комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:37:06Z

Stelnov: /* Двудольный экспандер */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \cfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:34:22Z

Stelnov: /* Спектральное расширение */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где <tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex> {{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:32:35Z

Stelnov: /* Спектральное расширение */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n} v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:31:33Z

Stelnov: /* Лемма о перемешивании */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу и Линайл показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:29:19Z

Stelnov: /* Однородный (комбинаторный) экспандер */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \cfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\cfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\cfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \cfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\cfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:25:26Z

Stelnov: /* Коды, исправляющие ошибки */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \cfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:24:50Z

Stelnov: /* Спектральное расширение */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\cfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:21:51Z

Stelnov: /* Основные определения */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' (англ. ''set of neighbors'') для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:17:06Z

Stelnov: /* Основные определения */

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
'''Множество соседей''' для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:16:33Z

Stelnov:

{{Определение
|definition=
'''Граф-экспандер''' (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:14:32Z

Stelnov: /* Двудольный экспандер */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'') называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:13:24Z

Stelnov: /* Двудольный экспандер */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' (англ. ''Bipartite expander'' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:09:00Z

Stelnov: /* Лемма о перемешивании */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\cfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\cfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(\tfrac{1}{\lambda})))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T17:07:15Z

Stelnov: /* Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, \ldots , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, \ldots , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>\cfrac{1}{3}</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \cfrac{7d|A|}{8}</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями. <tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>\cfrac{2}{3}</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>\cfrac{d}{3}</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>\cfrac{7d}{8}(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + \cfrac{2d|T|}{3}</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant \cfrac{3|S|}{5}</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T16:54:31Z

Stelnov: /* Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>\cfrac{1}{d}</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в <tex>B</tex>. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>\cfrac{n}{1000d}</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7nd}{8 \cdot 1000d} = \cfrac{7n}{8000} > \cfrac{n}{2000}</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T16:48:01Z

Stelnov: /* Коды, исправляющие ошибки */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = \tfrac{1}{2000d}</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.

===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T16:44:29Z

Stelnov: /* Спектральное расширение */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{\tfrac{1}{2}}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения <tex>A</tex>, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T16:42:17Z

Stelnov: /* Реберное расширение */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>\cfrac{n}{2}</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T16:40:31Z

Stelnov: /* Однородный (комбинаторный) экспандер */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>\bigg(\cfrac{ne}{k}\bigg)^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[\bigg(\cfrac{s}{n}\bigg)^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T16:36:02Z

Stelnov: /* Двудольный экспандер */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[(\tfrac{s}{n})^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\cfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>\cfrac{ne}{2 ^ {\epsilon d}}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>\cfrac{ne}{2^{\epsilon d}} < \cfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T16:29:47Z

Stelnov: /* Двудольный экспандер */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[(\tfrac{s}{n})^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < \tfrac{1}{2}</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>\tfrac{|T|}{m}</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq \cfrac{1}{2}</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot \tfrac{1}{2} ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем <tex>ne \cdot \tfrac{1}{2}^{\epsilon d} < \tfrac{1}{2}</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-21T16:22:51Z

Stelnov: /* Однородный (комбинаторный) экспандер */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' (англ. ''combinatorial expander'') называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq \tfrac{n}{2} \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>\tfrac{n}{2}</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>\tfrac{d}{2}</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>\tfrac{n}{2}</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{\tfrac{d|S|}{2}} \leq \sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot \bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{\tfrac{sd}{2}} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{\tfrac{n}{2}} \bigg[(\tfrac{s}{n})^{\tfrac{d}{2} - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{\tfrac{d}{2}} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq \tfrac{n}{2}</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>\tfrac{1}{2}</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:29:24Z

Stelnov: объединил основные определения и определения расширений

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==

{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>
==== Однородный (комбинаторный) экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

==== Двудольный экспандер ====
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

==== теорема о Паросочетаниях ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:20:47Z

Stelnov: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:18:56Z

Stelnov: /* Источники информации */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:17:56Z

Stelnov:

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория Графов]]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:16:34Z

Stelnov:

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref> и Теорема PCP<ref>Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410</ref> и Гилмана<ref>D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:14:15Z

Stelnov: /* Маргулис-Габбер-Галил */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref> и Теорема PCP<ref>[Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459]</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>[M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410]</ref> и Гилмана<ref>[D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765]</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:13:41Z

