http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=VolhovM
Викиконспекты - Вклад участника [ru]
2026-05-19T14:44:04Z
Вклад участника
MediaWiki 1.30.0
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=35123
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-05T01:23:29Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явные формулы===<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}</tex><br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
*<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - подмножество <tex>\{1,2...n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> <br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль)<br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> (вторая явная формула)<br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
#:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
#:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=35122
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-05T01:05:29Z
<p>VolhovM: /* Явная формула */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>n</tex>-той строки равен 1, а второй {{---}} <tex>2^{n} - (n + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{n}-(n + 1)2^n + \frac{(n+1)n}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop 0}\right\rangle = {{n + 1} \choose {0}}1^{n}</tex><br />
:<tex>\left\langle{n\atop 1}\right\rangle = - {{n + 1} \choose {1}}1^{n} + {{n + 1} \choose {0}}2^{n} </tex><br />
:<tex>\left\langle{n\atop 2}\right\rangle = {{n + 1} \choose {2}}1^{n} - {{n + 1} \choose {1}}2^{n} + {{n + 1} \choose {0}}3^{n} </tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить (по индукции), что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n</tex><br />
<br />
Убедимся в верности формул:<br />
:<tex>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = (-1)^{1-1+1} {4 \choose 1}1^3 + (-1)^(1-2+1) {4 \choose 0} 2^3 = -4+8 = 4;</tex><br />
:<tex>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = {4 \choose 0}(1+1-0)^3 - {4 \choose 1}(1+1-1)^3 = 1*8-4*1 = 4;</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
*<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - подмножество <tex>\{1,2...n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> <br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль)<br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> (вторая явная формула)<br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
#:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
#:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=35089
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-04T20:49:49Z
<p>VolhovM: /* Явная формула */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>n</tex>-той строки равен 1, а второй {{---}} <tex>2^{n} - (n + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{n}-(n + 1)2^n + \frac{(n+1)n}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop 0}\right\rangle = {{n + 1} \choose {0}}1^{n}</tex><br />
:<tex>\left\langle{n\atop 1}\right\rangle = - {{n + 1} \choose {1}}1^{n} + {{n + 1} \choose {0}}2^{n} </tex><br />
:<tex>\left\langle{n\atop 2}\right\rangle = {{n + 1} \choose {2}}1^{n} - {{n + 1} \choose {1}}2^{n} + {{n + 1} \choose {0}}3^{n} </tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n</tex><br />
<br />
Убедимся в верности формул:<br />
:<tex>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = (-1)^{1-1+1} {4 \choose 1}1^3 + (-1)^(1-2+1) {4 \choose 0} 2^3 = -4+8 = 4;</tex><br />
:<tex>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = {4 \choose 0}(1+1-0)^3 - {4 \choose 1}(1+1-1)^3 = 1*8-4*1 = 4;</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
*<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - подмножество <tex>\{1,2...n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> <br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль)<br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> (вторая явная формула)<br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
#:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
#:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=35080
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-04T19:59:22Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m}(-1)^k {n+1\choose k} (m+1-k)^n</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
*<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - подмножество <tex>\{1,2...n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> <br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль)<br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> (вторая явная формула)<br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
#:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
#:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=35079
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-04T19:56:15Z
<p>VolhovM: /* Явная формула */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m}(-1)^k {n+1\choose k} (m+1-k)^n</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
*<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - подмножество <tex>\{1,2...n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
#:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
#:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=35077
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-04T19:50:09Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
*<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - подмножество <tex>\{1,2...n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
#:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
#:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=35076
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-04T19:37:41Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
*<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное подмножеству <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
#:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
#:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=35074
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-04T19:36:38Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <br />
<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
<br />
<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное подмножеству <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
#:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
#:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=35073
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-04T19:35:36Z
<p>VolhovM: /* Вывод рекуррентной формулы */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <br />
<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
<br />
<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное подмножеству <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34879
Числа Эйлера I и II рода
2014-01-01T13:38:45Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <br />
<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;<br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;<br />
<br />
<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;<br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное подмножеству <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.<br />
<br />
|proof=С доказательством можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке.<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34773
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-27T07:44:34Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство; <br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; <br />
<br />
<tex>[n] := {1,2...n}</tex>; <br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+ := (max\{r,0\})^n</tex>.<br />
<br />
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:HypercubeEuler2_2.png&diff=34772
Файл:HypercubeEuler2 2.png
2013-12-27T07:42:27Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div></div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34771
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-27T07:18:17Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство; <br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; <br />
<br />
<tex>[n] := {1,2...n}</tex>; <br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+ := (max\{r,0\})^n</tex>.<br />
