http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Sementry&feedformat=atomВикиконспекты - Вклад участника [ru]2024-03-29T00:12:16ZВклад участникаMediaWiki 1.30.0http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA_%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B0%D0%BC_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0_%D0%B8_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0&diff=39849Список литературы по курсам математического анализа и функционального анализа2014-07-07T19:34:11Z<p>Sementry: Новая страница: «На данной странице собран список книг (по математике и не только), рекомендованных Додон...»</p>
<hr />
<div>На данной странице собран список книг (по математике и не только), рекомендованных Додоновым Н. Ю. на лекциях по математическому и функциональному анализу, с первого по третий курс.<br />
<br />
* Никольский С.М. - Курс математического анализа<br />
* Кудрявцев Л. Д. - Курс математического анализа<br />
* Рудин У. - Основы математического анализа<br />
* Фихтенгольц Г.М. - Основы математического анализа<br />
* Дьедонне Ж. - Основы современного анализа<br />
* Харди Г. Х. - Курс чистой математики<br />
* Харди Г. Х. - Интегрирование элементарных функций<br />
* Харди Г. Х. - Апология математика<br />
* Харди Г. Х. - Расходящиеся ряды<br />
* Рокафеллар Р. - Выпуклый анализ<br />
* Хинчин А. Я. - Восемь лекций по математическому анализу<br />
* Гелбаум Б., Олмстед Дж. - Контрпримеры в анализе<br />
* Ландау Э. - Основы анализа<br />
* Ландау Э. - Введение в дифференциальное и интегральное исчисление<br />
* Курант Р., Роббинс Г. - Что такое математика?<br />
* Адамар Ж. - Элементарная геометрия<br />
* Лебег Г. - Об измерении величин<br />
* Гильберт Д. - Основания геометрии<br />
* Клейн Ф. - Лекции о развитии математики в XIX столетии<br />
* Вейль Г. - О философии математики<br />
* Рассел Б. - Мудрость Запада<br />
* Штейнгауз Г. - Математика — посредник между духом и материей<br />
* Вулих Б.3. - Краткий курс теории функций вещественной переменной<br />
* Натансон И.П. - Теория функций вещественной переменной<br />
* Халмош П. - Теория меры<br />
* Кудрявцев Л.Д. и др. - Сборник задач по математическому анализу<br />
* Колмогоров А.Н., Фомин С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа<br />
* Энгельс Ф. - Диалектика природы<br />
* Демидов С. С., Левшин Б. В. (отв. редакторы) - Дело академика Николая Николаевича Лузина<br />
* Люстерник Л. А., Соболев В. И. - Краткий курс функционального анализа<br />
* Канторович Л. В., Акилов Г. П. - Функциональный анализ</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_1_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81&diff=39848Математический анализ 1 курс2014-07-07T19:26:34Z<p>Sementry: /* Конспекты лекций Н. Ю. Додонова */</p>
<hr />
<div>[[Категория:Математический анализ 1 курс]]<br />
==Конспекты лекций Н. Ю. Додонова==<br />
<br />
=== Глава I Введение в математический анализ ===<br />
#[[Множества]] - 06.09.2010 - вопросы: 1<br />
#[[Отображения]] - 12.09.2010 - вопросы: 1<br />
#[[Вещественные числа]] - вопросы: 2<br />
#[[Математическая индукция]] - вопросы: 4<br />
#[[Грани числовых множеств]] - 20.09.2010 - вопросы: 2, 3<br />
#[[Мощность множества]] - 20.09.2010 - вопросы: 5, 6, 7<br />
#[[Предел последовательности]] - 20.09.2010 - вопросы: 8, 9, 10, 11<br />
#[[Три основных теоремы о пределах]] - вопросы: 12, 13, 14, 15<br />
<br />
=== Глава II Метрическое пространство ===<br />
#[[Метрическое пространство]] - 04.10.2010 - вопросы: 16, 17, 20<br />
#[[Предел отображения в метрическом пространстве]] - вопросы: 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28<br />
#[[Предел монотонных функций]] - вопросы: 29, <br />
#[[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях]] - 06.12.2010 - вопросы: 18<br />
<br />
=== Глава III Дифференциальное исчисление функции одной переменной ===<br />
#[[Дифференциал и производная]] - вопросы: 34, 35, 36<br />
#[[Производные некоторых элементарных функций]] - вопросы: 31, 32, 33, 37<br />
#[[Классические теоремы дифференциального исчисления]] - вопросы: 40, 41, 42, 43, 44, 45<br />
#[[Производные и дифференциалы высших порядков]] вопросы: 38<br />
#[[Формула Тейлора для полиномов]] - вопросы: 46<br />
#[[Формула Тейлора для произвольной функции]] - вопросы: 47, 48, 49, 50<br />
#[[Задачи интерполирования функции]] - вопросы: 51<br />
#[[Выпуклые функции]] - вопросы: 52, 53<br />
#[[Неравенства Гёльдера, Минковского]] - вопросы: 54, 55, 56<br />
#[[Модуль непрерывности функции]] (15.11.2010) - вопросы: 57, 58<br />
#[[Приближение непрерывной функции полиномами на отрезке]] (15.11.2010) - вопросы: 59, 60<br />
<br />
=== Глава IV Интеграл Римана ===<br />
#[[Неопределённый интеграл]] - 22.11.2010 - вопросы: 61, 62, 63?<br />
#[[Определение интеграла Римана, простейшие свойства]] - 22.11.2010 - вопросы: 63?, 64<br />
#[[Критерий существования определённого интеграла]] - 22.11.2010 - вопросы: 65, 66, 67?, 68, 69<br />
#[[Интеграл с переменным верхним пределом]] - 6.12.2010 - вопросы: 70?, 71, 72, 73?<br />
#[[Несобственные интегралы]] - 6.12.2010 - вопросы: 75, 76<br />
#[[Формула Валлиса]] - 13.12.2010 - вопросы: 78<br />
#[[Остаток формулы Тейлора в интегральной форме]] - 13.12.2010 - вопросы: 77<br />
#[[Некоторые геометрические приложения интеграла]] - 13.12.2010 - вопросы: 79, 80<br />
<br />
=== Глава V Ряды ===<br />
#[[Определение суммы числового ряда]] - 20.12.2010 - вопросы: 81<br />
#[[Положительные ряды]] - 20.12.2010 - вопросы: 82, 83, 84<br />
#[[Незнакопостоянные ряды]] - 20.12.2010 - вопросы: 85?, 86, 87<br />
#[[Арифметические действия с числовыми рядами]] - 27.12.2010 - вопросы: 88, 89, 90, 91, 92<br />
#[[Суммирование расходящихся рядов]] - вопросы: 1, 2, 3, 4<br />
<br />
=== Глава VI Функциональные ряды ===<br />
#[[Определение функционального ряда]] - вопросы: 5<br />
#[[Равномерная сходимость функционального ряда]] - вопросы: 5, 6, 7<br />
#[[Операции анализа с функциональными рядами]] - вопросы: 8, 9, 10<br />
#[[Степенные ряды]] - вопросы: 11, 12, 13, 14<br />
#[[Разложение функций в степенные ряды]] - вопросы: 15, 16, 17, 18, 19, 20<br />
<br />
=== Глава VII Дифференциальное исчисление функций многих переменных ===<br />
#[[Нормированные пространства]] - вопросы 21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32<br />
#[[Линейные операторы в нормированных пространствах]] - вопросы 27, 28, 29, 33<br />
#[[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах]] - вопросы 34, 35, 36, 37<br />
#[[Формула Тейлора для функций многих переменных]] - вопросы 38, 39<br />
#[[Безусловный экстремум функции многих переменных]] - вопросы 40<br />
#[[Локальная теорема о неявном отображении]] - вопросы 26, 41, 42<br />
<br />
=== Глава VIII Интегралы, зависящие от параметра ===<br />
#[[Определённый интеграл, зависящий от параметра]] - вопрос 43<br />
#[[Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра]] - вопросы 44, 45, 46, 47, 48<br />
<br />
=== Глава IX Многократный интеграл Римана ===<br />
#[[Интеграл Римана по прямоугольнику]] - вопросы 49, 50<br />
#[[Распространение интеграла на произвольные ограниченные фигуры]] - вопросы 52, 53<br />
#[[О замене переменной в интеграле многих переменных]] - вопросы 55, 56<br />
#[[О многократных интегралах]] - вопрос 57<br />
<br />
=== Экзамен ===<br />
* [[Теоретический минимум по математическому анализу за 1 семестр]]<br />
* [[Теоретический минимум по математическому анализу за 2 семестр]]<br />
* [[Вопросы к консультации 11.06.2011]]<br />
* [[Определения, 1 семестр, Кохась К.П.]]<br />
* [[Определения, 2 семестр, Кохась К.П.]]<br />
<br />
=== Приложение ===<br />
* [[Список литературы по курсам математического анализа и функционального анализа|Список литературы]]<br />
<br />
== Рекомендации по написанию статей ==<br />
<br />
* [http://www.astronet.ru/db/msg/1202050/greec.html Греческие буквы в TeX]<br />
* [http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%B8%D0%B7_LaTeX_%D0%B2_wiki Здесь] есть конвертеры из LaTeX в вики-разметку<br />
* Если статься в разработке, ставить сверху соответственно<br />
<nowiki>{{В разработке}}</nowiki>, ну и в оглавлении можно писать кто редактирует.<br />
* Добавляйте в начало страницы '''<nowiki>[[Категория:Математический анализ 1 курс]]</nowiki>'''<br />
* Если есть комментарии или недочеты - писать в обсуждении а не править саму статью.<br />
* Используйте в своих конспектах тире, а не дефис (используйте шаблон <nowiki>{{---}}</nowiki>) (про употребление тире, дефиса и минуса читайте [http://www.artlebedev.ru/kovodstvo/sections/97/ здесь])<br />
* Запилен шаблон [[Шаблон:TODO]]. Умеет подсвечивать текст красным без этих ваших div'ов.<br />
* Формулы с дробями нужно увеличивать для повышения читаемости, особенно, если их много в конспекте. Для этого используйте параметр dpi<br />
Сравните:<br />
<br />
{| class = "standard" border = "1"<br />
|<nowiki><tex dpi = "180">\frac {\omega_n(x)}{(x - x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex></nowiki><br />
|<nowiki><tex>\frac {\omega_n(x)}{(x - x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex></nowiki><br />
|-<br />
|<tex dpi = "180">\frac {\omega_n(x)}{(x - x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex><br />
|<tex>\frac {\omega_n(x)}{(x - x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex><br />
|}<br />
* Не используйте тег ''wikitex'', ну пожааааалуйста.</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9B%D0%B0%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0_%D0%B2%D0%B7%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=32638Алгоритм Лампорта взаимного исключения2013-06-19T15:25:10Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>[[Категория: Параллельное программирование]]<br />
'''Алгоритм Лампорта''' взаимного исключения:<br />
<br />
Каждый поток поддерживает очередь запросов на вход в критическую секцию. Приоритет – временная метка (часы с прямой зависимостью) (+ номер потока ?).<br />
<br />
Когда поток хочет войти в критическую секцию, он: <br />
# Добавляет свой запрос в свою очередь<br />
# Посылает всем потокам запрос<br />
# Ждет от них ответа<br />
# Получив все ответы, ждет, когда он станет первым в своей очереди, и входит в критическую секцию<br />
# Выйдя из критической секции, посылает всем сообщение release<br />
<br />
Действия вне критической секции:<br />
* При получении запроса от другого потока, запрос добавляется в очередь и запрашивающему потоку посылается ответ.<br />
* При получении release от другого потока, его запрос удаляется из очереди<br />
<br />
Суммарно на каждую критическую секцию приходится <tex>3(N - 1)</tex> сообщение.</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5&diff=32637Категория:Параллельное программирование2013-06-19T15:23:51Z<p>Sementry: Новая страница: «{{main|Параллельное программирование}}»</p>
<hr />
<div>{{main|Параллельное программирование}}</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9B%D0%B0%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0_%D0%B2%D0%B7%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%BB%D1%8E%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=32636Алгоритм Лампорта взаимного исключения2013-06-19T15:22:43Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>[[Категория: Параллельное программирование]]<br />
'''Алгоритм Лампорта''' взаимного исключения:<br />
<br />
Каждый поток поддерживает очередь запросов на вход в критическую секцию. Приоритет – временная метка (часы с прямой зависимостью) (+ номер потока ?).<br />
<br />
Когда поток хочет войти в критическую секцию, он: <br />
# Добавляет свой запрос в свою очередь<br />
# Посылает всем потокам запрос<br />
# Ждет от них ответа<br />
# Получив все ответы, ждет, когда он станет первым в своей очереди, и входит в критическую секцию<br />
# Выйдя из критической секции, посылает всем сообщение release<br />
<br />
Действия вне критической секции:<br />
* При получении запроса от другого потока, запрос добавляется в очередь и запрашивающему потоку посылается ответ.<br />
* При получении release от другого потока, его запрос удаляется из очереди<br />
<br />
<tex>3*(N -– 1)</tex> messages.</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%B0-%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0&diff=32000Теорема Хана-Банаха2013-06-12T11:06:50Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Линейный функциональный анализ базируется на трех китах(теоремах):<br />
<br />
# теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;<br />
# теорема Банаха об обратном операторе;<br />
# теорема Штейнгауза о равномерной ограниченности.<br />
<br />
Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство. Функционал <tex>f: X \rightarrow \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на <tex>X</tex>, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex><br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=<br />
Хан, Банах<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное пространство, <tex>p</tex> {{---}} полунорма на нем, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.<br />
Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что:<br />
# <tex>g|_Y = f</tex><br />
# <tex>x \in X \Rightarrow |g(x)| \le p(x)</tex><br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|id=<br />
hbnorm<br />
|author=<br />
Хан, Банах<br />
|about=<br />
случай нормированных пространств<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} подпространство <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.<br />
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.<br />
|proof=<br />
Доказательство есть в Люстренике, Соболеве, глава про линейные функционалы, раздел про теорему Хана-Банаха в ЛНП. В такой формулировке не нужна сепарабельность, в том числе и в следствиях.<br />
}}<br />
<br />
Мы не будем доказывать теорему в таком виде, вместо этого докажем ее частный случай:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=<br />
Хан, Банах<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Метрические_пространства#defdense|сепарабельное]] нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество <tex>X</tex>, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.<br />
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.<br />
|proof=<br />
Доказательство разбиваем на две части.<br />
<br />
'''1'''<br />
<br />
Рассмотрим <tex>z \notin Y</tex>, <tex>L = \{ y + tz, t \in \mathbb R, y \in Y\}</tex><br />
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.<br />
<br />
Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> {{---}} искомый линейный функционал.<br />
<br />
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex><br />
<br />
Идея: мы рассматриваем множество <tex>Y</tex> и пополняем его до линейной оболочки <tex>L = \mathcal{L}(Y,z)</tex>. По линейности, для того, чтобы можно было считать <tex>f</tex> на <tex>L</tex>, нужно доопределить его всего в одной точке. Например, в <tex>z</tex>: <tex>g(z)=-c</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>. Заметим, что <tex>p</tex> является полунормой.<br />
<br />
Добьемся того, чтобы <tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>, из этого будет следовать, что <tex>\|g\| = \|f\|</tex>, так как при продолжении функционала его норма уменьшиться не может.<br />
<br />
<tex>|f(y) - tc| \le p(y+tz)</tex> распишем модуль:<br />
<br />
<tex>f(y) - p(y+tz) \le tc \le f(y) + p(y+tz)</tex> поделим на <tex>t</tex><br />
<br />
<tex>f(\frac{y}{t}) - p(\frac{y}{t} + z) \le c \le f(\frac{y}{t}) + p(\frac{y}{t} + z)</tex><br />
<br />
<br />
Пусть <tex>A = \sup\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) - p(\frac y t + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(\frac y t) + p(\frac y t + z))</tex>.<br />
<br />
Проверим, что <tex>A \le B</tex>.<br />
<br />
Для этого достаточно, чтобы выполнялось <tex>\forall y_1, y_2 \in Y: f(y_1) - p(y_1 + z) \le f(y_2) + p(y_2 + z)</tex>:<br />
<br />
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex> - верно, так как: <br />
<br />
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1 - y_2) = p((y_1+z) - (y_2+z)) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex>.<br />
<br />
Значит, можно взять любое <tex>c</tex> из отрезка <tex>[A; B]</tex>, а значение <tex>g</tex> на <tex>z \notin Y</tex> позволяет доопределить значение функционала на всем <tex>L</tex> по линейности.<br />
<br />
'''2'''<br />
<br />
Так как мы рассматриваем сепарабельное НП, то существует последовательность <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex>, замыкание линейной оболочки которой совпадает со всем пространством <tex>X</tex>.<br />
<br />