Stelnov: /* Приложения и полезные свойства */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]]</ref>=''L''<ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref> и Теорема PCP<ref>[Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459]</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>[M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410]</ref> и Гилмана<ref>[D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765]</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:12:59Z

Stelnov: /* Приложения и полезные свойства */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} Сеть сортировки]]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]</ref>=''L''<ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref> и Теорема PCP<ref>[Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459]</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>[M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410]</ref> и Гилмана<ref>[D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765]</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:11:18Z

Stelnov: /* Приложения и полезные свойства */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} ?]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[[wikipedia:SL_(complexity)|Wikipedia {{---}} SL complexity]</ref>=''L''<ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref> и Теорема PCP<ref>[Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459]</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>[M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410]</ref> и Гилмана<ref>[D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765]</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

Графы-экспандеры

2017-12-20T22:09:15Z

Stelnov:

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. <tex>(1)</tex>

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. <tex>(2)</tex>

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части <tex>(2)</tex> было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма <tex>(1)</tex> меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[[wikipedia:Cheeger_constant|Wikipedia {{---}} константа Чигера]]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[[wikipedia:Spectral theorem|Wikipedia {{---}} спектральная теорема]]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\frac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>[[wikipedia:Cayley_graph|Wikipedia {{---}} граф Кэли]]</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[[wikipedia:Expander_code|Wikipedia {{---}} корректирующие коды]]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[[wikipedia:Pseudorandom_number_generator|Wikipedia {{---}} генератор псевдослучайных чисел]]</ref>, сетях сортировки<ref>[[wikipedia:Sorting_network|Wikipedia {{---}} ?]</ref> и компьютерных сетях<ref>[[wikipedia:Computer_network|Wikipedia {{---}} компьютерные сети]]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/SL_(complexity)]</ref>=''L''<ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref> и Теорема PCP<ref>[Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459]</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[[wikipedia:Erdős–Rényi model|Wikipedia {{---}} Erdős–Rényi model]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf|Lifts, discrepancy and nearly optimal spectral gap]]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[[wikipedia:Chernoff_bound|Wikipedia {{---}} граница Чернова]]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>[M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410]</ref> и Гилмана<ref>[D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765]</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[[wikipedia:Randomized_algorithm|Wikipedia {{---}} теория дерандомизации]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

Графы-экспандеры

2017-12-20T21:45:43Z

Stelnov: /* Маргулис-Габбер-Галил */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. (1)

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. (2)

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части (2) было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма (1) меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Cheeger_constant]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\tfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером и Галилом <ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Expander_code]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudorandom_number_generator]</ref>, сетях сортировки<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Sorting_network]</ref> и компьютерных сетях<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_network]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/SL_(complexity)]</ref>=''L''<ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref> и Теорема PCP<ref>[Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459]</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93R%C3%A9nyi_model]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>[M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410]</ref> и Гилмана<ref>[D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765]</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Randomized_algorithm]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]

Графы-экспандеры

2017-12-20T21:43:44Z

Stelnov: /* Реберное расширение */

{{Определение
|definition=
Граф-экспандер (или расширяющийся граф, англ. ''expander graph'') {{---}} в комбинаторике сильно разреженный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]], при этом связность определяется по вершинам, дугам или спектру. Это конечный ненаправленный ''мультиграф'', в котором любое подмножество вершин, не являясь «слишком большим», имеет «сильную» связность.
}}

Любой связный граф является экспандером, однако различные связные [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|графы]] имеют различные параметры расширителя. [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|Полный граф]] имеет лучшие параметры расширителя, но имеет наибольшую возможную степень. Неформально говоря, граф является хорошим экспандером, если он имеет низкую степень и высокий параметр расширителя.
== Основные определения ==
{{Определение
|definition=
Множество соседей для множества вершин <tex>S</tex> называется <tex>\Gamma(S) = \{v: \exists w \in S:\ (v, w) \in E\}</tex>.
}}
'''Замечание:''' в графе могут присутствовать кратные ребра и петли. Если у каждой вершины есть петли, то <tex>\forall S: S \supseteq \Gamma(S)</tex>.
=== Однородный (комбинаторный) экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Однородный (комбинаторный) экспандер''' называется [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|граф]] <tex>G = (V, E)</tex> с параметрами <tex>(n, d, \epsilon) \ (n = |V|</tex>, d {{---}} степень каждой вершины, константа <tex>\epsilon < 1)</tex>, если выполняется условие:
для <tex>\ \forall S: S \subseteq V, \ |S| \leq n/2 \ \ \exists \ \Gamma(S)</tex>, которое достаточно велико, то есть <tex>|\Gamma(S)| > (1 + \epsilon)|S|</tex>.
}}
'''Замечание:''' чем больше <tex>\epsilon</tex>, тем сильнее свойство расширения.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число меньшее <tex>1</tex>. Тогда для всех достаточно больших четных <tex>d = d(\epsilon)</tex> и всех <tex>n</tex> существует однородный (комбинаторный) экспандер с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
|proof=
Мы выберем граф случайно и покажем, что с положительной (и даже довольно близкой к <tex>1</tex>) вероятностью такой граф оказывается экспандером. Отсюда будет следовать, что экспандеры существуют.