<br />
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
}} <br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0_%D0%B8_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%B9%D0%B0&diff=34770
Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа
2013-12-27T07:14:01Z
<p>VolhovM: /* Задача о числе раскрасок прямоугольника */</p>
<hr />
<div>Иногда требуется провести подсчет комбинаторных объектов с точностью до некоторого отношения эквивалетности.<br />
Если это отношение является отношением "с точностью до действия элементом группы", то такой подсчет можно провести<br />
с помощью Леммы Бернсайда.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. '''Неподвижной точкой''' (стабилизатором) для элемента <tex>g</tex> называется такой элемент <tex>x</tex>, <br />
для которого <tex>gx=x</tex>.<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Лемма Бёрнсайда ==<br />
<br />
{{Лемма<br />
|id=lemmaBerns. <br />
|author=Бёрнсайд<br />
|statement=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Будем называть два элемента <tex>x</tex> и <tex>y</tex> эквивалентными, если <tex>x = gy</tex> для некоторого <tex>g \in G</tex>. Тогда число классов эквивалентности равно сумме числа стабилизаторов по всем элементам группы <tex>G</tex>, делённой на размер этой группы:<br />
<br />
<tex> |C| = </tex> <tex dpi = "180">\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex>. Где <tex>I(k)</tex> {{---}} количество стабилизаторов для элемента <tex>k</tex>.<br />
|proof=<br />
Так как <tex>I(k)</tex> - сумма стабилизаторов элемента <tex>k</tex>, то по определению <tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex>.<br />
<br />
Следовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство:<br />
<tex>|C|\cdot|G| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex><br />
<br />
Рассмотрим правую часть равенства:<br />
<tex>|\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x| = \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180"> \frac{|G|}{|Gx|}</tex><tex> = |G| \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180">\frac{1}{|Gx|} </tex><br />
<tex>= |G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><br />
<br />
Заметим, что <tex>\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = </tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex>\sum\limits_{1}^{|P|}{1} = 1.</tex> Следовательно:<br />
<br />
<tex>|G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = |G|\sum_{P\in C} 1</tex>.<br />
<br />
Очевидно, что <tex>\sum_{P\in C} 1 = \sum\limits_{1}^{|C|}{1} = |C|.</tex> Тогда получим:<br />
<br />
<tex>|G|\sum_{P\in C} 1 = |C|\cdot|G|.</tex><br />
<br />
Откуда следует, что<br />
<br />
<tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |C|\cdot|G|.</tex> ч.т.д.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема Пойа ==<br />
<br />
Теорема Пойа является обобщением теоремы Бёрнсайда. Она также позволяет находить количество классов эквивалентности, но уже используя такую величину, как кол-во циклов в перестановке.<br />
В основе доказательства теоремы Пойа лежит лемма Бёрнсайда.<br />
<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id=teorPo. <br />
|author=Пойа<br />
|statement= <tex> C =</tex> <tex dpi = "180"> \frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G} l^{P(k)}</tex> ,где <tex>C</tex> {{---}} кол-во различных классов эквивалентности, <tex>P(k)</tex> - кол-во циклов в перестановке <tex>k</tex>, <tex>l</tex> {{---}} кол-во различных состояний одного элемента.<br />
|proof=Для доказательства этой теорем достаточно установить следующее равенство<br />
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex><br />
<br />
<br />
Рассмотрим некоторую перестановку <tex>k</tex> и некоторый элемент <tex>f</tex>. Под действием перестановки <tex>k</tex> элементы <tex>f</tex> передвигаются, как известно, по циклам перестановки. Заметим, что так как в результате должно получаться <tex>fk = f</tex>, то внутри каждого цикла перестановки должны находиться одинаковые элементы <tex>f</tex>. В то же время, для разных циклов никакой связи между значениями элементов не возникает. Таким образом, для каждого цикла перестановки <tex>k</tex> мы выбираем по одному значению, и, тем самым, мы получим все представления <tex>f</tex>, инвариантные относительно этой перестановки, т.е.:<br />
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex><br />
}}<br />
<br />
==Задача о числе раскрасок прямоугольника==<br />
{{Определение<br />
|definition=Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника <tex>[n \times m]</tex> в <tex>k</tex> цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси. <br />
}}<br />
Решим данную задачу, воспользуясь леммой Бёрнсайда.<br />
<br />
'''Решение'''<br />
<br />
Для начала определим, какие операции определены на группе <tex>G</tex> {{---}} это операция "отражение относительно горизонтальной оси", обозначим ее как <tex>\alpha</tex>, и "отражение относительно вертикальной оси" {{---}} <tex>\beta</tex>.<br />
Таким образом, <tex>G</tex> содержит 4 комбинации операций: <tex>G = \{e, \alpha, \beta, \alpha \circ \beta \}</tex>.<br />
<br />
Стоит уделить особое внимание тому факту, что никакие иные комбинации функций <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> не были включены в <tex>G</tex>. Это объясняется довольно просто: очевидно то, что операции коммутативны, то есть <tex>\alpha \circ \beta = \beta \circ \alpha</tex>, а также то, что <tex>\alpha \circ \alpha = \beta \circ \beta = e</tex>, тогда любая комбинация данных функций может быть упрощена до вышеперечисленных (в <tex>G</tex>) путем совмещения одинаковых и замены их на <tex>e</tex>.<br />
<br />
Отметим также то, что количество раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов:<br />
:1. С точностью до операции <tex>\alpha</tex> при нечетном <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов.<br />
:2. С точностью до операции <tex>\beta</tex> при нечетном <tex>n</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов.<br />
:3. С точностью до операции <tex>\alpha \circ \beta</tex> при нечетных <tex>n</tex> и <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов (а также частные случаи, когда <tex>n</tex> или <tex>m</tex> нечетные).<br />
Данное множество фактов объясняется тем, что мы можем как бы "слить" вместе два столбика (и\или) столбца, при этом с точностью до нужного действия количество раскрасок не уменьшится.<br />
<br />
Количество стабилизаторов в случае с действием <tex>e</tex> равно <tex>k^{nm}</tex>, так как ни одна раскрашенная клетка не повторилась при действии нулевого действия. Для действий <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> количество раскрасок будет <tex>k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n}</tex> и <tex>k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m}</tex> соответственно. <br />
<br />
Тогда воспользуемся Леммой Бёрнсайда и определим количество таких раскрасок.<br />
<br />
:<tex dpi = "180"> |C| = </tex> <tex>\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = \frac{I_1 + I_2 + I_3 + I_4}{4} = </tex><br />
:<tex dpi = "180"> = \frac{k^{nm}+k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}{\lceil \frac{m}{2} \rceil}}}{4}</tex><br />
<br />
==См. также==<br />
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8 Теорема Кэли]<br />
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D1%85 Задача об Ожерельях]<br />
<br />
==Cсылки==<br />
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0 Лемма Бёрнсайда]<br />
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%B9%D0%B0 Теорема Пойа]<br />
<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
[[Категория: Комбинаторика]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34769
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-27T07:02:39Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство; <br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; <br />
<br />
<tex>[n] := {1,2...n}</tex>; <br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+ := (max\{r,0\})^n</tex>.<br />
<br />
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
}}<br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34768