Пользуясь пунктом 1, мы можем выстроить последовательность линейных подпространств в <tex>X</tex>, <tex>L(e_1) \subset L(e_1, e_2) \subset \ldots \subset L(e_1, \ldots, e_n) \subset \ldots</tex><br />
<br />
Тогда <tex>L(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} L(e_1, e_2, \ldots e_n)</tex>, и <tex> Cl L(e_1, e_2 \ldots e_n \dots) = X</tex>, требуемый функционал можно продолжить по непрерывности.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.<br />
|proof=<br />
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> {{---}} линейное подмножество в <tex>X</tex>.<br />
<br />
<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.<br />
<br />
Пользуясь только что доказанной теоремой, продолжаем <tex>f</tex> на все <tex>X</tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.<br />
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex><br />
|proof=<br />
Пусть <tex>Y = L(e_1, e_2, \ldots, e_n)</tex>, возьмем <tex>f_j(e_i) = \delta_{ij}</tex>.<br />
<br />
Тогда для <tex>y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in Y</tex>, <tex>f_j(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k f_j(e_k)</tex>.<br />
<br />
Ясно, что все <tex>f_j</tex> - ограниченные линейные функционалы на <tex>Y</tex>, удовлетворяющие нашим условиям. Теперь просто продолжаем каждый из них на все <tex>X</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31968Обсуждение:Компактный оператор2013-06-12T08:43:11Z<p>Sementry: УЖЕ МЕНЕЕ ВАЖНО</p>
<hr />
<div>== Компактный vs вполне непрерывный ==<br />
Я правильно понимаю, что линейный вполне непрерывный оператор = компактный? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 16:07, 9 июня 2013 (GST)<br />
: Что такое "вполне ограниченный оператор"? В Википедии компактный оператор называется также вполне непрерывным ([http://ru.wikipedia.org/wiki/Компактный_оператор]) --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 17:08, 9 июня 2013 (GST)<br />
:: ой, это я хотел "вполне непрерывный" написать, да. В википедии да, а в конспекте дается определение компактного, а в последней лекции — определение вполне непрерывного --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:28, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
<br />
Верно ли, что любое относительно компактное множество замкнуто? (для компакта это вроде как так)<br />
<br />
В теореме про суперпозицию функций есть непонятный момент: <tex>W = A(V)</tex> - относительно компактно, т.к. А - компактный. Почему у W существует конечная <tex>\varepsilon</tex> - сеть?<br />
<br />
В обратную сторону пока тоже не совсем понятно, как доказывать<br />
<br />
<br />
<br />
И почему единичный оператор компактен в конечномерном случае?<br />
если подействовать им на мн-во рациональных чисел, получится оно же. Но как бы не является компактом(и , наверное, относительно компактным, хз что такое замыкание <tex>\mathbb R</tex>)<br />
<br />
== Онтосительная компактность => Сепарабельность ==<br />
<br />
* "Используя теорему Хаусдорфа ..." — там <tex>\varepsilon = \frac1n </tex> что ли? --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 21:15, 10 июня 2013 (GST)<br />
** исправил --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 21:19, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
== Компактность сопряженного оператора ==<br />
В текущем доказательстве шизофрения, <tex> \{ \varphi_n \} </tex> — последовательность непрерывных функционалов на <tex> F </tex>, а не на <tex> \mathbb R </tex> или каком-то отрезке, теоремой Арцела-Асколи пользоваться нельзя. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 12:39, 12 июня 2013 (GST)<br />
: UPD: в Люстернике-Соболеве такое же доказательство, идет ссылка на обобщение теоремы Арцела-Асколи, которое нигде не доказано, грусть-печаль. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 12:43, 12 июня 2013 (GST)</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31966Обсуждение:Компактный оператор2013-06-12T08:39:31Z<p>Sementry: ВАЖНО</p>
<hr />
<div>== Компактный vs вполне непрерывный ==<br />
Я правильно понимаю, что линейный вполне непрерывный оператор = компактный? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 16:07, 9 июня 2013 (GST)<br />
: Что такое "вполне ограниченный оператор"? В Википедии компактный оператор называется также вполне непрерывным ([http://ru.wikipedia.org/wiki/Компактный_оператор]) --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 17:08, 9 июня 2013 (GST)<br />
:: ой, это я хотел "вполне непрерывный" написать, да. В википедии да, а в конспекте дается определение компактного, а в последней лекции — определение вполне непрерывного --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:28, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
<br />
Верно ли, что любое относительно компактное множество замкнуто? (для компакта это вроде как так)<br />
<br />
В теореме про суперпозицию функций есть непонятный момент: <tex>W = A(V)</tex> - относительно компактно, т.к. А - компактный. Почему у W существует конечная <tex>\varepsilon</tex> - сеть?<br />
<br />
В обратную сторону пока тоже не совсем понятно, как доказывать<br />
<br />
<br />
<br />
И почему единичный оператор компактен в конечномерном случае?<br />
если подействовать им на мн-во рациональных чисел, получится оно же. Но как бы не является компактом(и , наверное, относительно компактным, хз что такое замыкание <tex>\mathbb R</tex>)<br />
<br />
== Онтосительная компактность => Сепарабельность ==<br />
<br />
* "Используя теорему Хаусдорфа ..." — там <tex>\varepsilon = \frac1n </tex> что ли? --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 21:15, 10 июня 2013 (GST)<br />
** исправил --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 21:19, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
== Компактность сопряженного оператора ==<br />
В текущем доказательстве шизофрения, <tex> \{ \varphi_n \} </tex> — последовательность непрерывных функционалов на <tex> F </tex>, а не на <tex> \mathbb R </tex> или каком-то отрезке, теоремой Арцела-Асколи пользоваться нельзя. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 12:39, 12 июня 2013 (GST)</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31959Сопряжённый оператор2013-06-12T08:07:44Z<p>Sementry: /* Теорема 1 */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\subset</tex>:<br />
<br />
<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\supset</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.<br />
<br />
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31958Сопряжённый оператор2013-06-12T08:04:12Z<p>Sementry: /* Теорема 1 */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\subset</tex>:<br />
<br />
<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\supset</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.<br />
<br />
Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.<br />
<br />
Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E_%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85&diff=31955О нелинейных операторных уравнениях2013-06-12T07:35:38Z<p>Sementry: /* Проекторы Шаудера */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Ранее мы рассматривали уравнения вида <tex> y = \lambda x - \mathcal{A} x </tex>, где <tex> y </tex> дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать <tex> \sigma(\mathcal{A}) </tex>. <br />
<br />
Сложнее, когда задано уравнение вида <tex>\mathcal{T}(x) = 0</tex> или <tex>\mathcal{T}(x) = x</tex>, где <tex> T: X \xrightarrow[nonlinear]{} X </tex> {{---}} произвольный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>.<br />
<br />
В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.<br />
<br />
== Простые итерации ==<br />
<br />
Решаем уравнение <tex> x = \mathcal{T}(x) </tex>. Составляем последовательность <tex> x_{n+1} = \mathcal{T}(x_n) </tex> и изучаем сходимость последовательности <tex> \{ x_n \} \xrightarrow[]{?} x^* </tex>.<br />
<br />
Если <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор, то <tex> x_{n+1} \to \mathcal{T} x^*, \mathcal{T} x_n \to \mathcal{T} x^* </tex> и, по единственности предела, получаем <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>.<br />
<br />
Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'_x (\Delta x) + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}'_x </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.<br />
<br />
<tex> \frac { \| o(\Delta x) \|} { \| \Delta x \| } \to 0 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=Локальная теорема о простой итерации<br />
|statement=<br />
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.<br />
<br />
Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:<br />
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.<br />
* <tex> x_n \to \overline x </tex><br />
<br />
|proof=<br />
<br />
Положим <tex> \varepsilon = \frac {1-q}2 </tex>.<br />
<br />
В силу определения производной Фреше существует <tex> \delta > 0: \| \Delta x \| < \delta \implies \| \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}(\overline x) - \mathcal{T}'(\overline x) \cdot \Delta x \| < \varepsilon \| \Delta x \| </tex>.<br />
<br />
Убедимся в том, что такая <tex> \delta </tex> подходит в качестве радиуса шара из условия теоремы:<br />
<br />
Предположим, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) </tex>.<br />
<br />
<tex> \| x_{n+1} - \overline x \| = \| \mathcal{T}x_n - \mathcal{T} \overline x\| \le </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| + \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим первое слагаемое: <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies \| x_n - \overline x \| < \delta </tex>, а значит, <tex> \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| < \varepsilon \| x_n - \overline x \| </tex>.<br />
<br />
Второе слагаемое: <tex> \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| \le \| \mathcal{T}'(\overline x) \| \| x_n - \overline x \| \le q \| x_n - \overline x \| </tex><br />
<br />
Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| = (\frac {1-q}2 + q) \le \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>. <br />
<br />
Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \hdots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Метод Ньютона-Канторовича ==<br />
<br />
Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида <tex> \mathcal{T} x = 0, \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>, <tex>X</tex>{{---}} нормированное пространство. <br />
<br />
Предположим, что <tex> \mathcal{T} (\overline x) = 0 </tex>. Получим схему метода Ньютона-Канторовича. <br />
<br />
<tex> x_0 </tex> {{---}} начальное приближение.<br />
<br />
<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \hdots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (x_0 - \overline x) </tex>.<br />
<br />
Обозначим <tex> \Gamma(x_0) = (\mathcal{T}'(x_0))^{-1} </tex>.<br />
<br />
<tex> -\mathcal{T}(x_0) = \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) </tex><br />
<br />
Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>: <br />
<br />
<tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>. <br />
<br />
<tex> \overline x = x_0 - \Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) </tex>.<br />
<br />
Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_n) \mathcal{T} (x_n) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции <br />
<br />
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex><br />
<br />
<tex> x_{n+1} = \mathcal{F}(x_n) </tex><br />
<br />
Покажем, что <tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>, то есть <tex> q = 0 </tex> из условия локальной теоремы о простой итерации. <br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex><br />
|proof=<br />
<br />
<tex> \| \mathcal{F} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{F} (\overline x) \| </tex> <br />
<br />
<tex>= \| \overline x + \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \overline x + \Gamma(\overline x) \mathcal{T} (\overline x) \| </tex> <br />
<br />
<tex>= \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \|</tex><br />
<br />
Запишем <tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> через значение <tex> \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) </tex>: <br />
<br />
<tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> <br />
<br />
<tex> = \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) + \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot (\overline x - (\overline x + \Delta x)) + o(\overline x - (\overline x + \Delta x)) </tex> <br />
<br />
<tex>= \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>, откуда <tex> \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) = \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>. <br />
<br />
Подставим это равенство в выражение выше: <tex> \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \| </tex><br />
<br />
<tex> = <br />
\| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x) \cdot o(\Delta x) \| </tex> <br />
<br />
<tex> = \| \Delta x - \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x)) \cdot o(\Delta x) \| </tex>. <br />
<br />
Итого: <tex> \| \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) \| \le \| \Gamma(\overline x + \Delta x) \| \| o(\Delta x) \| </tex>, откуда <tex> \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) = o(\Delta x) \implies \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex> <br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема Шаудера ==<br />
<br />
Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x = x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себя, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c = f(c) </tex>. <br />
<br />
Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра: <br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Брауэр<br />
|about=о неподвижной точке<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное выпуклое замкнутое подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> F </tex> непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^*: F(x^*) = x^* </tex>. <br />
}} <br />
<br />
Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, <tex> D \subset X </tex> {{---}} ограничено в <tex> X </tex>. <br />
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывное отображение <tex> D \mapsto X </tex>. Говорят, что <tex> \mathcal{T} </tex> ''вполне непрерывно'' на <tex> D </tex>, если <tex> \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно в <tex> X </tex>. <br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Шаудер<br />
|about=о неподвижной точке<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. <br />
<br />
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.<br />
}} <br />
<br />
Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэра. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение. <br />
<br />
=== Вспомогательные факты ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=Факт Первый<br />
|statement=<br />
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex> (<tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists N: \forall n > N, \forall x \in D : \| \mathcal{T}_n(x) - \mathcal{T}(x) \| < \varepsilon</tex>).<br />
<br />
Тогда <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывен на <tex> D </tex>.<br />
<br />
|proof=<br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> по равномерной сходимости, <tex> \exists n_0: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_{n_0}(x) \| < \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.<br />
<br />
По предположению, <tex> \mathcal{T}_{n_0} </tex> {{---}} вполне непрерывный: существует конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> для <tex> \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall y \in \mathcal{T}(D), y = \mathcal{T}x </tex>. Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_{n_0}(x) \in \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex> и подберем такое <tex> y_j </tex>, что <tex> \| y_j - \mathcal{T}_{n_0}x \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> \| y - y_j \| = \| \mathcal{T}x - y_j \| \le \| \mathcal{T}x - \mathcal{T}_{n_0}x \| + \| \mathcal{T}_{n_0}x - y_j \| </tex>. Первое слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> n_0 </tex> и равномерной сходимости. Второе слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> y_j </tex> из <tex> \varepsilon </tex>-сети. <br />
<br />
Окончательно, <tex> \exists y_1, \hdots, y_p : \forall y \in \mathcal{T}(D) \exists y_j: \| y - y_j \| < 2 \varepsilon </tex>. Значит, мы получили <tex> 2\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=Факт Второй<br />
|statement=<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>. <br />