Оценим вероятность того, что полученный в результате граф не является экспандером, если найдется множество вершин <tex>S</tex> (состоящее из не более, чем <tex>n/2</tex> вершин), все соседи которого лежат в некотором множестве <tex>T</tex>, состоящем из <tex>\lfloor (1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex> вершин.

Зафиксируем некоторые множества вершин <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Зафиксируем номер перестановки <tex>\pi_{i}</tex>. Вероятность того, что для каждой вершины <tex>v \in S</tex> второй конец ребра {<tex>v, pi_{i}(v)</tex>} попадёт в <tex>T</tex>, равна

<tex>\cfrac{|T|}{n} \cdot \cfrac{|T| - 1}{n - 1} \cdot \ldots \cdot \cfrac{|T| - |S| + 1}{n - |S| + 1} \leq \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{|S|}</tex>.

Поскольку мы выбираем <tex>d/2</tex> перестановок независимо, вероятность того, что данное событие произойдёт для всех <tex>i</tex> не превосходит <tex>\bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>.
Таким образом,

Вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex>\leq \sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|}</tex>,
где суммирование происходит по всем множествам вершин <tex>S</tex> размера не более <tex>n/2</tex> и по всем множествам <tex>T</tex> размера <tex>\lfloor(1 + \epsilon)|S|\rfloor</tex>.

Оценим сумму:

<tex>\sum\limits_{S, T} \bigg(\cfrac{|T|}{n}\bigg)^{(d/2)|S|} \leq \sum\limits_{s = 1}^{n/2} \dbinom{s}{n} \cdot \dbinom{(1 + \epsilon)s}{n} \cdot (\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n})^{sd/2}</tex>. (1)

Каждый биномиальный коэффициент <tex>\dbinom{k}{n}</tex> можно оценить сверху величиной <tex>(\cfrac{ne}{k})^{k}</tex>. Тогда

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{n/2}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{ne}{(1 + \epsilon)s}\bigg)^{(1 + \epsilon)s} \cdot
\bigg(\cfrac{(1 + \epsilon)s}{n}\bigg)^{sd/2} =</tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{n/2} \bigg[(s / n)^{d/2 - 2 - \epsilon} \cdot (1 + \epsilon)^{d/2} \cdot \cfrac{e^{1 + \epsilon} }{(1 + \epsilon)^{1 + \epsilon} }\bigg]^s</tex>. (2)

Заметим, что <tex>s \leq n/2</tex>, а <tex>1 + \epsilon < 2</tex>. Таким образом, можно подобрать такое
<tex>d = d(\epsilon)</tex>, чтобы выражение в квадратных скобках в правой части (2) было меньше <tex>1/2</tex> при всех значениях <tex>\epsilon</tex>. Следовательно, сумма (1) меньше единицы. Что означает, что с положительной вероятностью случайный граф является экспандером с параметрами <tex>(n, d, \epsilon)</tex>.
}}

=== Двудольный экспандер ===
{{Определение
|definition=
'''Двудольный экспандер''' называется [[Двудольные графы|двудольный граф]] <tex>G = (L,\ R,\ E)\ (L</tex> и <tex>R</tex> {{---}} вершины левой и правой доли соответственно, <tex>E</tex> {{---}} ребра графа <tex>G</tex>) с параметрами <tex>(n,\ m,\ d,\ e)\ (n = |L|,\ m = |R|,\ d</tex> - степень всех вершин в левой доле), если выполняется условие: для <tex>\forall S: S \subseteq L \ |S| \leq k \ \ |\Gamma(S)| > (1 - \epsilon)d|S|</tex>.
}}
'''Замечание 1:''' чем меньше значение <tex>\epsilon</tex> в данном определении, тем сильнее свойство расширения.