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-26T23:51:31Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство; <br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; <br />
<br />
<tex>[n] := {1,2...n}</tex>; <br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+ := (max\{r,0\})^n</tex>.<br />
<br />
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
}}<br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что модуль <tex>1_K</tex> зависит только лишь от мощности <tex>K</tex>, а угол между <tex>w</tex> и <tex>1_K</tex> одинаков ввиду того, как определяются эти вектора. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34767
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-26T23:50:33Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "160">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство; <br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; <br />
<br />
<tex>[n] := {1,2...n}</tex>; <br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+ := (max\{r,0\})^n</tex>.<br />
<br />
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
}}<br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что модуль <tex>1_K</tex> зависит только лишь от мощности <tex>K</tex>, а угол между <tex>w</tex> и <tex>1_K</tex> одинаков ввиду того, как определяются эти вектора. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34766
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-26T23:49:02Z
<p>VolhovM: /* Явная формула */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
Существует также иная широко используемая явная формула:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{k=0}^{m} {n+1\choose k} (m+1-k)^n(-1)^k</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "160">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство; <br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; <br />
<br />
<tex>[n] := {1,2...n}</tex>; <br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+ := (max\{r,0\})^n</tex>.<br />
<br />
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
}}<br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что модуль <tex>1_k</tex> зависит только лишь от мощности <tex>K</tex>, а угол между <tex>w</tex> и <tex>1_K</tex> одинаков ввиду того, как определяются эти вектора. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34765
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-26T23:45:07Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
{{Теорема<br />
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами<br />
|statement=<br />
<br />
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
<tex dpi = "160">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство; <br />
<br />
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; <br />
<br />
<tex>[n] := {1,2...n}</tex>; <br />
<br />
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
<br />
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+ := (max\{r,0\})^n</tex>.<br />
<br />
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
}}<br />
<br />
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что модуль <tex>1_k</tex> зависит только лишь от мощности <tex>K</tex>, а угол между <tex>w</tex> и <tex>1_K</tex> одинаков ввиду того, как определяются эти вектора. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34764
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-26T23:39:17Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов: <br />
<br/><br />
<br/><br />
:Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
:<tex dpi = "160">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex><br />
<br />
:Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство; <br />
:<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; <br />
:<tex>[n] := {1,2...n}</tex>; <br />
:<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули; <br />
:Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+ := (max\{r,0\})^n</tex>.<br />
:С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
<br/><br />
<br/><br />
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что модуль <tex>1_k</tex> зависит только лишь от мощности <tex>K</tex>, а угол между <tex>w</tex> и <tex>1_K</tex> одинаков ввиду того, как определяются эти вектора. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>. <br />
<br />
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}(m-j)^n</tex><br />
<br />
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. <br />
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le x \cdot 1_{[n]} \le m+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34763
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-26T22:53:02Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема: <br />
<br />
:Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:<br />
<br />
:<tex dpi = "160">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{k \subseteq [n]} (-1)^{|k|}(z-w \cdot 1_k)^n_+</tex> <br />
<br />
Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex><br />
:<tex>W_n^k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^k) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34761
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-26T21:20:33Z
<p>VolhovM: /* Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \cdot x \le z \}</tex><br />
:<tex>W_n^k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^k) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0_%D0%B8_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%B9%D0%B0&diff=34759
Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа
2013-12-26T21:10:20Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div>Иногда требуется провести подсчет комбинаторных объектов с точностью до некоторого отношения эквивалетности.<br />
Если это отношение является отношением "с точностью до действия элементом группы", то такой подсчет можно провести<br />
с помощью Леммы Бернсайда.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. '''Неподвижной точкой''' (стабилизатором) для элемента <tex>g</tex> называется такой элемент <tex>x</tex>, <br />
для которого <tex>gx=x</tex>.<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Лемма Бёрнсайда ==<br />
<br />
{{Лемма<br />
|id=lemmaBerns. <br />
|author=Бёрнсайд<br />
|statement=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Будем называть два элемента <tex>x</tex> и <tex>y</tex> эквивалентными, если <tex>x = gy</tex> для некоторого <tex>g \in G</tex>. Тогда число классов эквивалентности равно сумме числа стабилизаторов по всем элементам группы <tex>G</tex>, делённой на размер этой группы:<br />
<br />
<tex> |C| = </tex> <tex dpi = "180">\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex>. Где <tex>I(k)</tex> {{---}} количество стабилизаторов для элемента <tex>k</tex>.<br />
|proof=<br />
Так как <tex>I(k)</tex> - сумма стабилизаторов элемента <tex>k</tex>, то по определению <tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex>.<br />
<br />
Следовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство:<br />
<tex>|C|\cdot|G| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex><br />
<br />
Рассмотрим правую часть равенства:<br />
<tex>|\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x| = \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180"> \frac{|G|}{|Gx|}</tex><tex> = |G| \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180">\frac{1}{|Gx|} </tex><br />
<tex>= |G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><br />
<br />
Заметим, что <tex>\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = </tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex>\sum\limits_{1}^{|P|}{1} = 1.</tex> Следовательно:<br />
<br />
<tex>|G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = |G|\sum_{P\in C} 1</tex>.<br />
<br />
Очевидно, что <tex>\sum_{P\in C} 1 = \sum\limits_{1}^{|C|}{1} = |C|.</tex> Тогда получим:<br />
<br />
<tex>|G|\sum_{P\in C} 1 = |C|\cdot|G|.</tex><br />
<br />
Откуда следует, что<br />
<br />
<tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |C|\cdot|G|.</tex> ч.т.д.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема Пойа ==<br />
<br />
Теорема Пойа является обобщением теоремы Бёрнсайда. Она также позволяет находить количество классов эквивалентности, но уже используя такую величину, как кол-во циклов в перестановке.<br />
