http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=129.104.206.135&feedformat=atom
Викиконспекты - Вклад участника [ru]
2024-03-28T14:10:22Z
Вклад участника
MediaWiki 1.30.0
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%A7%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0&diff=80799
Граница Чернова
2021-04-19T16:21:09Z
<p>129.104.206.135: /* Относительная оценка */</p>
<hr />
<div>{{Определение<br />
|definition = '''Граница Чернова''' (англ. ''Chernoff bound'') дает оценку вероятности того, что сумма n одинаково распределенных независимых случайных величин больше (или меньше) некоторого значения.<br />
}}<br />
<br />
==Производящая функция моментов==<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition = '''Производящая функция моментов''' (англ. ''moment-generating function'') случайной величины <tex>X</tex> {{---}} функция из <tex>\mathbb R</tex> в <tex>\mathbb R</tex> и определяется как: <br><br />
<tex>M_x(t) =</tex> <tex>{E}(e^{tX}) =</tex> <tex>{E}(1 + tX + \dfrac{1}{2}t^2 X^2 + \cdots + \dfrac{1}{n!}t^n X^n + \cdots) =</tex> <tex>\sum\limits_{i = 1}^{\infty} \dfrac{1}{i!} {E}(X^i)</tex> <br><br />
<tex>E(X^i)</tex> называется '''i-ым моментом''' (англ. ''i-th moment'') случайной величины <tex>X</tex><br />
}}<br />
<br />
{{Лемма<br />
|about= О производящей функции моментов суммы случайных величин<br />
|id=lemma1 <br />
|statement= Если <tex>X = \sum\limits_{i=1}^{n} X_i</tex>, где <tex>X_1 X_2 \cdots X_n</tex> {{---}} независимые случайные величины, то:<br><br />
<tex>M_X(t) =</tex><tex> \prod\limits_{i=1}^{n} M_{X_i} (t)</tex><br />
|proof= <tex>M_X(t) =</tex> <tex>{E}(e^{tX}) =</tex> <tex>{E}(e^{t \sum\limits_{i=1}^{n} {X_i}}) = </tex> <tex>{E}( {\prod\limits_{i=1}^{n} {e^{t X_i}}}) =</tex> <tex>\prod\limits_{i=1}^{n} {{E}( {e^{t X_i}}}) =</tex> <tex> \prod\limits_{i=1}^{n} M_{X_i} (t)</tex><br />
}}<br />
<br />
{{Лемма<br />
|about= Об ограниченности производящей функции моментов<br />
|id=lemma2 <br />
|statement= <tex>X</tex> {{---}} независимая случайная величина принимающая значения из множества <tex>\{0, 1\}</tex>, <tex>{P}(X = 1) = p</tex>, <tex>{P}{(X = 0) = 1 - p}</tex>, тогда для любого <tex>t \in \mathbb{R}</tex>: <br><br />
<tex>M_X(t) =</tex><tex>{E}e^{t X} \leqslant e^{p(e^t - 1)}</tex><br />
|proof= <tex>M_X(t) =</tex> <tex>{E}e^{t X} = </tex> <tex>pe^t + (1 - p) \cdot 1 =</tex> <tex>1 + p(e^t - 1) \leqslant e^{p(e^t - 1)}</tex><br />
}}<br />
<br />
==Абсолютная оценка==<br />
{{Теорема<br />
| id = thChernov<br />
| about = Граница Чернова (аддитивная форма)<br />
| statement = Пусть даны <tex>X_1 X_2 \ldots X_n</tex> {{---}} одинаково распределенные независимые случайные величины, принимающие значения из множества <tex>\{0, 1\}</tex>,<br />
<br />
<tex>m = {E} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i</tex>,<br />
<br />
Тогда:<br />
<br />
<tex>{P} (|\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i - \dfrac{1}{n} m| \geqslant \delta) \leqslant 2e^{-2 \delta ^2 n}</tex><br />
| proof = Так как <tex>X_1 X_2 \ldots X_n</tex> {{---}} одинаково распределенные и принимают значения из множества <tex>\{0, 1\}</tex>:<br />
<br />
<tex>{P}(X_i = 1) = p</tex><br />
<br />
<tex>{P}{(X_i = 0) = 1 - p = q}</tex><br />
<br />
<tex>{E} X_i = p</tex><br />
<br />
<br />
Пусть <tex>\bar{X_i} = X_i - p</tex>, тогда <tex>{E}\bar{X_i} = 0</tex><br />
<br />