'''Замечание 2:''' в приложениях как правило используют двудольные экспандеры с <tex>\epsilon < 1/2</tex>, а для применения в теории кодирования (для построения экспандерных кодов) часто требуются двудольные экспандеры с ещё меньшими значениями <tex>\epsilon</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\epsilon</tex> {{---}} некоторое положительное число. Тогда для <tex>\forall \ n</tex> и <tex>k \leq n</tex> найдется <tex>d = O(\log n)</tex> и <tex>m = O(dk)</tex> такие, что <tex>\exists</tex> двудольный экспандер с параметрами <tex>(n, m, d, k, \epsilon)</tex>.
|proof=
Выберем случайный граф, то есть для <tex>\forall \ v \in L</tex> случайно и независимо выбираем <tex>d</tex> соседей в <tex>R</tex> (разрешаются кратные ребра). Покажем с большой вероятностью такой граф оказывается экспандером.

Граф не является экспандером, если <tex>\exists T \subset R: \ |T| = (1 - \epsilon)d|S|</tex> и <tex>\exists S \subset L: \ \Gamma(S) = T</tex>.

Поскольку при случайном выборе графа мы приводим все <tex>nd</tex> рёбер случайно и независимо, то для <tex>\forall</tex> ребра вероятность того, что его правый конец окажется в фиксированном множестве <tex>T</tex>, равна <tex>|T|/m</tex>. Следовательно, вероятность, что свойство экспандерности графа нарушено <tex> \leq \ \sum\limits_{S, T}\bigg(\cfrac{|T|}{m}\bigg)^{sd}</tex>,

где суммирование происходит по всем множествам <tex>S \subset L \ |S| \leq k \ \forall T: T \subset R \ |T| = (1 - \epsilon)d|S| </tex>. Оценим данную сумму сверху:

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k} \dbinom{s}{n} \* \dbinom{(1 - \epsilon)sd}{m} \* \bigg(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{sd}</tex>.

Оценивая биномиальные коэффициенты, получаем, что сумма не превосходит

<tex>
\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg(\cfrac{ne}{s}\bigg)^{s} \cdot
\bigg(\cfrac{me}{(1 - \epsilon)sd}\bigg)^{(1 - \epsilon)sd} \cdot
(\cfrac{(1 - \epsilon)sd}{m})^{sd}
\leq </tex>

<tex>\sum\limits_{s = 1}^{k}
\bigg[\cfrac{ne}{s} \cdot
\bigg(\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot
(1 - \epsilon)sd}{m}\bigg)^{\epsilon d}\bigg]^{s}
</tex>.

Положим <tex>m = Const * kd</tex> (с достаточно большим значением <tex>Const</tex>), чтобы для всех возможных s выполнялось неравенство <tex>\cfrac{e^{(1 - \epsilon)/\epsilon} \cdot (1 - \epsilon)sd}{m} \leq 1/2</tex>. Тогда выражение в квадратных скобках не превосходит <tex>ne \cdot (1/2) ^{\epsilon d}</tex>. Остаётся выбрать <tex>d > \cfrac{1}{\epsilon}\log(2en)</tex>, и мы получаем

<tex>ne \cdot (1/2)^{\epsilon d} < 1/2</tex>.

Таким образом, для выбранных значений параметров сумм не превосходят <tex>1</tex>. Это означает, что с положительной вероятностью случайный двудольный граф является экспандером c параметрами <tex>(n, \ m, \ k, \ d, \ \epsilon)</tex>.
}}
'''Замечание:''' константы в <tex>O</tex> зависят от <tex>\epsilon</tex>.

=== теорема о Паросочетаниях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный граф]].
<tex>G</tex> имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда <tex>\forall S: S \supseteq L \ |S| \leq \Gamma(S)</tex>.
|proof=
Будем доказывать по индукции

Для <tex>|L| = 1</tex> очевидно

Предположим, что верно для <tex>L: |L| < m</tex>

Рассмотрим два случая:

1. <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>.

Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание.

2. Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>.

Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>.

По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>).
Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда:

<tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex>

Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>.

Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.
}}

== Определения расширений ==
===Реберное расширение===
''Рёберное расширение'' (также ''изопериметрическое число'' или константа Чигера<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Cheeger_constant]</ref>) <tex>h(G)</tex> графа <tex>G</tex> для <tex>n</tex> вершин определяется как

<tex>h(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\partial_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где минимум берётся по всем непустым множествам <tex>S</tex> не более чем <tex>n/2</tex> вершин и <tex>\partial(S)</tex> — ''граничные дуги'' множества <tex>S</tex>, то есть, множество дуг с единственной вершиной в <tex>S</tex>.