В основе доказательства теоремы Пойа лежит лемма Бёрнсайда.<br />
<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id=teorPo. <br />
|author=Пойа<br />
|statement= <tex> C =</tex> <tex dpi = "180"> \frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G} l^{P(k)}</tex> ,где <tex>C</tex> {{---}} кол-во различных классов эквивалентности, <tex>P(k)</tex> - кол-во циклов в перестановке <tex>k</tex>, <tex>l</tex> {{---}} кол-во различных состояний одного элемента.<br />
|proof=Для доказательства этой теорем достаточно установить следующее равенство<br />
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex><br />
<br />
<br />
Рассмотрим некоторую перестановку <tex>k</tex> и некоторый элемент <tex>f</tex>. Под действием перестановки <tex>k</tex> элементы <tex>f</tex> передвигаются, как известно, по циклам перестановки. Заметим, что так как в результате должно получаться <tex>fk = f</tex>, то внутри каждого цикла перестановки должны находиться одинаковые элементы <tex>f</tex>. В то же время, для разных циклов никакой связи между значениями элементов не возникает. Таким образом, для каждого цикла перестановки <tex>k</tex> мы выбираем по одному значению, и, тем самым, мы получим все представления <tex>f</tex>, инвариантные относительно этой перестановки, т.е.:<br />
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex><br />
}}<br />
<br />
==Задача о числе раскрасок прямоугольника==<br />
{{Определение<br />
|definition=Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника <tex>[n \times m]</tex> в <tex>k</tex> цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси. <br />
}}<br />
Решим данную задачу, воспользуясь леммой Бёрнсайда.<br />
<br />
'''Решение'''<br />
<br />
Для начала определим, какие операции определены на группе <tex>G</tex> {{---}} это операция "отражение относительно горизонтальной оси", обозначим ее как <tex>\alpha</tex> и "отражение относительно вертикальной оси" - <tex>\beta</tex>.<br />
Таким образом, <tex>G</tex> содержит 4 комбинации операций: <tex>G = \{e, \alpha, \beta, \alpha \circ \beta \}</tex>.<br />
<br />
Стоит уделить особое внимание тому факту, что никакие иные комбинации функций <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> не были включены в <tex>G</tex>. Это объясняется довольно просто: очевидно то, что операции коммутативны, то есть <tex>\alpha \circ \beta = \beta \circ \alpha</tex>, а также то, что <tex>\alpha \circ \alpha = \beta \circ \beta = e</tex>, тогда любая комбинация данных функций может быть упрощена до вышеперечисленных (в <tex>G</tex>) путем совмещения одинаковых и замены их на <tex>e</tex>.<br />
<br />
Отметим также то, что количество раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов:<br />
:1. С точностью до операции <tex>\alpha</tex> при нечетном <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов.<br />
:2. С точностью до операции <tex>\beta</tex> при нечетном <tex>n</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов.<br />
:3. С точностью до операции <tex>\alpha \circ \beta</tex> при нечетных <tex>n</tex> и <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов (а также частные случаи, когда <tex>n</tex> или <tex>m</tex> нечетные).<br />
<br />
Количество стабилизаторов в случае с действием <tex>e</tex> равно <tex>k^{nm}</tex>, так как ни одна раскрашенная клетка не повторилась при действии нулевого действия. Для действий <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> количество раскрасок будет <tex>k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n}</tex> и <tex>k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m}</tex> соответственно. <br />
<br />
Тогда воспользуемся Леммой Бёрнсайда и определим количество таких раскрасок.<br />
<br />
:<tex dpi = "180"> |C| = </tex> <tex>\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = \frac{I_1 + I_2 + I_3 + I_4}{4} = </tex><br />
:<tex dpi = "180"> = \frac{k^{nm}+k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}{\lceil \frac{m}{2} \rceil}}}{4}</tex><br />
<br />
==См. также==<br />
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8 Теорема Кэли]<br />
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D1%85 Задача об Ожерельях]<br />
<br />
==Cсылки==<br />
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0 Лемма Бёрнсайда]<br />
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%B9%D0%B0 Теорема Пойа]<br />
<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
[[Категория: Комбинаторика]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0_%D0%B8_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%B9%D0%B0&diff=34758
Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа
2013-12-26T21:08:26Z
<p>VolhovM: /* Задача о раскрашивании прямоугольника */</p>
<hr />
<div>Иногда требуется провести подсчет комбинаторных объектов с точностью до некоторого отношения эквивалетности.<br />
Если это отношение является отношением "с точностью до действия элементом группы", то такой подсчет можно провести<br />
с помощью Леммы Бернсайда.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. '''Неподвижной точкой''' (стабилизатором) для элемента <tex>g</tex> называется такой элемент <tex>x</tex>, <br />
для которого <tex>gx=x</tex>.<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Лемма Бёрнсайда ==<br />
<br />
{{Лемма<br />
|id=lemmaBerns. <br />
|author=Бёрнсайд<br />
|statement=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Будем называть два элемента <tex>x</tex> и <tex>y</tex> эквивалентными, если <tex>x = gy</tex> для некоторого <tex>g \in G</tex>. Тогда число классов эквивалентности равно сумме числа стабилизаторов по всем элементам группы <tex>G</tex>, делённой на размер этой группы:<br />
<br />
<tex> |C| = </tex> <tex dpi = "180">\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex>. Где <tex>I(k)</tex> {{---}} количество стабилизаторов для элемента <tex>k</tex>.<br />
|proof=<br />
Так как <tex>I(k)</tex> - сумма стабилизаторов элемента <tex>k</tex>, то по определению <tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex>.<br />
<br />
Следовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство:<br />
<tex>|C|\cdot|G| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex><br />
<br />
Рассмотрим правую часть равенства:<br />
<tex>|\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x| = \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180"> \frac{|G|}{|Gx|}</tex><tex> = |G| \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180">\frac{1}{|Gx|} </tex><br />
<tex>= |G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><br />
<br />
Заметим, что <tex>\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = </tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex>\sum\limits_{1}^{|P|}{1} = 1.</tex> Следовательно:<br />
<br />
<tex>|G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = |G|\sum_{P\in C} 1</tex>.<br />
<br />
Очевидно, что <tex>\sum_{P\in C} 1 = \sum\limits_{1}^{|C|}{1} = |C|.</tex> Тогда получим:<br />
<br />
<tex>|G|\sum_{P\in C} 1 = |C|\cdot|G|.</tex><br />
<br />
Откуда следует, что<br />
<br />
<tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |C|\cdot|G|.</tex> ч.т.д.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема Пойа ==<br />
<br />
Теорема Пойа является обобщением теоремы Бёрнсайда. Она также позволяет находить количество классов эквивалентности, но уже используя такую величину, как кол-во циклов в перестановке.<br />
В основе доказательства теоремы Пойа лежит лемма Бёрнсайда.<br />
<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id=teorPo. <br />
|author=Пойа<br />
|statement= <tex> C =</tex> <tex dpi = "180"> \frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G} l^{P(k)}</tex> ,где <tex>C</tex> {{---}} кол-во различных классов эквивалентности, <tex>P(k)</tex> - кол-во циклов в перестановке <tex>k</tex>, <tex>l</tex> {{---}} кол-во различных состояний одного элемента.<br />
|proof=Для доказательства этой теорем достаточно установить следующее равенство<br />
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex><br />
<br />
<br />