Преобразуем выражение <tex>{P} (\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i - \dfrac{1}{n} m \geqslant \delta)</tex>. (<tex>t</tex> {{---}} любое положительное число):<br />
<br />
<tex>{P}(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} X_i - \dfrac{1}{n} m \geqslant \delta) = {P} (\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i} \geqslant \delta) = {P}(e^{t\sum\limits_{i=1}^{n} \bar{X_i}} \geqslant e^{t \delta n})</tex><br />
<br />
Используем [[Неравенство Маркова| неравенство Маркова]] для оценки полученного выражения:<br />
<br />
<tex>{P}(e^{ t\sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i}} \geqslant e^{t \delta n}) \leqslant \dfrac{{E} (e^{ t\sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i}})}{e^{t \delta n}}</tex><br />
<br />
[[Математическое ожидание случайной величины| Матожидание]] можно преобразовать по :<br />
<br />
<tex>{E} (e^{ t\sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i}}) = </tex> <tex>{E}(\prod\limits_{i = 1}^{n}{e^{\bar{X_i}}}) = </tex> <tex>\prod\limits_{i = 1}^{n}{E}(e^{t \bar{X_i}})</tex><br />
<br />
Оценим <tex>{E}(e^{t \bar{X_i}})</tex> с учётом того, что <tex>p \in [0, 1]</tex><br />
<br />
<tex>{E}(e^{t \bar{X_i}}) = </tex> <tex>p e^{tq} + qe^{-pt} \leqslant e ^ {\frac{t^2}{8}}</tex><br />
<br />
<tex>{P}(e^{ t\sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i}} \geqslant e^{t \delta n}) \leqslant \dfrac{e^{n\frac{t^2}{8}}}{e^{t \delta n}}</tex><br />
<br />
При <tex>t = 4\delta</tex>:<br />
<tex>\mathbb {P}(e^{ t\sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i}} \geqslant e^{t \delta n}) \leqslant e^{-2 \delta^2 n}</tex><br />
<br />
Аналогично доказывается, что: <tex>{P} (\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i - \dfrac{1}{n} m \leqslant -\delta) \leqslant e^{-2 \delta^2 n}</tex><br />
<br />
Таким образом: <tex>{P} (|\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i - \dfrac{1}{n} m| \geqslant \delta) \leqslant 2e^{-2 \delta ^2 n}</tex><br />
}}<br />
<br />
== Относительная оценка ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
| id = thChernov<br />
| about = Граница Чернова (мультипликативная форма)<br />
| statement = Пусть даны <tex>X_1 X_2 \ldots X_n</tex> {{---}} независимые случайные величины, принимающие значения из множества <tex>\{0, 1\}</tex>, <tex>{P}(X_i = 1) = p</tex>, <tex>{P}{(X_i = 0) = 1 - p}</tex><br />
<br />
<tex>X = \sum\limits_{i=1}^{n} X_i</tex><br />
<br />
<tex>m = {E}X = np</tex><br />
<br />
Тогда:<br />
<br />
<tex>{P} (X \geqslant (1 + \delta)m) \leqslant e^{m(\delta - (1 + \delta)\ln(1 + \delta))} \leqslant e^{- \frac{\delta^2}{2 + \delta}m }</tex>, для <tex>\delta > 0</tex><br />
<tex>{P} (X \leqslant (1 - \delta)m) \leqslant e^{- \frac{\delta^2}{2}m }</tex>, для <tex>0 < \delta < 1</tex><br />
| proof = <br />
По [[Неравенство Маркова| неравенству Маркова]]:<br />
<tex>{P}(X \geqslant a) =</tex> <tex>{P}(e^{tX} \geqslant e^{ta}) \leqslant </tex> <tex>\dfrac{{E}(e^{tX})}{e^{ta}}</tex><br />
<br />
Воспользуемся [[#lemma1|леммой о производящей функции моментов суммы случайных величин ]] и [[#lemma2|леммой об ограниченности производящей функции моментов]]:<br />
<br />
<tex>\dfrac{{E}(e^{tX})}{e^{ta}} \leqslant</tex> <tex>\dfrac{\prod\limits_{i = 1}^{n}e^{p(e^t - 1)}}{e^{ta}} =</tex> <tex>\dfrac{e^{(e^t - 1)\sum\limits_{i = 1}^{n}p}}{e^{ta}}</tex> <br />
<br />