===Вершинное расширение===
''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{out}(G)</tex> (также ''вершинное раширение'') графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{out}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{out}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{\text{out}}(S)</tex> — ''внешняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин из <tex>V(G)\setminus S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>S</tex>.

<tex>\Gamma_{\text{out}}(S) = \{v \in V(G) \diagdown S: \exists w \in S (v, w) \in E\}</tex>.

''Вершинное изопериметрическое число'' <tex>h_{in}(G)</tex> графа <tex>G</tex> определяется как

<tex>h_{in}(G) = \min\limits_{0 < |S|\leqslant \cfrac{n}{2}} \cfrac{|\Gamma_{\text{in}}(S)|}{|S|}</tex>,

где <tex>\Gamma_{in}(S)</tex> — ''внутренняя граница'' <tex>S</tex>, то есть множество вершин <tex>S</tex>, имеющих как минимум одного соседа в <tex>V(G)\setminus S</tex>.

<tex>\Gamma_{in}(S) = \Gamma(S) \diagdown \Gamma_{in}(S)</tex>

===Спектральное расширение===

Если <tex>G</tex> является [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярным]], возможно определение в терминах [[Алгебра|линейной алгебры]] на основе собственных значений [[Матрица смежности графа|матрицы смежности]] <tex>A = A(G)</tex> графа <tex>G</tex>, где <tex>A_{ij}</tex> {{---}} число дуг между вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Поскольку <tex>A</tex> является симметричной, согласно спектральной теореме<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0]</ref>, <tex>A</tex> имеет <tex>n</tex> действительных собственных значений <tex>\lambda_{1} \ge \lambda_{2} \ge \cdots \ge \lambda_{n}</tex>. Известно, что эти значения лежат в промежутке <tex>[-d, d]</tex>.
Граф регулярен тогда и только тогда, когда вектор <tex>u\in \mathbb {R} ^{n}</tex> с <tex>u_{i}=1</tex> для всех <tex>i = 1 \ldots n</tex> является собственным вектором матрицы <tex>A</tex>, а его собственное число будет постоянной степенью графа. Таким образом, мы имеем <tex>Au = du</tex>, и <tex>u</tex> — собственный вектор матрицы <tex>A</tex> с собственными значениями <tex>\lambda_{1} = d</tex>, где <tex>d</tex> — степень вершин графа <tex>G</tex>. Спектральный зазор графа <tex>G</tex> определяется как <tex>d-\lambda_{2}</tex> и является мерилом спектрального расширения графа <tex>G</tex>.

Известно, что <tex>\lambda_{n} = -d</tex> тогда и только тогда, когда <tex>G</tex> {{---}} [[Двудольные графы|двудольный]]. Во многих случаях, например в [[Графы-экспандеры#Лемма о перемешивании|лемме о перемешивании]], необходимо ограничить снизу не только зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и <tex>\lambda_{2}</tex>, но и зазор между <tex>\lambda_{1}</tex> и вторым максимальным по модулю собственным значением:

<tex>\lambda=\max\{|\lambda_{2}|, |\lambda_{n}|\}</tex>

Поскольку это собственное значение соответствует некоторому собственному вектору, ортогональному <tex>u</tex>, его можно определить, используя отношение Рэлея:
<tex>\lambda=\max\limits_{0\neq v\perp u} \cfrac{\|Av\|_2}{\|v\|_2},</tex>

где

<tex>\|v\|_2=\left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)^{1/2}</tex>

{{---}} евклидова норма вектора <tex>v\in \mathbb {R} ^{n}</tex>.

Нормализованная версия этого определения также широко используется и более удобна для получения определённых результатов. В таком случае рассматривается матрица <tex>{\tfrac {1}{d}}A</tex>, являющаяся матрицей переходов графа G. Все её собственные значения лежат между <tex>-1</tex> и <tex>1</tex>. Если граф не регулярен, спектр графа может быть определён аналогичным образом, используя собственные значения [[Матрица Кирхгофа|матрицы Кирхгофа]]. Для направленного графа используются сингулярные значения матрицы сопряжения A, которые равны квадратным корням из собственных значений симметричной матрицы <tex>A^TA</tex>.