Рассмотрим некоторую перестановку <tex>k</tex> и некоторый элемент <tex>f</tex>. Под действием перестановки <tex>k</tex> элементы <tex>f</tex> передвигаются, как известно, по циклам перестановки. Заметим, что так как в результате должно получаться <tex>fk = f</tex>, то внутри каждого цикла перестановки должны находиться одинаковые элементы <tex>f</tex>. В то же время, для разных циклов никакой связи между значениями элементов не возникает. Таким образом, для каждого цикла перестановки <tex>k</tex> мы выбираем по одному значению, и, тем самым, мы получим все представления <tex>f</tex>, инвариантные относительно этой перестановки, т.е.:<br />
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex><br />
}}<br />
<br />
==Задача о числе раскрасок прямоугольника==<br />
{{Определение<br />
|definition=Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника <tex>[n \times m]</tex> в <tex>k</tex> цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси. <br />
}}<br />
Решим данную задачу, воспользуясь леммой Бёрнсайда.<br />
<br />
'''Решение'''<br />
<br />
Для начала определим, какие операции определены на группе <tex>G</tex> --- это операция "отражение относительно горизонтальной оси", обозначим ее как <tex>\alpha</tex> и "отражение относительно вертикальной оси" - <tex>\beta</tex>.<br />
Таким образом, <tex>G</tex> содержит 4 комбинации операций: <tex>G = \{e, \alpha, \beta, \alpha \circ \beta \}</tex>.<br />
<br />
Стоит уделить особое внимание тому факту, что никакие иные комбинации функций <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> не были включены в <tex>G</tex>. Это объясняется довольно просто: очевидно то, что операции коммутативны, то есть <tex>\alpha \circ \beta = \beta \circ \alpha</tex>, а также то, что <tex>\alpha \circ \alpha = \beta \circ \beta = e</tex>, тогда любая комбинация данных функций может быть упрощена до вышеперечисленных (в <tex>G</tex>) путем совмещения одинаковых и замены их на <tex>e</tex>.<br />
<br />
Отметим также то, что количество раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов:<br />
:1. С точностью до операции <tex>\alpha</tex> при нечетном <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов.<br />
:2. С точностью до операции <tex>\beta</tex> при нечетном <tex>n</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов.<br />
:3. С точностью до операции <tex>\alpha \circ \beta</tex> при нечетных <tex>n</tex> и <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов (а также частные случаи, когда <tex>n</tex> или <tex>m</tex> нечетные).<br />
<br />
Количество стабилизаторов в случае с действием <tex>e</tex> равно <tex>k^{nm}</tex>, так как ни одна раскрашенная клетка не повторилась при действии нулевого действия. Для действий <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> количество раскрасок будет <tex>k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n}</tex> и <tex>k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m}</tex> соответственно. <br />
<br />
Тогда воспользуемся Леммой Бёрнсайда и определим количество таких раскрасок.<br />
<br />
:<tex dpi = "180"> |C| = </tex> <tex>\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = \frac{I_1 + I_2 + I_3 + I_4}{4} = </tex><br />
:<tex dpi = "180"> = \frac{k^{nm}+k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}{\lceil \frac{m}{2} \rceil}}}{4}</tex><br />
<br />
==См. также==<br />
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8 Теорема Кэли]<br />
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D1%85 Задача об Ожерельях]<br />
<br />
==Cсылки==<br />
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0 Лемма Бёрнсайда]<br />
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%B9%D0%B0 Теорема Пойа]<br />
<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
[[Категория: Комбинаторика]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0_%D0%B8_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%B9%D0%B0&diff=34757
Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа
2013-12-26T21:08:00Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div>Иногда требуется провести подсчет комбинаторных объектов с точностью до некоторого отношения эквивалетности.<br />
Если это отношение является отношением "с точностью до действия элементом группы", то такой подсчет можно провести<br />
с помощью Леммы Бернсайда.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. '''Неподвижной точкой''' (стабилизатором) для элемента <tex>g</tex> называется такой элемент <tex>x</tex>, <br />
для которого <tex>gx=x</tex>.<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Лемма Бёрнсайда ==<br />
<br />
{{Лемма<br />
|id=lemmaBerns. <br />
|author=Бёрнсайд<br />
|statement=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Будем называть два элемента <tex>x</tex> и <tex>y</tex> эквивалентными, если <tex>x = gy</tex> для некоторого <tex>g \in G</tex>. Тогда число классов эквивалентности равно сумме числа стабилизаторов по всем элементам группы <tex>G</tex>, делённой на размер этой группы:<br />
<br />
<tex> |C| = </tex> <tex dpi = "180">\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex>. Где <tex>I(k)</tex> {{---}} количество стабилизаторов для элемента <tex>k</tex>.<br />
|proof=<br />
Так как <tex>I(k)</tex> - сумма стабилизаторов элемента <tex>k</tex>, то по определению <tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex>.<br />
<br />
Следовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство:<br />
<tex>|C|\cdot|G| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex><br />
<br />
Рассмотрим правую часть равенства:<br />
<tex>|\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x| = \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180"> \frac{|G|}{|Gx|}</tex><tex> = |G| \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180">\frac{1}{|Gx|} </tex><br />
<tex>= |G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><br />
<br />
Заметим, что <tex>\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = </tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex>\sum\limits_{1}^{|P|}{1} = 1.</tex> Следовательно:<br />
<br />
<tex>|G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = |G|\sum_{P\in C} 1</tex>.<br />
<br />
Очевидно, что <tex>\sum_{P\in C} 1 = \sum\limits_{1}^{|C|}{1} = |C|.</tex> Тогда получим:<br />
<br />
<tex>|G|\sum_{P\in C} 1 = |C|\cdot|G|.</tex><br />
<br />
Откуда следует, что<br />
<br />
<tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = |C|\cdot|G|.</tex> ч.т.д.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема Пойа ==<br />
<br />
Теорема Пойа является обобщением теоремы Бёрнсайда. Она также позволяет находить количество классов эквивалентности, но уже используя такую величину, как кол-во циклов в перестановке.<br />
В основе доказательства теоремы Пойа лежит лемма Бёрнсайда.<br />
<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id=teorPo. <br />
|author=Пойа<br />
|statement= <tex> C =</tex> <tex dpi = "180"> \frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G} l^{P(k)}</tex> ,где <tex>C</tex> {{---}} кол-во различных классов эквивалентности, <tex>P(k)</tex> - кол-во циклов в перестановке <tex>k</tex>, <tex>l</tex> {{---}} кол-во различных состояний одного элемента.<br />
|proof=Для доказательства этой теорем достаточно установить следующее равенство<br />
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex><br />
<br />
<br />
Рассмотрим некоторую перестановку <tex>k</tex> и некоторый элемент <tex>f</tex>. Под действием перестановки <tex>k</tex> элементы <tex>f</tex> передвигаются, как известно, по циклам перестановки. Заметим, что так как в результате должно получаться <tex>fk = f</tex>, то внутри каждого цикла перестановки должны находиться одинаковые элементы <tex>f</tex>. В то же время, для разных циклов никакой связи между значениями элементов не возникает. Таким образом, для каждого цикла перестановки <tex>k</tex> мы выбираем по одному значению, и, тем самым, мы получим все представления <tex>f</tex>, инвариантные относительно этой перестановки, т.е.:<br />
<tex>I(k) = l^{P(k)}</tex><br />
}}<br />
<br />
==Задача о раскрашивании прямоугольника==<br />
{{Определение<br />
|definition=Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника <tex>[n \times m]</tex> в <tex>k</tex> цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси. <br />
}}<br />
Решим данную задачу, воспользуясь леммой Бёрнсайда.<br />
<br />
'''Решение'''<br />
<br />