<br />
Тогда множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_n(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}(D) </tex> относительно компактно. <br />
<br />
|proof=<br />
<br />
По равномерной сходимости, <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0: \forall n > n_0 \forall x \in D: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_n(x) \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>. Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств. <br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> рассмотрим <tex> \varepsilon </tex>-сеть для этого множества: <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. Проверим, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> k \varepsilon </tex>-сеть для этого множества, где число <tex> k </tex> определим позже. <br />
<br />
Возьмем произвольный <tex> y \in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. <br />
<br />
Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами <tex> y </tex>. Пусть, для начала, <tex> y \in \mathcal{T}_n(D) </tex>.<br />
<br />
Если <tex> n \le n_0 </tex>, то <tex> \exists y_j : \| y - y_j \| < \varepsilon </tex>. <br />
<br />
Пусть <tex> n > n_0, y \in \mathcal{T}_n(D) \implies y = \mathcal{T}_n x</tex>. <br />
<br />
<tex> \| y - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> = \| \mathcal{T}_n x - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - \mathcal{T}_{n_0} x \| + \| \mathcal{T}_{n_0} x - y_j \| </tex>.<br />
<br />
Первые два слагаемых <tex> \le \varepsilon </tex> по равномерной сходимости, третье <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> \varepsilon </tex>-сети для <tex> n_0 </tex>.<br />
<br />
Аналогичную оценку получаем, если <tex> y \in \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
В итоге, получили, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> 3\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Проекторы Шаудера ===<br />
<br />
Основная идея данного доказательства {{---}} построение проекторов Шаудера.<br />
<br />
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.<br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.<br />
<br />
Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex><br />
<br />
<tex> \mu_j(y) = \begin{cases} <br />
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\<br />
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases} <br />
</tex><br />
<br />
Легко проверить, что для любого <tex> j </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна на <tex> M </tex>. {{TODO|t=Легко? Так давайте сделаем это.}}<br />
<br />
Поскольку <tex> \{ y_j \} </tex> {{---}} <tex> \varepsilon </tex>-сеть, то <tex> \forall y </tex> все <tex> \mu_j(y) </tex> не могут быть равны нулю одновременно. <br />
<br />
Обозначим <tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>. По предыдущему утверждению, <tex> \forall y: S(y) > 0 </tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<br />
<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.<br />
<br />
}}<br />
<br />
Коэффициенты <tex> \frac {\mu_j(y)} {S(y)} </tex> обозначим за <tex> \alpha_j(y) </tex>. Из определения следует, что <tex> \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) = 1 </tex>, то есть, <tex> P_\varepsilon(y) </tex> есть выпуклая комбинация точек <tex> \varepsilon </tex> сети для любого <tex> y </tex>. <br />
<br />
<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \hdots, y_p) </tex><br />
<br />
Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| </tex>.<br />
<br />
Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j \le \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Получили, что <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, когда <tex> \varepsilon \to 0 </tex>.<br />
<br />
Каждый из операторов <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} </tex> конечномерен: <tex> \operatorname{dim} R(P_\varepsilon \mathcal{T}) < +\infty </tex>.<br />
<br />
По неравенству, полученному чуть выше, также имеем <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| \le \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.<br />
<br />
В итоге мы имеем следующую теорему:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Проекторы Шаудера оператора <tex> \mathcal{T} </tex> равномерно сходятся к <tex> \mathcal{T} </tex>: <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, то есть любой вполне непрерывный оператор является равномерным пределом последовательности конечномерных операторов.<br />
}}<br />
<br />
Соединяя с теоремой Брауэра, получим:<br />
<br />
<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.<br />
<br />
Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространство. <br />
<br />
Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>. <br />
<br />
Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \hdots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.<br />
<br />
<tex> \| x^* - \mathcal{T}x^* \| = \| \lim(x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k}) \| </tex>. <br />
<br />
По выбору <tex> x_{n_k} </tex>: <tex> x_{n_k} = \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} </tex>. <br />
<br />
По равномерной сходимости <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>: <tex> \| \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k} \| \le \varepsilon </tex>, начиная с <tex> k_0 </tex> для всех <tex> x \in M </tex>.<br />
<br />
Откуда, окончательно, получаем, что искомый предел равен <tex> 0 </tex>, и <tex> \| x^* - \mathcal{T} x^* \| = 0 </tex>, и <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>. Теорема Шаудера доказана.<br />
<br />
That's all folks!<br />
{{TODO|t=сделать картиночку, как в Looney Tunes в конце серии, только с Додоновым вместо Porky Pig}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E_%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85&diff=31896О нелинейных операторных уравнениях2013-06-11T21:49:32Z<p>Sementry: /* Проекторы Шаудера */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Ранее мы рассматривали уравнения вида <tex> y = \lambda x - \mathcal{A} x </tex>, где <tex> y </tex> дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать <tex> \sigma(\mathcal{A}) </tex>. <br />
<br />
Сложнее, когда задано уравнение вида <tex>\mathcal{T}(x) = 0</tex> или <tex>\mathcal{T}(x) = x</tex>, где <tex> T: X \xrightarrow[nonlinear]{} X </tex> {{---}} произвольный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>.<br />
<br />
В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.<br />
<br />
== Простые итерации ==<br />
<br />
Решаем уравнение <tex> x = \mathcal{T}(x) </tex>. Составляем последовательность <tex> x_{n+1} = \mathcal{T}(x_n) </tex> и изучаем сходимость последовательности <tex> \{ x_n \} \xrightarrow[]{?} x^* </tex>.<br />
<br />
Если <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор, то <tex> x_{n+1} \to \mathcal{T} x^*, \mathcal{T} x_n \to \mathcal{T} x^* </tex> и, по единственности предела, получаем <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>.<br />
<br />
Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'_x (\Delta x) + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}'_x </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.<br />
<br />
<tex> \frac { \| o(\Delta x) \|} { \| \Delta x \| } \to 0 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=Локальная теорема о простой итерации<br />
|statement=<br />
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.<br />
<br />
Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:<br />
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.<br />
* <tex> x_n \to \overline x </tex><br />
<br />
|proof=<br />
<br />
Положим <tex> \varepsilon = \frac {1-q}2 </tex>.<br />
<br />
В силу определения производной Фреше существует <tex> \delta > 0: \| \Delta x \| < \delta \implies \| \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}(\overline x) - \mathcal{T}'(\overline x) \cdot \Delta x \| < \varepsilon \| \Delta x \| </tex>.<br />
<br />
Убедимся в том, что такая <tex> \delta </tex> подходит в качестве радиуса шара из условия теоремы:<br />
<br />
Предположим, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) </tex>.<br />
<br />
<tex> \| x_{n+1} - \overline x \| = \| \mathcal{T}x_n - \mathcal{T} \overline x\| \le </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| + \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим первое слагаемое: <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies \| x_n - \overline x \| < \delta </tex>, а значит, <tex> \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| < \varepsilon \| x_n - \overline x \| </tex>.<br />
<br />
Второе слагаемое: <tex> \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| \le \| \mathcal{T}'(\overline x) \| \| x_n - \overline x \| \le q \| x_n - \overline x \| </tex><br />
<br />
Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| = (\frac {1-q}2 + q) \le \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>. <br />
<br />
Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \hdots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Метод Ньютона-Канторовича ==<br />
<br />
Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида <tex> \mathcal{T} x = 0, \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>, <tex>X</tex>{{---}} нормированное пространство. <br />
<br />
Предположим, что <tex> \mathcal{T} (\overline x) = 0 </tex>. Получим схему метода Ньютона-Канторовича. <br />
<br />
<tex> x_0 </tex> {{---}} начальное приближение.<br />
<br />
<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \hdots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (x_0 - \overline x) </tex>.<br />
<br />
Обозначим <tex> \Gamma(x_0) = (\mathcal{T}'(x_0))^{-1} </tex>.<br />
<br />
<tex> -\mathcal{T}(x_0) = \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) </tex><br />
<br />
Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>: <br />
<br />
<tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>. <br />
<br />
<tex> \overline x = x_0 - \Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) </tex>.<br />
<br />
Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_n) \mathcal{T} (x_n) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции <br />
<br />
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex><br />
<br />
<tex> x_{n+1} = \mathcal{F}(x_n) </tex><br />
<br />
Покажем, что <tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>, то есть <tex> q = 0 </tex> из условия локальной теоремы о простой итерации. <br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex><br />
|proof=<br />
<br />
<tex> \| \mathcal{F} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{F} (\overline x) \| </tex> <br />
<br />
<tex>= \| \overline x + \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \overline x + \Gamma(\overline x) \mathcal{T} (\overline x) \| </tex> <br />
<br />
<tex>= \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \|</tex><br />
<br />
Запишем <tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> через значение <tex> \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) </tex>: <br />
<br />
<tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> <br />
<br />
<tex> = \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) + \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot (\overline x - (\overline x + \Delta x)) + o(\overline x - (\overline x + \Delta x)) </tex> <br />
<br />
<tex>= \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>, откуда <tex> \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) = \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>. <br />
<br />
Подставим это равенство в выражение выше: <tex> \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \| </tex><br />
<br />
<tex> = <br />
\| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x) \cdot o(\Delta x) \| </tex> <br />
<br />
<tex> = \| \Delta x - \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x)) \cdot o(\Delta x) \| </tex>. <br />
<br />
Итого: <tex> \| \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) \| \le \| \Gamma(\overline x + \Delta x) \| \| o(\Delta x) \| </tex>, откуда <tex> \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) = o(\Delta x) \implies \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex> <br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема Шаудера ==<br />
<br />
Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x = x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себя, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c = f(c) </tex>. <br />
<br />
Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра: <br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Брауэр<br />
|about=о неподвижной точке<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное выпуклое замкнутое подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> F </tex> непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^*: F(x^*) = x^* </tex>. <br />
}} <br />
<br />
Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, <tex> D \subset X </tex> {{---}} ограничено в <tex> X </tex>. <br />
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывное отображение <tex> D \mapsto X </tex>. Говорят, что <tex> \mathcal{T} </tex> ''вполне непрерывно'' на <tex> D </tex>, если <tex> \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно в <tex> X </tex>. <br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Шаудер<br />
|about=о неподвижной точке<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. <br />
<br />
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.<br />
}} <br />
<br />
Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэра. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение. <br />
<br />
=== Вспомогательные факты ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=Факт Первый<br />
|statement=<br />
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex> (<tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists N: \forall n > N, \forall x \in D : \| \mathcal{T}_n(x) - \mathcal{T}(x) \| < \varepsilon</tex>).<br />
<br />
Тогда <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывен на <tex> D </tex>.<br />
<br />
|proof=<br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> по равномерной сходимости, <tex> \exists n_0: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_{n_0}(x) \| < \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.<br />
<br />
По предположению, <tex> \mathcal{T}_{n_0} </tex> {{---}} вполне непрерывный: существует конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> для <tex> \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall y \in \mathcal{T}(D), y = \mathcal{T}x </tex>. Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_{n_0}(x) \in \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex> и подберем такое <tex> y_j </tex>, что <tex> \| y_j - \mathcal{T}_{n_0}x \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> \| y - y_j \| = \| \mathcal{T}x - y_j \| \le \| \mathcal{T}x - \mathcal{T}_{n_0}x \| + \| \mathcal{T}_{n_0}x - y_j \| </tex>. Первое слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> n_0 </tex> и равномерной сходимости. Второе слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> y_j </tex> из <tex> \varepsilon </tex>-сети. <br />
<br />
Окончательно, <tex> \exists y_1, \hdots, y_p : \forall y \in \mathcal{T}(D) \exists y_j: \| y - y_j \| < 2 \varepsilon </tex>. Значит, мы получили <tex> 2\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=Факт Второй<br />
|statement=<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>. <br />
<br />
Тогда множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_n(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}(D) </tex> относительно компактно. <br />
<br />
|proof=<br />
<br />
По равномерной сходимости, <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0: \forall n > n_0 \forall x \in D: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_n(x) \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>. Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств. <br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> рассмотрим <tex> \varepsilon </tex>-сеть для этого множества: <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. Проверим, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> k \varepsilon </tex>-сеть для этого множества, где число <tex> k </tex> определим позже. <br />
<br />
Возьмем произвольный <tex> y \in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. <br />
<br />
Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами <tex> y </tex>. Пусть, для начала, <tex> y \in \mathcal{T}_n(D) </tex>.<br />
<br />