==Конструирование==
Существуют три основные стратегии создания семейств графов расширений. Первая стратегия — алгебраическая и теоретико-групповая, вторая — аналитическая, использующая аддитивную комбинаторику, и третья — комбинаторная, использующая зигзаг-произведение и связанные комбинаторные произведения.
===Маргулис-Габбер-Галил===
[[Алгебра|Алгебраическое]] конструирование, основанное на графах Кэли<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph</ref>, известно для различных вариантов экспандеров. Следующее конструирование принадлежит Маргулису и было проанализировано Габбером (Gabber) и Галилом (Galil)<ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref>. Для любого натурального <tex>n</tex> строим граф, <tex>G_{n}</tex> со множеством вершин <tex>\mathbb Z _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, где <tex>\mathbb {Z} _{n}=\mathbb Z /n \mathbb Z</tex> . Для любой вершины <tex>(x,y)\in \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{n}</tex>, её восемь соседей будут

<tex>(x \pm 2y,y), (x \pm (2y+1),y), (x,y \pm 2x), (x,y \pm (2x+1)).</tex>

Выполняется следующая теорема:
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall n</tex> граф <tex>G_{n}</tex> второе по величине собственное число удовлетворяет неравенству

<tex>\lambda(G)\leq 5 \sqrt{2}</tex>.
}}

===Граф Рамануджана===
{{Теорема
|statement=
[[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] называется графом Рамануджана, если его второе по модулю собственное число <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} - o(1)</tex>.
}}

'''Замечание:''' случайный [[Основные определения теории графов#Часто используемые графы|d-регулярный граф]] с <tex>n</tex> вершинами почти является графом Рамануджана, так как выполняется неравенство <tex> \lambda \leq 2\sqrt {d-1} + \epsilon</tex> с вероятностью <tex>1 - o(1)</tex> при <tex>n \to \inf</tex>.

==Примеры применения экспандеров==
===Коды, исправляющие ошибки===
С помощью расширяющего графа можно посторить линейный код, позволяющий исправлять ошибки в доле <tex>\delta = 1/(2000d)</tex> битов. Чтобы задать линейный код с длиной кодового слова n, достаточно описать его проверочную матрицу <tex>H</tex> <tex>(</tex>слово <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> является кодовым словом если и только если <tex>Hx^t = 0)</tex>. Другими словами, нужно задать систему линейных уравнений для переменных <tex>x_1, \ldots , x_n</tex> решения этой системы и будут кодовыми словами.
===Увеличение вероятности успеха в алгоритмах с датчиком случайных чисел===
{{Определение
|definition=Язык <tex>L</tex> принадлежит сложностному [[RP|классу ''RP'']], если существует полиномиальный алгоритм <tex>A</tex> такой что
1. для <tex>x \in L</tex> для всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> <tex>A(x, r) = 1</tex>
2. для <tex>x \notin L</tex> не более чем для 1/2000 всех <tex>r \in \{0, 1\}^{poly(n)}</tex> может выполняться <tex>A(x, r) = 1</tex>
}}

Покажем, что для любого <tex>\epsilon > 0</tex> полиномиальный вероятностный алгоритм A можно модифицировать таким образом, чтобы вероятность ошибки уменьшилась до <tex>\epsilon</tex>, а число используемых случайных битов не изменится.

Пусть исходный алгоритм использует <tex>k = k(n)</tex> случайных битов для вычислений на входах длины <tex>n</tex>. Зафиксируем <tex>(2^k, 2^k, d)</tex> - экспандер <tex>G</tex>, где <tex>d > 1/\epsilon</tex>. Новый алгоритм действует следующим образом: выбирается случайная вершина <tex>v</tex> из левой доли графа (для этого требуется <tex>k</tex> случайных битов); затем исходный алгоритм <tex>A</tex> последовательно запускается на всех <tex>d</tex> наборах случайных битов, соответствующих соседям вершины <tex>v</tex>. Если все полученные ответы равны <tex>1</tex>, новый алгоритм также возвращает единицу; в противном случае возвращается ноль.
Покажем, что у нового алгоритма вероятность ошибки не превосходит <tex>1/d</tex>. В самом деле, обозначим <tex>B = B(x)</tex> множество таких вершин <tex>w</tex> из правой доли графа, которые соответствуют неверному ответу старого алгоритма на входе <tex>x</tex>; аналогично, обозначим <tex>S = S(x)</tex> множество таких вершин v из левой доли графа, которые для которых новый алгоритм даёт неверный ответ на входе <tex>x</tex>. Очевидно, <tex>S</tex> состоит из вершин, все соседи которых лежат в B. Предположим, что <tex>S</tex> содержит не менее <tex>n/(1000d)</tex> вершин. Выберем среди них ровно <tex>n/(1000d)</tex> вершин и назовём это множество <tex>S'</tex>. По свойству экспандера, имеем