Для начала определим, какие операции определены на группе <tex>G</tex> --- это операция "отражение относительно горизонтальной оси", обозначим ее как <tex>\alpha</tex> и "отражение относительно вертикальной оси" - <tex>\beta</tex>.<br />
Таким образом, <tex>G</tex> содержит 4 комбинации операций: <tex>G = \{e, \alpha, \beta, \alpha \circ \beta \}</tex>.<br />
<br />
Стоит уделить особое внимание тому факту, что никакие иные комбинации функций <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> не были включены в <tex>G</tex>. Это объясняется довольно просто: очевидно то, что операции коммутативны, то есть <tex>\alpha \circ \beta = \beta \circ \alpha</tex>, а также то, что <tex>\alpha \circ \alpha = \beta \circ \beta = e</tex>, тогда любая комбинация данных функций может быть упрощена до вышеперечисленных (в <tex>G</tex>) путем совмещения одинаковых и замены их на <tex>e</tex>.<br />
<br />
Отметим также то, что количество раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов:<br />
:1. С точностью до операции <tex>\alpha</tex> при нечетном <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n]</tex> в <tex>k</tex> цветов.<br />
:2. С точностью до операции <tex>\beta</tex> при нечетном <tex>n</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов.<br />
:3. С точностью до операции <tex>\alpha \circ \beta</tex> при нечетных <tex>n</tex> и <tex>m</tex> равно количеству раскрасок прямоугольника <tex>[m-1 \times n-1]</tex> в <tex>k</tex> цветов (а также частные случаи, когда <tex>n</tex> или <tex>m</tex> нечетные).<br />
<br />
Количество стабилизаторов в случае с действием <tex>e</tex> равно <tex>k^{nm}</tex>, так как ни одна раскрашенная клетка не повторилась при действии нулевого действия. Для действий <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> количество раскрасок будет <tex>k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n}</tex> и <tex>k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m}</tex> соответственно. <br />
<br />
Тогда воспользуемся Леммой Бёрнсайда и определим количество таких раскрасок.<br />
<br />
:<tex dpi = "180"> |C| = </tex> <tex>\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k) = \frac{I_1 + I_2 + I_3 + I_4}{4} = </tex><br />
:<tex dpi = "180"> = \frac{k^{nm}+k^{\lceil \frac{m}{2} \rceil n} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}m} + k^{{\lceil {\frac{n}{2}} \rceil}{\lceil \frac{m}{2} \rceil}}}{4}</tex><br />
<br />
==См. также==<br />
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D1%8D%D0%BB%D0%B8 Теорема Кэли]<br />
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D1%85 Задача об Ожерельях]<br />
<br />
==Cсылки==<br />
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D1%91%D1%80%D0%BD%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0 Лемма Бёрнсайда]<br />
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%B9%D0%B0 Теорема Пойа]<br />
<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
[[Категория: Комбинаторика]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:HypercubeEuler3.png&diff=34734
Файл:HypercubeEuler3.png
2013-12-25T21:58:34Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div></div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:HypercubeEuler2.png&diff=34733
Файл:HypercubeEuler2.png
2013-12-25T21:56:59Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div></div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34732
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-25T21:45:20Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
|proof=<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \cdot x \le z \}</tex><br />
:<tex>W_n^k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^k) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34731
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-25T21:37:07Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34730
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-25T21:34:09Z
<p>VolhovM: /* Вывод рекуррентной формулы */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{0\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
''Доказательство''<br />
<br />
Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \cdot x \le z \}</tex><br />
:<tex>W_n^k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^k) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34727
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-25T20:43:05Z
<p>VolhovM: /* Числа Эйлера II рода */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
''Доказательство''<br />
<br />
Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \cdot x \le z \}</tex><br />
:<tex>W_n^k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^k) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34707
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T12:55:12Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
''Доказательство''<br />
<br />
Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \cdot x \le z \}</tex><br />
:<tex>W_n^k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^k) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34702
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T12:21:43Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
''Доказательство''<br />
<br />
Положим <tex>\Xi_m^n</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>I^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полуплоскость в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \dots x \le z \}</tex><br />
:<tex>\Xi_m^n := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>Vol_{n}(\Xi_m^n) = Vol_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - Vol_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34701
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T12:20:40Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
''Доказательство''<br />
<br />
Положим <tex>\Xi_m^n</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>I^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полуплоскость в <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \dots x \le z \}</tex><br />
:<tex>\Xi_m^n := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>Vol_{n}(\Xi_m^n) = Vol_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - Vol_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34700
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T12:15:17Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
''Доказательство''<br />
<br />
Положим <tex>\Xi_m^n</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>I^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>.<br />
:<tex>\Xi_m^n </tex><tex>:= \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>Vol_{n}(\Xi_m^n) = Vol_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - Vol_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34699
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T12:14:49Z
<p>VolhovM: /* Треугольник чисел Эйлера I рода */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
''Доказательство''<br />
<br />
Положим <tex>\Xi_m^n</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>I^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>.<br />
:<tex>\Xi_m^n </tex><tex>:= \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>Vol_{n}(\Xi_m^n) = Vol_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - Vol_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34698
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T12:14:14Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
''Доказательство''<br />
<br />
Положим <tex>\Xi_m^n</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>I^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>.<br />
:<tex>\Xi_m^n </tex><tex>:= \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex><br />
<br />
Тогда перейдем к следующему равенству:<br />
<br />
:<tex>Vol_{n}(\Xi_m^n) = Vol_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - Vol_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex><br />
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex><br />
:<tex> = \frac{1}{n!}\left\langle{n\atop k}\right\rangle</tex><br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34696
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T11:29:25Z
<p>VolhovM: /* Ссылки */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