Заметим, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} p = m</tex>, кроме того <tex>a = (1 + \delta)m</tex> (по замене).<br />
<br />
<tex>\dfrac{e^{(e^t - 1)\sum\limits_{i = 1}^{n}p}}{e^{ta}} = </tex> <tex>e^{m(e^t - 1 - t - t\delta)}</tex><br />
<br />
Функция <tex>e^{m(e^t - 1 - t - t\delta)}</tex> принимает своё минимальное значение в точке <tex>t = \ln (1 + \delta)</tex><br />
<br />
Воспользуемся неравенством (<tex>x > 0</tex>): <tex>\ln(1 + x) \geqslant \dfrac{x}{1 + x^2}</tex>, для оценки выражения <tex>m(\delta - (1 + \delta)\ln(1 + \delta))</tex>:<br />
<br />
<tex>m(\delta - (1 + \delta)\ln(1 + \delta)) \leqslant</tex> <tex>- \dfrac{\delta^2}{2 + \delta}m</tex><br />
<br />
Отсюда:<br />
<br />
<tex>{P} (X \geqslant (1 + \delta)m) \leqslant e^{- \frac{\delta^2}{2 + \delta}m }</tex>, для <tex>\delta > 0</tex><br />
<br />
Второе неравенство доказывается аналогично. <br />
}}<br />
<br />
==Сравнение с оценкой неравенством Чебышева==<br />
<br />
Граница Чернова даёт намного более точную оценку, чем неравенство Чебышева.<br />
<br />
Пусть честную монету подбросили <tex>N</tex> раз. Оценим вероятность того, что сумма бросков <tex>S</tex> отклонилась от матожидания больше, чем на <tex>\delta = \sqrt{\dfrac{\ln N}{N}}</tex> с помощью [[Неравенство Маркова#Неравенство Чебышева | неравенства Чебышева]] и [[Граница Чернова#Абсолютная оценка | аддитивной формы границы Чернова]]<br />
<br />
По неравенству Чебышева: <tex>P(|\dfrac{S}{N} - \dfrac{1}{2}| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{1}{4N\delta^2} = \dfrac{1}{4\ln N}</tex><br />
<br />
Оценка границей Чернова: <tex>P(|\dfrac{S}{N} - \dfrac{1}{2}| \geqslant \delta) \leqslant 2e^{-2N\delta^2} = \dfrac{2}{N^2}</tex><br />
<br />
==Применение==<br />
Оценка границей Чернова используется в решении проблем уравновешивания множеств <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Set_balancing Wikipedia {{---}} Set balancing]</ref> и маршрутизации пакетов в разреженных сетях.<br />
<br />
Задача уравновешивания двух множеств возникает при планировании статистических экспериментов. Обычно при планировании эксперимента известны свойства каждого участника, задача состоит в том, чтобы разделить участников на две группы: контрольную и тестовую, так, чтобы каждое свойство было как можно более сбалансированно между двумя группами. <br />
<br />
Граница Чернова используется в теории вычислительного обучения для оценки того, что алгоритм с большой вероятностью имеет небольшую ошибку на достаточно большом наборе обучающих данных.<br />
<br />
== См. также ==<br />
* [[Неравенство Маркова]]<br />
* [[Математическое ожидание случайной величины]]<br />
<br />
== Примечания ==<br />
<references/><br />
<br />
== Источники информации ==<br />
* [https://www.lektorium.tv/lecture/12871 Лекториум CS-центра {{---}} Лекция Дмитрия Ицыксона]<br />
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound Wikipedia {{---}} Chernoff bound]<br />
* Michael Mitzenmacher, Eli Upfal. «Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis» {{---}} «Cambridge University Press», 2005 г. {{---}} 61-83 стр. {{---}} ISBN 0-521-83540-2<br />
* M. Kearns, U. Vazirani. «An Introduction to Computational Learning Theory» {{---}} «MIT Press», 1994 г. {{---}} 190-192 стр. {{---}} ISBN 0-262-11193-4<br />
<br />
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]<br />
[[Категория: Теория вероятности]]</div>
129.104.206.135