<tex>|\Gamma(S')| \geqslant \cfrac{7}{8}d\cfrac{n}{1000d}=7n/8000 > n/2000</tex>

Это противоречит тому, что все соседи <tex>S'</tex> лежат в <tex>B</tex>. В данном случае нам нужна явная в более сильном (чем в первом примере) смысле конструкция экспандера. Размер графа экспоненциално растёт с увеличенем <tex>k</tex>, и нам необходим алгоритм, который по заданному номеру вершины <tex>v</tex> (из левой доли графа) за время <tex>poly(k)</tex> находит список номеров всех соседей этой вершины (в правой доле графа).

===Хранение множества со сверхбыстрым запросом элементов===
Мы организуем хранение m-элементного множества <tex>S \subset \{1, . . . , n\}</tex> в виде описания <tex>X</tex>, состоящего из <tex>O(m log n)</tex> битов. При этом проверка принадлежности <tex>a \in S</tex> будет производиться чрезвычайно быстро. А именно, мы построим такой вероятностный алгоритм, который по любому входу <tex>a</tex> запрашивает из <tex>X</tex> один бит; если этот бит оказывается равным единице, то алгоритм отвечает, что <tex>a</tex> является элементом <tex>S</tex>; в противном случае алгоритм говорит, что <tex>a</tex> множеству не принадлежит. При этом для каждого <tex>a \in \{1, . . . , n\}</tex> алгоритм ошибается с вероятностью не более <tex>1/3</tex>.

Чтобы построить нужное нам хранилище <tex>X</tex>, мы сначала зафиксируем некоторый экспандер, у которого левая доля <tex>L</tex> состоит из <tex>n</tex> вершин, правая <tex>R</tex> из <tex>k = O(m log n)</tex> вершин, степень всех вершин левой доли одинакова и равна некоторому <tex>d</tex>, и для каждого <tex>A \subset L</tex> размера не более <tex>2m</tex>

<tex>|\Gamma(A)| \geqslant \frac{7}{8}d|A|</tex>

<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.<tex>X</tex> будет состоять в разметке вершин правой доли нулями и единицами. Эту разметку нужно выбрать таким образом, чтобы у каждой вершины из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены единицей, а у каждой вершины не из <tex>S</tex> не менее <tex>2/3</tex> соседей были помечены нулями.

Остаётся объяснить, как построить нужную нам разметку правой доли графа. Будем строить её последовательными приближениями. Сначала пометим всех соседей всех вершин из <tex>S</tex> единицами, а все остальные вершины – нулями. На данной разметке наш алгоритм с вероятностью <tex>1</tex> возвращает правильный ответ для всех <tex>a \in S</tex>. Однако для <tex>a</tex> не из <tex>S</tex> проверочный алгоритм может работать неверно. Обозначим T множество всех таких вершин вне <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены единицей. Поменяем разметку: пометим всех соседей <tex>T</tex> нулём. Теперь разметка может стать плохой для части вершин из <tex>S</tex>. Обозначим <tex>S'</tex> множество всех таких вершин из <tex>S</tex>, у которых более <tex>d/3</tex> соседей помечены нулями. Далее, поменяем разметку у
всех соседей <tex>S'</tex> на единицы. После этого может вновь возникнуть множество ‘неправильных’ вершин вне <tex>S</tex>, и т.д.

Чтобы доказать, что данный процесс в конце концов сойдётся, нужно показать, что на каждом шаге число ‘проблемных’ вершин уменьшается в константу раз. Поскольку все шаги аналогичны, достаточно разобрать самый первый: докажем, что <tex>T</tex> в константу раз меньше, чем <tex>S</tex>. Мы воспользуемся тем, что для <tex>S \cup T</tex> выполнено свойство расширения:

<tex>(7/8)d(|S|+|T|) \leqslant |\Gamma(S \cup T)| \leqslant d|S| + (2/3)d|T|</tex>

Откуда получаем <tex>|T| \leqslant 3/5|S|</tex>.

==Приложения и полезные свойства==
Первоначально интерес к экспандерам возник с целью построения устойчивой сети (телефонов или компьютеров) — число дуг графов расширения с ограниченным значением регулярности растет линейно по отношению к числу вершин.