*[http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба] <br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34695
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T11:27:36Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
<br />
5. Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34694
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T11:11:19Z
<p>VolhovM: /* Треугольник чисел Эйлера I рода */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает: <br />
:4.1 Объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
:4.2 Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex>.<br />
:Доказательство подпунктов 4 представлено [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34693
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T11:10:56Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределению, ровным счетом как и биномиальные коэффициенты (оба графика, представленные '''справа''', смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):<br />
[[Файл:Euler_I_hist.gif|200px|thumb|Числа Эйлера I рода (m < 90)]]<br />
[[Файл:Binomial_hist.gif|200px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает: <br />
:4.1 Объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
:4.2 Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex>.<br />
:Доказательство подпунктов 4 представлено [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34692
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T10:45:32Z
<p>VolhovM: /* Треугольник чисел Эйлера I рода */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределению, ровным счетом как и биномиальные коэффициенты (оба графика, представленные '''справа''', смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):<br />
[[Файл:Euler_I_hist.gif|200px|thumb|Числа Эйлера I рода (m < 90)]]<br />
[[Файл:Binomial_hist.gif|200px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает: <br />
:4.1 Объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
:4.2 Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34682
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-24T04:28:34Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''10'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''11'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''12'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''10'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''11'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15724248'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''12'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределению, ровным счетом как и биномиальные коэффициенты (оба графика, представленные '''справа''', смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):<br />
[[Файл:Euler_I_hist.gif|200px|thumb|Числа Эйлера I рода (m < 90)]]<br />
[[Файл:Binomial_hist.gif|200px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает: <br />
:4.1 Объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
:4.2 Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34680
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-23T23:20:21Z
<p>VolhovM: /* Треугольник чисел Эйлера I рода */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''10'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''11'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''12'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''10'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''11'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15724248'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''12'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределению, ровным счетом как и биномиальные коэффициенты (оба графика, представленные '''справа''', смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):<br />
[[Файл:Euler_I_hist.gif|200px|thumb|Числа Эйлера I рода (m < 90)]]<br />
[[Файл:Binomial_hist.gif|200px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Свойство 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает: <br />
:4.1 Объем части <tex>n</tex>-мерного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
:4.2 Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34679
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-23T23:17:02Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''10'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''11'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''12'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''10'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''11'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15724248'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''12'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределению, ровным счетом как и биномиальные коэффициенты (оба графика, представленные '''справа''', смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):<br />
[[Файл:Euler_I_hist.gif|200px|thumb|Числа Эйлера I рода (m < 90)]]<br />
[[Файл:Binomial_hist.gif|200px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Случай 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Случай 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает: <br />
:4.1 Объем части <tex>n</tex>-мерного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
:4.2 Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34678
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-23T23:14:37Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''10'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''11'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''12'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''10'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''11'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15724248'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''12'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределению, ровным счетом как и биномиальные коэффициенты (оба графика, представленные '''справа''', смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):<br />
[[Файл:Euler_I_hist.gif|300px|thumb|Числа Эйлера I рода (m < 90)]]<br />
[[Файл:Binomial_hist.gif|300px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает: <br />
:4.1 Объем части <tex>n</tex>-мерного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
[[Файл:EulerianHC1.png|200px|thumb|Случай 4.1 для m = 2, n = 1. V = 1/2]]<br />
[[Файл:EulerianHC2.png|200px|thumb|Случай 4.1 для m = 3, n = 2. V = 1/6]]<br />
:4.2 Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:EulerianHC2.png&diff=34677
Файл:EulerianHC2.png
2013-12-23T23:06:14Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div></div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:EulerianHC1.png&diff=34676
Файл:EulerianHC1.png
2013-12-23T23:04:21Z
<p>VolhovM: </p>
<hr />
<div></div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34662
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-23T21:48:54Z
<p>VolhovM: /* Свойства */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''10'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''11'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''12'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''10'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''11'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15724248'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''12'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределению, ровным счетом как и биномиальные коэффициенты (оба графика, представленные '''справа''', смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):<br />
[[Файл:Euler_I_hist.gif|300px|thumb|Числа Эйлера I рода (m < 90)]]<br />
[[Файл:Binomial_hist.gif|300px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает: <br />
:4.1 Объем части <tex>n</tex>-мерного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;<br />
:4.2 Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_I_%D0%B8_II_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0&diff=34656
Числа Эйлера I и II рода
2013-12-23T21:38:33Z
<p>VolhovM: /* Треугольник чисел Эйлера I рода */</p>
<hr />
<div>==Числа Эйлера I рода==<br />
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (''ascent'') данной перестановки.<br />
}}<br />
<br />
===Вывод рекуррентной формулы===<br />