Если <tex> n \le n_0 </tex>, то <tex> \exists y_j : \| y - y_j \| < \varepsilon </tex>. <br />
<br />
Пусть <tex> n > n_0, y \in \mathcal{T}_n(D) \implies y = \mathcal{T}_n x</tex>. <br />
<br />
<tex> \| y - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> = \| \mathcal{T}_n x - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - \mathcal{T}_{n_0} x \| + \| \mathcal{T}_{n_0} x - y_j \| </tex>.<br />
<br />
Первые два слагаемых <tex> \le \varepsilon </tex> по равномерной сходимости, третье <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> \varepsilon </tex>-сети для <tex> n_0 </tex>.<br />
<br />
Аналогичную оценку получаем, если <tex> y \in \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
В итоге, получили, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> 3\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Проекторы Шаудера ===<br />
<br />
Основная идея данного доказательства {{---}} построение проекторов Шаудера.<br />
<br />
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.<br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.<br />
<br />
Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex><br />
<br />
<tex> \mu_j(y) = \begin{cases} <br />
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\<br />
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases} <br />
</tex><br />
<br />
Легко проверить, что для любого <tex> j </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна на <tex> M </tex>. {{TODO|t=Легко? Так давайте сделаем это.}}<br />
<br />
Поскольку <tex> \{ y_j \} </tex> {{---}} <tex> \varepsilon </tex>-сеть, то <tex> \forall y </tex> все <tex> \mu_j(y) </tex> не могут быть равны нулю одновременно. <br />
<br />
Обозначим <tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>. По предыдущему утверждению, <tex> \forall y: S(y) > 0 </tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<br />
<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.<br />
<br />
}}<br />
<br />
Коэффициенты <tex> \frac {\mu_j(y)} {S(y)} </tex> обозначим за <tex> \alpha_j(y) </tex>. Из определения следует, что <tex> \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) = 1 </tex>, то есть, <tex> P_\varepsilon(y) </tex> есть выпуклая комбинация точек <tex> \varepsilon </tex> сети для любого <tex> y </tex>. <br />
<br />
<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \hdots, y_p) </tex><br />
<br />
Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| </tex>.<br />
<br />
Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j \le \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Получили, что <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, когда <tex> \varepsilon \to 0 </tex>.<br />
<br />
Каждый из операторов <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} </tex> конечномерен: <tex> \mathop{dim} R(P_\varepsilon \mathcal{T}) < +\infty </tex>.<br />
<br />
По неравенству, полученному чуть выше, также имеем <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| \le \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.<br />
<br />
В итоге мы имеем следующую теорему:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Проекторы Шаудера оператора <tex> \mathcal{T} </tex> равномерно сходятся к <tex> \mathcal{T} </tex>: <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, то есть любой вполне непрерывный оператор является равномерным пределом последовательности конечномерных операторов.<br />
}}<br />
<br />
Соединяя с теоремой Брауэра, получим:<br />
<br />
<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.<br />
<br />
Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространство. <br />
<br />
Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>. <br />
<br />
Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \hdots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.<br />
<br />
<tex> \| x^* - \mathcal{T}x^* \| = \| \lim(x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k}) \| </tex>. <br />
<br />
По выбору <tex> x_{n_k} </tex>: <tex> x_{n_k} = \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} </tex>. <br />
<br />
По равномерной сходимости <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>: <tex> \| \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k} \| \le \varepsilon </tex>, начиная с <tex> k_0 </tex> для всех <tex> x \in M </tex>.<br />
<br />
Откуда, окончательно, получаем, что искомый предел равен <tex> 0 </tex>, и <tex> \| x^* - \mathcal{T} x^* \| = 0 </tex>, и <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>. Теорема Шаудера доказана.<br />
<br />
That's all folks!<br />
{{TODO|t=сделать картиночку, как в Looney Tunes в конце серии, только с Додоновым вместо Porky Pig}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E_%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85&diff=31890О нелинейных операторных уравнениях2013-06-11T20:39:53Z<p>Sementry: /* Теорема Шаудера */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Ранее мы рассматривали уравнения вида <tex> y = \lambda x - \mathcal{A} x </tex>, где <tex> y </tex> дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать <tex> \sigma(\mathcal{A}) </tex>. <br />
<br />
Сложнее, когда задано уравнение вида <tex>\mathcal{T}(x) = 0</tex> или <tex>\mathcal{T}(x) = x</tex>, где <tex> T: X \xrightarrow[nonlinear]{} X </tex> {{---}} произвольный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>.<br />
<br />
В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.<br />
<br />
== Простые итерации ==<br />
<br />
Решаем уравнение <tex> x = \mathcal{T}(x) </tex>. Составляем последовательность <tex> x_{n+1} = \mathcal{T}(x_n) </tex> и изучаем сходимость последовательности <tex> \{ x_n \} \xrightarrow[]{?} x^* </tex>.<br />
<br />
Если <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор, то <tex> x_{n+1} \to \mathcal{T} x^*, \mathcal{T} x_n \to \mathcal{T} x^* </tex> и, по единственности предела, получаем <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>.<br />
<br />
Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'(x) \cdot \Delta x + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}' </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.<br />
<br />
<tex> \frac { \| o(\Delta x) \|} { \| \Delta x \| } \to 0 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=Локальная теорема о простой итерации<br />
|statement=<br />
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.<br />
<br />
Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:<br />
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.<br />
* <tex> x_n \to \overline x </tex><br />
<br />
|proof=<br />
<br />
Положим <tex> \varepsilon = \frac {1-q}2 </tex>.<br />
<br />
В силу определения производной Фреше существует <tex> \delta > 0: \| \Delta x \| < \delta \implies \| \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}(\overline x) - \mathcal{T}'(\overline x) \cdot \Delta x \| < \varepsilon \| \Delta x \| </tex>.<br />
<br />
Убедимся в том, что такая <tex> \delta </tex> подходит в качестве радиуса шара из условия теоремы:<br />
<br />
Предположим, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) </tex>.<br />
<br />
<tex> \| x_{n+1} - \overline x \| = \| \mathcal{T}x_n - \mathcal{T} \overline x\| \le </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| + \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим первое слагаемое: <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies \| x_n - \overline x \| < \delta </tex>, а значит, <tex> \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| < \varepsilon \| x_n - \overline x \| </tex>.<br />
<br />
Второе слагаемое: <tex> \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| \le \| \mathcal{T}'(\overline x) \| \| x_n - \overline x \| \le q \| x_n - \overline x \| </tex><br />
<br />
Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| = (\frac {1-q}2 + q) \le \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>. <br />
<br />
Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \hdots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Метод Ньютона-Канторовича ==<br />
<br />
Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида <tex> \mathcal{T} x = 0, \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>, <tex>X</tex>{{---}} нормированное пространство. <br />
<br />
Предположим, что <tex> \mathcal{T} (\overline x) = 0 </tex>. Получим схему метода Ньютона-Канторовича. <br />
<br />
<tex> x_0 </tex> {{---}} начальное приближение.<br />
<br />
<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \hdots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (x_0 - \overline x) </tex>.<br />
<br />
Обозначим <tex> \Gamma(x_0) = (\mathcal{T}'(x_0))^{-1} </tex>.<br />
<br />
<tex> -\mathcal{T}(x_0) = \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) </tex><br />
<br />
Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>: <br />
<br />
<tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>. <br />
<br />
<tex> \overline x = x_0 - \Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) </tex>.<br />
<br />
Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_n) \mathcal{T} (x_n) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции <br />
<br />
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex><br />
<br />
<tex> x_{n+1} = \mathcal{F}(x_n) </tex><br />
<br />
Покажем, что <tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>, то есть <tex> q = 0 </tex> из условия локальной теоремы о простой итерации. <br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex><br />
|proof=<br />
<br />
<tex> \| \mathcal{F} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{F} (\overline x) \| </tex> <br />
<br />
<tex>= \| \overline x + \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \overline x + \Gamma(\overline x) \mathcal{T} (\overline x) \| </tex> <br />
<br />
<tex>= \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \|</tex><br />
<br />
Запишем <tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> через значение <tex> \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) </tex>: <br />
<br />
<tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> <br />
<br />
<tex> = \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) + \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot (\overline x - (\overline x + \Delta x)) + o(\overline x - (\overline x + \Delta x)) </tex> <br />
<br />
<tex>= \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>, откуда <tex> \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) = \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>. <br />
<br />
Подставим это равенство в выражение выше: <tex> \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \| </tex><br />
<br />
<tex> = <br />
\| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x) \cdot o(\Delta x) \| </tex> <br />
<br />
<tex> = \| \Delta x - \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x)) \cdot o(\Delta x) \| </tex>. <br />
<br />
Итого: <tex> \| \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) \| \le \| \Gamma(\overline x + \Delta x) \| \| o(\Delta x) \| </tex>, откуда <tex> \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) = o(\Delta x) \implies \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex> <br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема Шаудера ==<br />
<br />
Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x = x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себя, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c = f(c) </tex>. <br />
<br />
Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра: <br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Брауэр<br />
|about=о неподвижной точке<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное выпуклое замкнутое подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> F </tex> непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^*: F(x^*) = x^* </tex>. <br />
}} <br />
<br />
Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, <tex> D \subset X </tex> {{---}} ограничено в <tex> X </tex>. <br />
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывное отображение <tex> D \mapsto X </tex>. Говорят, что <tex> \mathcal{T} </tex> ''вполне непрерывно'' на <tex> D </tex>, если <tex> \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно в <tex> X </tex>. <br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Шаудер<br />
|about=о неподвижной точке<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. <br />
<br />
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.<br />
}} <br />
<br />
Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэра. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение. <br />
<br />
=== Вспомогательные факты ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=Факт Первый<br />
|statement=<br />
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex> (<tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists N: \forall n > N, \forall x \in D : \| \mathcal{T}_n(x) - \mathcal{T}(x) \| < \varepsilon</tex>).<br />
<br />
Тогда <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывен на <tex> D </tex>.<br />
<br />
|proof=<br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> по равномерной сходимости, <tex> \exists n_0: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_{n_0}(x) \| < \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.<br />
<br />
По предположению, <tex> \mathcal{T}_{n_0} </tex> {{---}} вполне непрерывный: существует конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> для <tex> \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall y \in \mathcal{T}(D), y = \mathcal{T}x </tex>. Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_{n_0}(x) \in \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex> и подберем такое <tex> y_j </tex>, что <tex> \| y_j - \mathcal{T}_{n_0}x \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> \| y - y_j \| = \| \mathcal{T}x - y_j \| \le \| \mathcal{T}x - \mathcal{T}_{n_0}x \| + \| \mathcal{T}_{n_0}x - y_j \| </tex>. Первое слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> n_0 </tex> и равномерной сходимости. Второе слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> y_j </tex> из <tex> \varepsilon </tex>-сети. <br />
<br />
Окончательно, <tex> \exists y_1, \hdots, y_p : \forall y \in \mathcal{T}(D) \exists y_j: \| y - y_j \| < 2 \varepsilon </tex>. Значит, мы получили <tex> 2\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=Факт Второй<br />
|statement=<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>. <br />
<br />
Тогда множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_n(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}(D) </tex> относительно компактно. <br />
<br />
|proof=<br />
<br />
По равномерной сходимости, <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0: \forall n > n_0 \forall x \in D: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_n(x) \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>. Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств. <br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> рассмотрим <tex> \varepsilon </tex>-сеть для этого множества: <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. Проверим, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> k \varepsilon </tex>-сеть для этого множества, где число <tex> k </tex> определим позже. <br />
<br />
Возьмем произвольный <tex> y \in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. <br />
<br />
Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами <tex> y </tex>. Пусть, для начала, <tex> y \in \mathcal{T}_n(D) </tex>.<br />
<br />
Если <tex> n \le n_0 </tex>, то <tex> \exists y_j : \| y - y_j \| < \varepsilon </tex>. <br />
<br />
Пусть <tex> n > n_0, y \in \mathcal{T}_n(D) \implies y = \mathcal{T}_n x</tex>. <br />
<br />
<tex> \| y - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> = \| \mathcal{T}_n x - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - \mathcal{T}_{n_0} x \| + \| \mathcal{T}_{n_0} x - y_j \| </tex>.<br />
<br />
Первые два слагаемых <tex> \le \varepsilon </tex> по равномерной сходимости, третье <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> \varepsilon </tex>-сети для <tex> n_0 </tex>.<br />
<br />
Аналогичную оценку получаем, если <tex> y \in \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
В итоге, получили, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> 3\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Проекторы Шаудера ===<br />
<br />
Основная идея данного доказательства {{---}} построение проекторов Шаудера.<br />
<br />
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.<br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.<br />