Экспандеры нашли широкое применение в теории вычислительных машин и систем, для построения алгоритмов, в корректирующих кодах<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Expander_code]</ref>, экстракторах, генераторах псевдослучайных чисел<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudorandom_number_generator]</ref>, сетях сортировки<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Sorting_network]</ref> и компьютерных сетях<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_network]</ref>. Они также используются для доказательства многих важных результатов в теории вычислительной сложности, таких как ''SL''<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/SL_(complexity)]</ref>=''L''<ref>[Omer Reingold Undirected connectivity in log-space // Journal of the ACM. — 2008. — Т. 55, вып. 4. — DOI:10.1145/1391289.1391291]</ref> и Теорема PCP<ref>[Irit Dinur The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 12. — DOI:10.1145/1236457.1236459]</ref>. В криптографии экспандеры используются для создания [[Универсальное семейство хеш-функций|хеш-функций]].

===Лемма о перемешивании===
Лемма о перемешивании утверждает, что для любых двух подмножеств вершин <tex>S,T\subseteq V</tex> число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex> примерно равно числу рёбер в случайном <tex>d</tex>-регулярном графе. Приближение тем лучше, чем меньше <tex>\lambda =\max\{|\lambda _{2}|</tex>,<tex>|\lambda _{n}|\}</tex>. В случайном <tex>d</tex>-регулярном графе, также как и в случайном графе Эрдёша — Реньи<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93R%C3%A9nyi_model]</ref> с вероятностью <tex>{\tfrac {d}{n}}</tex> выбора ребра, ожидается <tex>{\tfrac {d}{n}}\cdot |S|\cdot |T|</tex> рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>.

Более формально, пусть <tex>E(S, T)</tex> обозначает число рёбер между <tex>S</tex> и <tex>T</tex>. Если эти два множества пересекаются, дуги в пересечении считаются дважды, так что

<tex>E(S,T)=2|E(G[S\cap T])|+E(S\setminus T,T)+E(S,T\setminus S)</tex>.
Лемма о перемешивании утверждает, что

<tex>\left|E(S,T)-{\cfrac {d\cdot |S|\cdot |T|}{n}}\right|\leq d\lambda {\sqrt {|S|\cdot |T|}}</tex>,
где <tex>\lambda </tex> — абсолютное значение нормализованного второго по величине собственного значения.

Недавно Билу (Bilu) и Линайл (Linial) показали, что обратное тоже верно, то есть, при условии выполнения неравенства из леммы второе по величине собственное значение равно <tex>O(d\lambda \cdot (1+\log(1/\lambda )))</tex><ref>[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/raman_lift.pdf]</ref>.

===Блуждания по экспандеру===
Согласно границе Чернова<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound]</ref>, если выбирать много независимых случайных значений из интервала <tex>[-1, 1]</tex>, с большой степенью вероятности среднее выбранных значений будет близко к [[Математическое ожидание случайной величины|математическому ожиданию]] случайной переменной. Лемма о блуждании по экспандеру, согласно статьям Аджтари, Комлоша и Семереди<ref>[M. Ajtai,J. Komlós,E. Szemerédi Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing // ACM. — 1987. — С. 132–140. — ISBN 0-89791-221-7. — DOI:10.1145/28395.28410]</ref> и Гилмана<ref>[D. Gillman A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs // SIAM Journal on Computing. — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. — Т. 27, вып. 4,. — С. 1203–1220. — DOI:10.1137/S0097539794268765]</ref>, утверждает, что то же самое верно и для блужданий по экспандеру. Это полезно в теории дерандомизации<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Randomized_algorithm]</ref>, поскольку блуждание по экспандеру использует много меньше случайных бит, чем случайная независимая выборка.

== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Алгебра]]

==Примечания==

<references />

==Источники информации==
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) Экспандер (теория графов)]
*[https://compsciclub.ru/courses/expanders/2017-spring/classes/ Экспандеры и их применения (курс CS club)]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders-notes-2014.pdf Экспандеры: конструкции и приложения]
*[https://www.mccme.ru/~anromash/courses/expanders2009.pdf Определения и несколько примеров применений]
*[http://www.tcs.tifr.res.in/~prahladh/teaching/05spring/ Expanders in Computer Science]
*[http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/expander_survey.pdf S. Hoory, N. Linial, A. Wigderson. Expander graphs and their applications. Bulletin of the AMS, vol. 43, Number 4, Oct. 2006, pp.439 561.]
*[ H. Buhrman, P.B. Miltersen, J. Radhakrishnan, S. Venkatesh. Are Bitvectors optimal? SIAM J. Comput., 31(6):1723–1744, 2002.]