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером n в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\theta_p, n, \theta_q...\theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:<br />
<br />
1. Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).<br />
<br />
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex>\langle{n\atop m}\rangle</tex>.<br />
<br />
Тогда рекуррентная формула имеет вид:<br />
<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = (m + 1)\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex><br />
<br />
Примем также следующее начальное значение:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = [m = 0]</tex>,<br />
Запись [выражение] означает [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию Айверсона].<br />
<br />
<br />
===Пример===<br />
Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно 2 подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд):<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = 11:<br />
[124]3,<br />
[13][24],<br />
[134]2,<br />
[14][23],<br />
2[134],<br />
[23][14],<br />
[23][41],<br />
[24][13],<br />
3[124],<br />
[34][12],<br />
4[123],<br />
</tex><br />
<br />
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '4' в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:<br />
<br />
:<tex><br />
\left\langle{3\atop 2}\right\rangle = 1:<br />
[123] => (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3<br />
</tex><br />
<br />
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок на 1:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 4:</tex><br />
<br />
:<tex>[13]2 => [13(4)]2, [13][2(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>2[13] => [2(4)][13], 2[13(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>[23]1 => [23(4)]1, [23][1(4)];</tex><br />
<br />
:<tex>3[12] => [3(4)][12], 3[12(4)];</tex><br />
<br />
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:<br />
<br />
:<tex> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle = (2 + 1) \left\langle{3\atop 2}\right\rangle + (4 - 2)\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex><br />
<br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера I рода===<br />
На значениях <tex>n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex>n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.<br />
<br />
::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''10'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''11'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''12'''''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''302'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2416'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1191'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15619'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4293'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''156190'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''88234'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''10'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1310354'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''455192'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47840'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1013'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''11'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''15724248'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2036'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''12'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''478271'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к нормальному распределению, ровным счетом как и биномиальные коэффициенты (оба графика, представленные '''справа''', смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):<br />
[[Файл:Euler_I_hist.gif|300px|thumb|Числа Эйлера I рода (m < 90)]]<br />
[[Файл:Binomial_hist.gif|300px|thumb|Биномиальные коээфициенты (m < 60)]]<br />
<br />
===Явная формула===<br />
Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы.<br />
<br />
Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как<br />
:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex><br />
<br />
и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex><br />
:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex><br />
<br />
Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:<br />
:<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{n+1} (-1)^{n-j+1} {m+1\choose n-j+1}j^{m}</tex><br />
<br />
===Свойства===<br />
<br />
1. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:<br />
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1. \, </tex><br />
<br />
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:<br />
:<tex>\sum\limits_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex><br />
<br />
3. Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:<br />
:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex><br />
<br />
4. Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает: <br />
:4.1 Объем части <tex>n</tex>-мерного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=k</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=k-1</tex>;<br />
:4.2 Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>k-1</tex> и <tex>k</tex>.<br />
<br />
==Числа Эйлера II рода==<br />
'''''Числа Эйлера II рода''''' (''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex><br />
<br />
<br />
'''Пример'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует 15 перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, 8 штук имеют всего 1 подъем, и 6 перестановок имеют 2 подъема:<br />
<br />
:<tex> 332211,\; </tex><br />
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex><br />
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex><br />
<br />
{{Лемма<br />
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем<br />
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.<br />
|neat = 1<br />
}}<br />
<br />
<br />
===Рекуррентная формула===<br />
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-m-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (m+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex><br />
<br />
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:<br />
:<tex> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle = [m=0]. </tex><br />
<br />
===Треугольник чисел Эйлера II рода===<br />
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le n \le m \le 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.<br />
<br />
:::{| class="number_triangle"<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" |<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''<br />
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''2'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''3'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''8'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''5'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''52'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''328'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''444'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''8'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''494'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''19950'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''195800'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''644020'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''785304'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''341136'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''40320'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|- align="center"<br />
| style="background:white; color:black;" | '''''9'''''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''<br />
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''<br />
|}<br />
<br />
==Ссылки==<br />
<references/><br />
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]<br />
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода — OEIS Wiki]<br />
*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012.htm Eulerian number — Math Pages]<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]<br />
*[http://www-personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
<br />
[[Категория: Комбинаторика ]]</div>
VolhovM