<br />
Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex><br />
<br />
<tex> \mu_j(y) = \begin{cases} <br />
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\<br />
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases} <br />
</tex><br />
<br />
Легко проверить, что для любого <tex> j </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна на <tex> M </tex>. {{TODO|t=Легко? Так давайте сделаем это.}}<br />
<br />
Поскольку <tex> \{ y_j \} </tex> {{---}} <tex> \varepsilon </tex>-сеть, то <tex> \forall y </tex> все <tex> \mu_j(y) </tex> не могут быть равны нулю одновременно. <br />
<br />
Обозначим <tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>. По предыдущему утверждению, <tex> \forall y: S(y) > 0 </tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<br />
<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.<br />
<br />
}}<br />
<br />
Коэффициенты <tex> \frac {\mu_j(y)} {S(y)} </tex> обозначим за <tex> \alpha_j(y) </tex>. Из определения следует, что <tex> \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) = 1 </tex>, то есть, <tex> P_\varepsilon(y) </tex> есть выпуклая комбинация точек <tex> \varepsilon </tex> сети для любого <tex> y </tex>. <br />
<br />
<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \hdots, y_p) </tex><br />
<br />
Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| </tex>.<br />
<br />
Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j \le \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Получили, что <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, когда <tex> \varepsilon \to 0 </tex>.<br />
<br />
Каждый из операторов <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} </tex> конечномерен: <tex> \mathop{dim} R(P_\varepsilon \mathcal{T}) < +\infty </tex>.<br />
<br />
По неравенству, полученному чуть выше, также имеем <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| \le \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.<br />
<br />
В итоге мы имеем следующую теорему:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Проекторы Шаудера оператора <tex> \mathcal{T} </tex> равномерно сходятся к <tex> \mathcal{T} </tex>: <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, то есть любой вполне непрерывный оператор является равномерным пределом последовательности конечномерных операторов.<br />
}}<br />
<br />
Соединяя с теоремой Брауэра, получим:<br />
<br />
<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.<br />
<br />
Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M_n \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространство. <br />
<br />
Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>. <br />
<br />
Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \hdots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.<br />
<br />
<tex> \| x^* - \mathcal{T}x^* \| = \| \lim(x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k}) \| </tex>. <br />
<br />
По выбору <tex> x_{n_k} </tex>: <tex> x_{n_k} = \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} </tex>. <br />
<br />
По равномерной сходимости <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>: <tex> \| \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k} \| \le \varepsilon </tex>, начиная с <tex> k_0 </tex> для всех <tex> x \in M </tex>.<br />
<br />
Откуда, окончательно, получаем, что искомый предел равен <tex> 0 </tex>, и <tex> \| x^* - \mathcal{T} x^* \| = 0 </tex>, и <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>. Теорема Шаудера доказана.<br />
<br />
That's all folks!<br />
{{TODO|t=сделать картиночку, как в Looney Tunes в конце серии, только с Додоновым вместо Porky Pig}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E_%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85&diff=31878О нелинейных операторных уравнениях2013-06-11T19:40:54Z<p>Sementry: /* Простые итерации */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Ранее мы рассматривали уравнения вида <tex> y = \lambda x - \mathcal{A} x </tex>, где <tex> y </tex> дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать <tex> \sigma(\mathcal{A}) </tex>. <br />
<br />
Сложнее, когда задано уравнение вида <tex>\mathcal{T}(x) = 0</tex> или <tex>\mathcal{T}(x) = x</tex>, где <tex> T: X \xrightarrow[nonlinear]{} X </tex> {{---}} произвольный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>.<br />
<br />
В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.<br />
<br />
== Простые итерации ==<br />
<br />
Решаем уравнение <tex> x = \mathcal{T}(x) </tex>. Составляем последовательность <tex> x_{n+1} = \mathcal{T}(x_n) </tex> и изучаем сходимость последовательности <tex> \{ x_n \} \xrightarrow[]{?} x^* </tex>.<br />
<br />
Если <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор, то <tex> x_{n+1} \to \mathcal{T} x^*, \mathcal{T} x_n \to \mathcal{T} x^* </tex> и, по единственности предела, получаем <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>.<br />
<br />
Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'(x) \cdot \Delta x + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}' </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.<br />
<br />
<tex> \frac { \| o(\Delta x) \|} { \| \Delta x \| } \to 0 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=Локальная теорема о простой итерации<br />
|statement=<br />
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.<br />
<br />
Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:<br />
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.<br />
* <tex> x_n \to \overline x </tex><br />
<br />
|proof=<br />
<br />
Положим <tex> \varepsilon = \frac {1-q}2 </tex>.<br />
<br />
В силу определения производной Фреше существует <tex> \delta > 0: \| \Delta x \| < \delta \implies \| \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}(\overline x) - \mathcal{T}'(\overline x) \cdot \Delta x \| < \varepsilon \| \Delta x \| </tex>.<br />
<br />
Убедимся в том, что такая <tex> \delta </tex> подходит в качестве радиуса шара из условия теоремы:<br />
<br />
Предположим, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) </tex>.<br />
<br />
<tex> \| x_{n+1} - \overline x \| = \| \mathcal{T}x_n - \mathcal{T} \overline x\| \le </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| + \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим первое слагаемое: <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies \| x_n - \overline x \| < \delta </tex>, а значит, <tex> \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| < \varepsilon \| x_n - \overline x \| </tex>.<br />
<br />
Второе слагаемое: <tex> \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| \le \| \mathcal{T}'(\overline x) \| \| x_n - \overline x \| \le q \| x_n - \overline x \| </tex><br />
<br />
Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| = (\frac {1-q}2 + q) \le \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>. <br />
<br />
Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \hdots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Метод Ньютона-Канторовича ==<br />
<br />
Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида <tex> \mathcal{T} x = 0, \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>, <tex>X</tex>{{---}} нормированное пространство. <br />
<br />
Предположим, что <tex> \mathcal{T} (\overline x) = 0 </tex>. Получим схему метода Ньютона-Канторовича. <br />
<br />
<tex> x_0 </tex> {{---}} начальное приближение.<br />
<br />
<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \hdots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (x_0 - \overline x) </tex>.<br />
<br />
Обозначим <tex> \Gamma(x_0) = (\mathcal{T}'(x_0))^{-1} </tex>.<br />
<br />
<tex> -\mathcal{T}(x_0) = \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) </tex><br />
<br />
Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>: <br />
<br />
<tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>. <br />
<br />
<tex> \overline x = x_0 - \Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) </tex>.<br />
<br />
Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_n) \mathcal{T} (x_n) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции <br />
<br />
<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex><br />
<br />
<tex> x_{n+1} = \mathcal{F}(x_n) </tex><br />
<br />
Покажем, что <tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>, то есть <tex> q = 0 </tex> из условия локальной теоремы о простой итерации. <br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex><br />
|proof=<br />
<br />
<tex> \| \mathcal{F} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{F} (\overline x) \| </tex> <br />
<br />
<tex>= \| \overline x + \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \overline x + \Gamma(\overline x) \mathcal{T} (\overline x) \| </tex> <br />
<br />
<tex>= \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \|</tex><br />
<br />
Запишем <tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> через значение <tex> \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) </tex>: <br />
<br />
<tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> <br />
<br />
<tex> = \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) + \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot (\overline x - (\overline x + \Delta x)) + o(\overline x - (\overline x + \Delta x)) </tex> <br />
<br />
<tex>= \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>, откуда <tex> \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) = \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>. <br />
<br />
Подставим это равенство в выражение выше: <tex> \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \| </tex><br />
<br />
<tex> = <br />
\| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x) \cdot o(\Delta x) \| </tex> <br />
<br />
<tex> = \| \Delta x - \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x)) \cdot o(\Delta x) \| </tex>. <br />
<br />
Итого: <tex> \| \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) \| \le \| \Gamma(\overline x + \Delta x) \| \| o(\Delta x) \| </tex>, откуда <tex> \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) = o(\Delta x) \implies \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex> <br />
<br />
}}<br />
<br />
== Теорема Шаудера ==<br />
<br />
Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x = x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себя, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c = f(c) </tex>. <br />
<br />
Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра: <br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Брауэр<br />
|about=о неподвижной точке<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное выпуклое замкнутое подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> F </tex> непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^*: F(x^*) = x^* </tex>. <br />
}} <br />
<br />
Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, <tex> D \subset X </tex> {{---}} ограничено в <tex> X </tex>. <br />
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывное отображение <tex> D \mapsto X </tex>. Говорят, что <tex> \mathcal{T} </tex> ''вполне непрерывно'' на <tex> D </tex>, если <tex> \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно в <tex> X </tex>. <br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Шаудер<br />
|about=о неподвижной точке<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. <br />
<br />
Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.<br />
}} <br />
<br />
Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэера. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение. <br />
<br />
=== Вспомогательные факты ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=Факт Первый<br />
|statement=<br />
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex> (<tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists N: \forall n > N, \forall x \in D : \| \mathcal{T}_n(x) - \mathcal{T}(x) \| < \varepsilon</tex>).<br />
<br />
Тогда <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывен на <tex> D </tex>.<br />
<br />
|proof=<br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> по равномерной сходимости, <tex> \exists n_0: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_{n_0}(x) \| < \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.<br />
<br />
По предположению, <tex> \mathcal{T}_{n_0} </tex> {{---}} вполне непрерывный: существует конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> для <tex> \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall y \in \mathcal{T}(D), y = \mathcal{T}x </tex>. Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_{n_0}(x) \in \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex> и подберем такое <tex> y_j </tex>, что <tex> \| y_j - \mathcal{T}_{n_0}x \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> \| y - y_j \| = \| \mathcal{T}x - y_j \| \le \| \mathcal{T}x - \mathcal{T}_{n_0}x \| + \| \mathcal{T}_{n_0}x - y_j \| </tex>. Первое слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> n_0 </tex> и равномерной сходимости. Второе слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> y_j </tex> из <tex> \varepsilon </tex>-сети. <br />
<br />
Окончательно, <tex> \exists y_1, \hdots, y_p : \forall y \in \mathcal{T}(D) \exists y_j: \| y - y_j \| < 2 \varepsilon </tex>. Значит, мы получили <tex> 2\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=Факт Второй<br />
|statement=<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>. <br />
<br />
Тогда множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_n(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}(D) </tex> относительно компактно. <br />
<br />
|proof=<br />
<br />
По равномерной сходимости, <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0: \forall n > n_0 \forall x \in D: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_n(x) \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>. Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств. <br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> рассмотрим <tex> \varepsilon </tex>-сеть для этого множества: <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. Проверим, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> k \varepsilon </tex>-сеть для этого множества, где число <tex> k </tex> определим позже. <br />
<br />
Возьмем произвольный <tex> y \in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. <br />
<br />
Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами <tex> y </tex>. Пусть, для начала, <tex> y \in \mathcal{T}_n(D) </tex>.<br />
<br />
Если <tex> n \le n_0 </tex>, то <tex> \exists y_j : \| y - y_j \| < \varepsilon </tex>. <br />
<br />
Пусть <tex> n > n_0, y \in \mathcal{T}_n(D) \implies y = \mathcal{T}_n x</tex>. <br />
<br />
<tex> \| y - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> = \| \mathcal{T}_n x - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - y_j \| </tex><br />
<br />
<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - \mathcal{T}_{n_0} x \| + \| \mathcal{T}_{n_0} x - y_j \| </tex>.<br />
<br />
Первые два слагаемых <tex> \le \varepsilon </tex> по равномерной сходимости, третье <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> \varepsilon </tex>-сети для <tex> n_0 </tex>.<br />
<br />
Аналогичную оценку получаем, если <tex> y \in \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
В итоге, получили, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> 3\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Проекторы Шаудера ===<br />
<br />
Основная идея данного доказательства {{---}} построение проекторов Шаудера.<br />
<br />
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.<br />
<br />
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.<br />
<br />
Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex><br />
<br />
<tex> \mu_j(y) = \begin{cases} <br />
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\<br />
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases} <br />
</tex><br />
<br />
Легко проверить, что для любого <tex> j </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна на <tex> M </tex>. {{TODO|t=Легко? Так давайте сделаем это.}}<br />
<br />
Поскольку <tex> \{ y_j \} </tex> {{---}} <tex> \varepsilon </tex>-сеть, то <tex> \forall y </tex> все <tex> \mu_j(y) </tex> не могут быть равны нулю одновременно. <br />
<br />
Обозначим <tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>. По предыдущему утверждению, <tex> \forall y: S(y) > 0 </tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<br />
<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.<br />
<br />
}}<br />
<br />
Коэффициенты <tex> \frac {\mu_j(y)} {S(y)} </tex> обозначим за <tex> \alpha_j(y) </tex>. Из определения следует, что <tex> \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) = 1 </tex>, то есть, <tex> P_\varepsilon(y) </tex> есть выпуклая комбинация точек <tex> \varepsilon </tex> сети для любого <tex> y </tex>. <br />
<br />
<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \hdots, y_p) </tex><br />
<br />
Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| </tex>.<br />
<br />
Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j \le \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Получили, что <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, когда <tex> \varepsilon \to 0 </tex>.<br />
<br />
Каждый из операторов <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} </tex> конечномерен: <tex> \mathop{dim} R(P_\varepsilon \mathcal{T}) < +\infty </tex>.<br />
<br />
По неравенству, полученному чуть выше, также имеем <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| \le \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.<br />
<br />
В итоге мы имеем следующую теорему:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Проекторы Шаудера оператора <tex> \mathcal{T} </tex> равномерно сходятся к <tex> \mathcal{T} </tex>: <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, то есть любой вполне непрерывный оператор является равномерным пределом последовательности конечномерных операторов.<br />
}}<br />
<br />
Соединяя с теоремой Брауэра, получим:<br />
<br />
<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.<br />
<br />
Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M_n \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространство. <br />
<br />
Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>. <br />
<br />
Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \hdots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.<br />
<br />
<tex> \| x^* - \mathcal{T}x^* \| = \| \lim(x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k}) \| </tex>. <br />
<br />
По выбору <tex> x_{n_k} </tex>: <tex> x_{n_k} = \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} </tex>. <br />
<br />
По равномерной сходимости <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>: <tex> \| \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k} \| \le \varepsilon </tex>, начиная с <tex> k_0 </tex> для всех <tex> x \in M </tex>.<br />
<br />
Откуда, окончательно, получаем, что искомый предел равен <tex> 0 </tex>, и <tex> \| x^* - \mathcal{T} x^* \| = 0 </tex>, и <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>. Теорема Шаудера доказана.<br />
<br />
That's all folks!<br />
{{TODO|t=сделать картиночку, как в Looney Tunes в конце серии, только с Додоновым вместо Porky Pig}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=31858Теория Гильберта-Шмидта2013-06-11T18:02:59Z<p>Sementry: /* Теорема Гильберта-Шмидта */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{TODO|t=<br />
Как обычно, это переписанный с выключенным мозгом конспект. Автор не несёт(пока) ответственности за то, что в статье написан антинаучный бред. Хуже того, чукча не читатель, чукча писатель, и написанное даже не читалось.<br />
В параграфе для операторов используется курсивный шрифт (<tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B}</tex>), а для матриц {{---}} прямой (<tex>A</tex>, <tex>B</tex>). Во-первых, для того, чтобы различать их, а во-вторых, для красоты. Грустно, что тебе, читатель этого, срать на то, написано ли <tex>\mathcal{I}</tex> или <tex>I</tex>, а хочется только сдать экзамен.<br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=Расставить точки в конце предложений, а то режет глаз.}}<br />
<br />
__TOC__<br />
<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.<br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.<br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.<br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.<br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.<br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.<br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.<br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==<br />
<br />
=== Вещественность спектра ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>. <br />
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).<br />
<br />
С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что <br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} замкнуто.<br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex><br />
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex><br />
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел<br />
<br />
Докажем первый пункт<br />
<br />
<tex>\Longrightarrow</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.<br />
<br />
<tex>\left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex> <br />
<br />
Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\|}</tex>, тогда:<br />
<br />
<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \left\|\frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) \right\| \|x\| \ge m \|x\|</tex> <br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>: существование резольвентного оператора следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]<br />
<br />
Второй пункт — просто логическое отрицание первого. {{TODO|t=ну понятно же, мне лень писать}}<br />
}}<br />
<br />
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex><br />
<br />
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex><br />
<br />
Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}z, z\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:<br />
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex><br />
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
|proof=<br />
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex><br />
<br />
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы<br />
<br />
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.<br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex><br />
<br />
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex><br />
<br />
Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца: <br />
<br />
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex><br />
<br />
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex><br />
<br />
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:<br />
<br />
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle| \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема о спектральном радиусе ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex><br />
<br />
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
<br />
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.<br />
<br />
<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex><br />
<br />
По самосопряжённости:<br />
<br />
<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.<br />
<br />
<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.<br />
<br />
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.<br />
<br />
== Теорема Гильберта-Шмидта ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Гильберт, Шмидт<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex><br />
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).<br />
<br />
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex><br />
<br />
Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>: <br />
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex><br />
<br />
Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex><br />
<br />
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex><br />
<br />
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex><br />
<br />
<tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex><br />
<br />
Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex><br />
<br />
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.<br />
<br />
Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, <br />
<br />
<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.<br />
<br />
Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex><br />
<br />
<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.<br />
<br />
Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (нуля быть не может, потому что <tex>y \in \rho(\mathcal{A})</tex>).<br />
<br />
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=31846Теория Гильберта-Шмидта2013-06-11T17:22:04Z<p>Sementry: /* Теорема Гильберта-Шмидта */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{TODO|t=<br />
Как обычно, это переписанный с выключенным мозгом конспект. Автор не несёт(пока) ответственности за то, что в статье написан антинаучный бред. Хуже того, чукча не читатель, чукча писатель, и написанное даже не читалось.<br />
В параграфе для операторов используется курсивный шрифт (<tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B}</tex>), а для матриц {{---}} прямой (<tex>A</tex>, <tex>B</tex>). Во-первых, для того, чтобы различать их, а во-вторых, для красоты. Грустно, что тебе, читатель этого, срать на то, написано ли <tex>\mathcal{I}</tex> или <tex>I</tex>, а хочется только сдать экзамен.<br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=Расставить точки в конце предложений, а то режет глаз.}}<br />
<br />
__TOC__<br />
<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.<br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.<br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.<br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.<br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.<br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.<br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.<br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==<br />
<br />
=== Вещественность спектра ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>. <br />
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).<br />
<br />
С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что <br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} замкнуто.<br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex><br />
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex><br />
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел<br />
<br />
Докажем первый пункт<br />
<br />
<tex>\Longrightarrow</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.<br />
<br />
<tex>\left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex> <br />
<br />
Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\|}</tex>, тогда:<br />
<br />
<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \left\|\frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) \right\| \|x\| \ge m \|x\|</tex> <br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>: существование резольвентного оператора следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]<br />
<br />
Второй пункт — просто логическое отрицание первого. {{TODO|t=ну понятно же, мне лень писать}}<br />
}}<br />
<br />
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex><br />
<br />
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex><br />
<br />
Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}z, z\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:<br />
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex><br />
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
|proof=<br />
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex><br />
<br />
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы<br />
<br />
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.<br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex><br />
<br />
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex><br />
<br />
Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца: <br />
<br />
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex><br />
<br />
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex><br />
<br />
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:<br />
<br />
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle| \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема о спектральном радиусе ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex><br />
<br />
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
<br />
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.<br />
<br />
<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex><br />
<br />
По самосопряжённости:<br />
<br />
<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.<br />
<br />
<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.<br />
<br />
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.<br />
<br />
== Теорема Гильберта-Шмидта ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Гильберт, Шмидт<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex><br />
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).<br />
<br />
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex><br />
<br />
Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>: <br />
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex><br />
<br />
Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex><br />
<br />
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex><br />
<br />
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex><br />
<br />
<tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex><br />
<br />
Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex><br />
<br />
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространосвом, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов, соответствующим собственным числам <tex>\varphi_1, \varphi_2, \ldots</tex>. Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, <br />
<br />
<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex><br />
<br />
<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex><br />
<br />
<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (нуля быть не может, потому что <tex>y \in \rho(\mathcal{A})</tex>)<br />
<br />
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=31813Теория Гильберта-Шмидта2013-06-11T15:33:31Z<p>Sementry: /* Вещественность спектра */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{TODO|t=<br />
Как обычно, это переписанный с выключенным мозгом конспект. Автор не несёт(пока) ответственности за то, что в статье написан антинаучный бред. Хуже того, чукча не читатель, чукча писатель, и написанное даже не читалось.<br />
В параграфе для операторов используется курсивный шрифт (<tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B}</tex>), а для матриц {{---}} прямой (<tex>A</tex>, <tex>B</tex>). Во-первых, для того, чтобы различать их, а во-вторых, для красоты. Грустно, что тебе, читатель этого, срать на то, написано ли <tex>\mathcal{I}</tex> или <tex>I</tex>, а хочется только сдать экзамен.<br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=Расставить точки в конце предложений, а то режет глаз.}}<br />
<br />
__TOC__<br />
<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.<br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.<br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.<br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.<br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.<br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.<br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.<br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==<br />
<br />
=== Вещественность спектра ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>. <br />
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).<br />
<br />
С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что <br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} замкнуто.<br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex><br />
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex><br />
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел<br />
<br />
{{TODO|t=Здесь какой-то сумбур, написать нормальное доказательство.}}<br />
<br />
Докажем первый пункт<br />
<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Требуемое неравенство{{---}} непрерывность резольвентного оператора<br />
<br />
2. <tex>\exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| > m\|x\|</tex> {{---}} в силу прошлой теоремы.<br />
<br />
Второй пункт:<br />
<br />
Покажем в прямую сторону, для этого возьмем отрицание обратной стороны доказательства первого пункта: <tex>\forall m > 0 \exists x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| < \varepsilon</tex><br />
<br />
Второй пункт {{---}} проверить самим. Это просто логическое отрицание первого. {{TODO|t=запилите кто-нибудь}}<br />
}}<br />
<br />
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex><br />
<br />
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex><br />
<br />
Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}z, z\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:<br />
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex><br />
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
|proof=<br />
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex><br />
<br />
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы<br />
<br />
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.<br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex><br />
<br />
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex><br />
<br />
Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца: <br />
<br />
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex><br />
<br />
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex><br />
<br />
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:<br />
<br />
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle| \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема о спектральном радиусе ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex><br />
<br />
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
<br />
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.<br />
<br />
<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex><br />
<br />
По самосопряжённости:<br />
<br />
<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.<br />
<br />
<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.<br />
<br />
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.<br />
<br />
== Теорема Гильберта-Шмидта ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Гильберт, Шмидт<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex><br />
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).<br />
<br />
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex><br />
<br />
Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>: <br />
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex><br />
<br />
Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex><br />
<br />
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex><br />
<br />
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex><br />
<br />
<tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex><br />
<br />
Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex><br />
<br />
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространосвом, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов, соответствующим собственным числам <tex>\varphi_1, \varphi_2, \ldots</tex>. Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, <br />
<br />
<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex><br />
<br />
<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex><br />
<br />
<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (нуля быть не может, потому что <tex>y \in \rho(\mathcal{A})</tex>)<br />
<br />
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0&diff=31810Заглавная страница2013-06-11T15:21:11Z<p>Sementry: /* Непроверяемые конспекты */</p>
<hr />
<div>Добро пожаловать на сайт [[Вики-конспекты|вики-конспектов]]!<br />
<br />
= Проверяемые конспекты =<br />
<br />
==Преподаватель [[Андрей Сергеевич Станкевич]]==<br />
<br />
* [[Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных|Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных — 1, 2, 3 и 4 семестр]]<br />
* [[Теория формальных языков|Теория формальных языков — 5 семестр]]<br />
* [[Теория сложности|Теория сложности — 6 семестр]]<br />
* [[Методы трансляции|Методы трансляции — 6 семестр]]<br />
<br />
==Преподаватель [[Федор Николаевич Царев]]==<br />
* [[Эволюционные алгоритмы|Эволюционные алгоритмы — 10 семестр]]<br />
<br />
==Преподаватель [[Корнеев Георгий Александрович]]==<br />
* [[Язык программирования Java|Язык программирования Java - 2 семестр]]<br />
<br />
= Непроверяемые конспекты =<br />
<br />
*[[Алгебра и геометрия 1 курс | Алгебра и геометрия — 1, 2 семестр]]<br />
*[[Математический анализ 1 курс | Математический анализ — 1, 2 семестр]]<br />
*[[Математический анализ 2 курс | Математический анализ — 3, 4 семестр]]<br />
*[[Математическая логика|Математическая логика — 3 семестр]]<br />
*[[Участник:Qwerty787788/плюсы3сем | С++ - 3 семестр]]<br />
*[[Вычислительная геометрия|Вычислительная геометрия — 3, 4 семестр]]<br />
*[[Assembler|Assembler — 4 семестр]]<br />
*[[Алгоритмы алгебры и теории чисел|Алгоритмы алгебры и теории чисел — 4 семестр]]<br />
*[[Функциональный_анализ_3_курс | Функциональный анализ — 5, 6 семестр]]<br />
*[[Параллельное программирование|Параллельное программирование — 6 семестр]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=31809Теория Гильберта-Шмидта2013-06-11T15:02:22Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{TODO|t=<br />
Как обычно, это переписанный с выключенным мозгом конспект. Автор не несёт(пока) ответственности за то, что в статье написан антинаучный бред. Хуже того, чукча не читатель, чукча писатель, и написанное даже не читалось.<br />
В параграфе для операторов используется курсивный шрифт (<tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B}</tex>), а для матриц {{---}} прямой (<tex>A</tex>, <tex>B</tex>). Во-первых, для того, чтобы различать их, а во-вторых, для красоты. Грустно, что тебе, читатель этого, срать на то, написано ли <tex>\mathcal{I}</tex> или <tex>I</tex>, а хочется только сдать экзамен.<br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=Расставить точки в конце предложений, а то режет глаз.}}<br />
<br />
__TOC__<br />
<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.<br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.<br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.<br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.<br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.<br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.<br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.<br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:<br />
<br />
из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==<br />
<br />
=== Вещественность спектра ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>. <br />
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).<br />
<br />
С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что <br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} замкнуто.<br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex><br />
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex><br />
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел<br />
<br />
Докажем первый пункт<br />
<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Требуемое неравенство{{---}} непрерывность резольвентного оператора<br />
<br />
2. <tex>\exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| > m\|x\|</tex> {{---}} в силу прошлой теоремы.<br />
<br />
Второй пункт:<br />
<br />
Покажем в прямую сторону, для этого возьмем отрицание обратной стороны доказательства первого пункта: <tex>\forall m > 0 \exists x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| < \varepsilon</tex><br />
<br />
Второй пункт {{---}} проверить самим. Это просто логическое отрицание первого. {{TODO|t=запилите кто-нибудь}}<br />
}}<br />
<br />
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex><br />
<br />
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex><br />
<br />
Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}z, z\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:<br />
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex><br />
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
|proof=<br />
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex><br />
<br />
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы<br />
<br />
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.<br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex><br />
<br />
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex><br />
<br />
Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца: <br />
<br />
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex><br />
<br />
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex><br />
<br />
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:<br />
<br />
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle| \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема о спектральном радиусе ===<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex><br />
<br />
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
<br />
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.<br />
<br />
<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex><br />
<br />
По самосопряжённости:<br />
<br />
<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.<br />
<br />
<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.<br />
<br />
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.<br />
<br />
== Теорема Гильберта-Шмидта ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Гильберт, Шмидт<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex><br />
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).<br />
<br />
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex><br />
<br />
Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>: <br />
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex><br />
<br />
Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex><br />
<br />
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex><br />
<br />
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex><br />
<br />
<tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex><br />
<br />
Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex><br />
<br />
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространосвом, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов, соответствующим собственным числам <tex>\varphi_1, \varphi_2, \ldots</tex>. Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, <br />
<br />
<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex><br />
<br />
<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex><br />
<br />
<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (нуля быть не может, потому что <tex>y \in \rho(\mathcal{A})</tex>)<br />
<br />
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31761Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T11:15:45Z<p>Sementry: /* Теорема о счетности спектра компактного оператора */ Ну кто называет собственные векторы "собственными элементами"? =(</p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31756Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T10:40:57Z<p>Sementry: /* Альтернатива Фредгольма-Шаудера */</p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31754Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T10:29:40Z<p>Sementry: /* Альтернатива Фредгольма-Шаудера */</p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31749Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T09:30:33Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%8B_%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D0%BE_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D1%83_%D0%B7%D0%B0_6_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80&diff=31748Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр2013-06-11T09:26:44Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>* [[Сопряженный оператор#Примеры сопряженных операторов|теорема об общем виде сопряженного оператора в <tex>L_p</tex>]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* [[Компактный оператор|теорема Арцела-Асколи]] (впрочем, это используется только в одном примере, но мало ли) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* зачем нужна замкнутость линейного подмножества, на котором определен функционал, чтобы его продолжить в теоремах 1, 2 [[Сопряженный оператор|тут]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:45, 10 июня 2013 (GST)<br />
: <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. — вот здесь мы используем замкнутость <tex> R(A) </tex> во второй теореме, если что. Для первой теоремы вопрос остается открытым (но там и в условии не требуется замкнутость <tex> R(A) </tex>). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:59, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* Не совсем понятно о чем идет речь в билетах об ортогональных дополнениях <tex>R(A)</tex> и <tex>R(A^*)</tex>. По хронологии изложения это видимо вышеупомянутые теоремы 1 и 2 из статьи [[Сопряженный оператор]], но они как-то не очень соответствуют названиям билетов --[[Участник:Vasin|Андрей Васин]]<br />
** Видимо, имеются в виду соответствующие ядра (Ker) --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* Что такое "лемма о координатном пространстве" ? --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)<br />
** Возможно, то, что <tex>F = \left \{ (\alpha_1 ... \alpha_n ... ) \mid \sum\limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k e_k \in X \right \} </tex> с нормой <tex> \| \alpha \| = \sup\limits_{n\in\mathbb{N}} \| \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex> будет B-пространством.<br />
<br />
* И вообще, попытайтесь пробежаться на консультации по всем неисправленным TODO из конспектов, их не так много --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:17, 11 июня 2013 (GST)<br />
* Вроде как ничего нет о компактности <tex>A^*</tex> (в викиконспектах по крайней мере) --[[Участник:Vasin|Andrey Vasin]] 03:37, 11 июня 2013 (GST)<br />
** Похоже, что нет, да --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 10:53, 11 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* Вопрос 5, "Арифметика компактных операторов". Входит ли сюда что-нибудь, кроме проверки на компактность произведения двух операторов, один из которых компактный, а другой — ограниченный? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 10:33, 11 июня 2013 (GST)<br />
** есть еще конечная сумма компактных, и обратный оператор. В вопросах прошлого курса есть еще то, что предел последовательности компактных компактен, можно про это спросить. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 10:47, 11 июня 2013 (GST)<br />
*** Эээ, не понял про "обратный оператор". Компактность конечной суммы компактных устанавливается элементарно, но на лекциях у нас этого, если что, не было. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 13:26, 11 июня 2013 (GST)</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31747Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T09:05:53Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} (I - A)^n </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31743Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T08:26:08Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex> (<tex> M_n </tex> и есть это ядро)<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31741Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T08:06:54Z<p>Sementry: кажется, так можно</p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex> Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_n \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex> (<tex> M_n </tex> и есть это ядро)<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31738Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T07:43:12Z<p>Sementry: Отмена правки 31737 участника Sementry (обсуждение) минуточку</p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна? // Было же что-то такое уже. Возьмём шар <tex>V=\{\alpha : \|\alpha\| < 3\|x_0\|\}</tex>. Смысла выходить за него нет, так как гарантированно лучше было бы взять <tex>\alpha = 0</tex>. Не понмю, правда, где конкретно это было.--[[Участник:Komarov|Андрей Комаров]] 10:55, 11 июня 2013 (GST)}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_n \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex> (<tex> M_n </tex> и есть это ядро)<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31737Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-11T07:41:24Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex><br />
|proof=<br />
<tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
}}<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна? // см. обсуждение}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_{n_{k}}</tex>.<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_n \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex> (<tex> M_n </tex> и есть это ядро)<br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p-1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%8B_%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D0%BE_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D1%83_%D0%B7%D0%B0_6_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80&diff=31720Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр2013-06-11T06:33:21Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>* [[Сопряженный оператор#Примеры сопряженных операторов|теорема об общем виде сопряженного оператора в <tex>L_p</tex>]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* [[Компактный оператор|теорема Арцела-Асколи]] (впрочем, это используется только в одном примере, но мало ли) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* зачем нужна замкнутость линейного подмножества, на котором определен функционал, чтобы его продолжить в теоремах 1, 2 [[Сопряженный оператор|тут]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:45, 10 июня 2013 (GST)<br />
: <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. — вот здесь мы используем замкнутость <tex> R(A) </tex> во второй теореме, если что. Для первой теоремы вопрос остается открытым (но там и в условии не требуется замкнутость <tex> R(A) </tex>). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:59, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* Не совсем понятно о чем идет речь в билетах об ортогональных дополнениях <tex>R(A)</tex> и <tex>R(A^*)</tex>. По хронологии изложения это видимо вышеупомянутые теоремы 1 и 2 из статьи [[Сопряженный оператор]], но они как-то не очень соответствуют названиям билетов --[[Участник:Vasin|Андрей Васин]]<br />
** Видимо, имеются в виду соответствующие ядра (Ker) --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* Что такое "лемма о координатном пространстве" ? --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)<br />
** Возможно, то, что <tex>F = \left \{ (\alpha_1 ... \alpha_n ... ) \mid \sum\limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k e_k \in X \right \} </tex> с нормой <tex> \| \alpha \| = \sup\limits_{n\in\mathbb{N}} \| \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex> будет B-пространством.<br />
<br />
* И вообще, попытайтесь пробежаться на консультации по всем неисправленным TODO из конспектов, их не так много --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:17, 11 июня 2013 (GST)<br />
* Вроде как ничего нет о компактности <tex>A^*</tex> (в викиконспектах по крайней мере) --[[Участник:Vasin|Andrey Vasin]] 03:37, 11 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* Вопрос 5, "Арифметика компактных операторов". Входит ли сюда что-нибудь, кроме проверки на компактность произведения двух операторов, один из которых компактный, а другой — ограниченный? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 10:33, 11 июня 2013 (GST)</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%8B_%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D0%BE_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D1%83_%D0%B7%D0%B0_6_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80&diff=31664Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр2013-06-10T21:17:03Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>* [[Сопряженный оператор#Примеры сопряженных операторов|теорема об общем виде сопряженного оператора в <tex>L_p</tex>]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* [[Компактный оператор|теорема Арцела-Асколи]] (впрочем, это используется только в одном примере, но мало ли) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* зачем нужна замкнутость линейного подмножества, на котором определен функционал, чтобы его продолжить в теоремах 1, 2 [[Сопряженный оператор|тут]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:45, 10 июня 2013 (GST)<br />
: <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. — вот здесь мы используем замкнутость <tex> R(A) </tex> во второй теореме, если что. Для первой теоремы вопрос остается открытым (но там и в условии не требуется замкнутость <tex> R(A) </tex>). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:59, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* Не совсем понятно о чем идет речь в билетах об ортогональных дополнениях <tex>R(A)</tex> и <tex>R(A^*)</tex>. По хронологии изложения это видимо вышеупомянутые теоремы 1 и 2 из статьи [[Сопряженный оператор]], но они как-то не очень соответствуют названиям билетов --[[Участник:Vasin|Андрей Васин]]<br />
** Видимо, имеются в виду соответствующие ядра (Ker) --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
* Что такое "лемма о координатном пространстве" ? --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 23:32, 10 июня 2013 (GST)<br />
** Возможно, то, что <tex>F = \left \{ (\alpha_1 ... \alpha_n ... ) \mid \sum\limits_{k=1}^{\infty} \alpha_k e_k \in X \right \} </tex> с нормой <tex> \| \alpha \| = \sup\limits_{n\in\mathbb{N}} \| \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex> будет B-пространством.<br />
<br />
* И вообще, попытайтесь пробежаться на консультации по всем неисправленным TODO из конспектов, их не так много --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:17, 11 июня 2013 (GST)</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%8B_%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%BF%D0%BE_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D1%83_%D0%B7%D0%B0_6_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80&diff=31635Вопросы к консультации по функциональному анализу за 6 семестр2013-06-10T18:59:07Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>* [[Сопряженный оператор#Примеры сопряженных операторов|теорема об общем виде сопряженного оператора в <tex>L_p</tex>]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)<br />
* [[Компактный оператор|теорема Арцела-Асколи]] (впрочем, это используется только в одном примере, но мало ли) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 02:38, 10 июня 2013 (GST)<br />
* зачем нужна замкнутость линейного подмножества, на котором определен функционал, чтобы его продолжить в теоремах 1, 2 [[Сопряженный оператор|тут]] --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 21:45, 10 июня 2013 (GST)<br />
: <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. — вот здесь мы используем замкнутость <tex> R(A) </tex> во второй теореме, если что. Для первой теоремы вопрос остается открытым (но там и в условии не требуется замкнутость <tex> R(A) </tex>). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:59, 10 июня 2013 (GST)<br />
* Не совсем понятно о чем идет речь в билетах об ортогональных дополнениях <tex>R(A)</tex> и <tex>R(A^*)</tex>. По хронологии изложения это видимо вышеупомянутые теоремы 1 и 2 из статьи [[Сопряженный оператор]], но они как-то не очень соответствуют названиям билетов --[[Участник:Vasin|Андрей Васин]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31632Базис Шаудера2013-06-10T18:27:00Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Примеры:<br />
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера<br />
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера<br />
* но не у всех банаховых пространств он есть<br />
<br />
Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_1 \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство. <br />
<br />
Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.<br />
|proof=<br />
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),<br />
которая сходится в себе, то есть<br />
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex><br />
<br />
Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:<br />
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex><br />
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le<br />
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex><br />
<br />
Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. {{TODO|t=Coming soon...}}<br />
}}<br />
<br />
Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.<br />
<br />
Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
почти конечномерность компактного оператора<br />
|statement=<br />
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:<br />
<br />
# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex><br />
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex><br />
|proof=<br />
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \right\| \le C \left\| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \right\| \le C \left\| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \right\|</tex><br />
<br />
Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.<br />
<br />
По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.<br />
<br />
Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.<br />
<br />
Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.<br />
<br />
<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.<br />
<br />
<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.<br />
<br />
Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex><br />
<br />
<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex><br />
<br />
<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.<br />
<br />
<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.<br />
<br />
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.<br />
<br />
В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.<br />
}}<br />
<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31604Компактный оператор2013-06-10T17:04:48Z<p>Sementry: /* Пример */</p>
<hr />
<div>Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно<br />
}}<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>. <br />
}}<br />
<br />
<br />
Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.<br />
<br />
=== Пример ===<br />
<br />
Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.<br />
Пусть <tex> K(t, s) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.<br />
<br />
Введем оператор <tex>A: C[0,1] \to C[0,1]</tex> как <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.<br />
<br />
Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Оператор <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex> — компактный.<br />
|proof=<br />
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex><br />
<br />
<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex><br />
<br />
Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи {{TODO|t=которой у нас не было}} о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:<br />
<br />
<tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex><br />
# <tex>\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex><br />
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}</tex> и <tex>A(V)</tex>.<br />
<br />
<tex>\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 </tex><br />
<br />
<tex>\|Ax\| \le M</tex><br />
<br />
<tex>|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|</tex><br />
<br />
<tex>K(u, z)</tex> непрерывна на компакте <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex>, следовательно, равномерно непрерывна на нем.<br />
<br />
Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Критерий проверки компактности ==<br />
<br />
Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен.<br />
<br />
Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.<br />
<br />
== Произведение компактных операторов ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement = <br />
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:<br />
<br />
# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.<br />
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.<br />
|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.<br />
<br />
Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(V)$ — относительно компактное в $Z$, то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно.<br />
<br />
$A$ — компактен, то есть $W = A(V)$ относительно компактно в $Y$, поэтому $\forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$.<br />
<br />
Обозначим $z_j = B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = By, y = Ax, x \in V$.<br />
<br />
$\|z - z_j\| = \|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.<br />
</wikitex><br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|about=следствие<br />
|statement=<br />
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.<br />
|proof=<br />
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement = <br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).<br />
|proof = <br />
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \} </tex> — счетное объединение шаров.<br />
<br />
<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex><br />
<br />
<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.<br />
<br />
Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon_{\frac{1}{n}}</tex>-сетей для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве. <br />
<br />
Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31585Обсуждение:Сопряжённый оператор2013-06-10T16:13:43Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>== <tex> L_p^* = L_q </tex> ==<br />
Вот это, вроде бы, нетривиальный факт, и Додонов нам его не рассказывал. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:37, 16 февраля 2013 (GST)<br />
<br />
== Последняя теорема ==<br />
Ядро чего именно имеется в виду в условии? --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 21:51, 7 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Обратите внимание: норма элемента фактор-подпространства определяется не так, как это делалось в теореме об открытом вложении прошлого семестра (вернее, сначала это вообще никак не делалось, потом кто-то написал норму, но с ней были проблемы). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 14:00, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Туда же: почему <tex> \widetilde A </tex> будет ограниченным оператором? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 20:13, 10 июня 2013 (GST)<br />
<br />
== Теорема о норме сопряженного оператора ==<br />
Что-то я в упор не пойму, как там используется теорема Хана-Банаха. Реквестирую более подробное объяснение в статье от того, кто это уже понял. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 17:20, 8 июня 2013 (GST)<br />
: Если что, я уже разобрался и пофиксил "теорема Хана-Банаха" на "следствие из теоремы Хана-Банаха", где это было нужно. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:29, 8 июня 2013 (GST)<br />
<br />
К той же теореме: строка, начинающаяся с «По определению нормы:…» мне одному кажется какой-то крайне мутной? --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 20:15, 8 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Смотреть определение нормы: [[Линейные_операторы_в_нормированных_пространствах]] --[[Участник:AVasilyev|AVasilyev]]<br />
<br />
Всё понятно, прошу прощения. --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 21:04, 8 июня 2013 (GST)<br />
<br />
<br />
Почему <tex>\| F_x \| \le \| x \|</tex>?<br />
: Мы знаем, что <tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, значит, <tex> \| F_x \| = \sup\limits_{\|f\| \le 1} (\|f\| \|x\|) \le \| x \| </tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 18:18, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Ок, а почему из <tex>\|A^{*}\varphi\| \le \| A \| \|\varphi\| </tex> следует <tex>\| A^{*} \| \le \| A \| </tex>?<br />
: Абсолютно аналогично, <tex> \|A^*\| = \sup\limits_{\|\varphi\| \le 1} \|A^{*}\varphi\| \le \sup\limits_{\|\varphi\| \le 1} \| A \| \|\varphi\| \le \|A\| </tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:12, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
== Первая теорема о множестве значений оператора ==<br />
Мы здесь доказываем, что <tex> F_1 </tex> замкнуто, но разве нам это нужно? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 17:06, 10 июня 2013 (GST)</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31574Сопряжённый оператор2013-06-10T15:50:09Z<p>Sementry: /* Теорема 2 */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> k = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\Longrightarrow</tex>:<br />
<br />
<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0</tex><br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
<tex>\Longleftarrow</tex>:<br />
<br />
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:<br />
<br />
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi(0 + 1 y) = 1</tex><br />
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex><br />
<br />
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
<br />
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>.<br />
<br />
Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| \le 2m \|y\|</tex> {{TODO|t=а последнее неравенство зачем?}}.<br />
<br />
Если <tex>\xi \in E/_{\operatorname{Ker} A}, \xi = [x]</tex>, то <tex>\|\xi\| = \inf\limits_{x\in \xi} \|x\|</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31535Обсуждение:Сопряжённый оператор2013-06-10T13:06:43Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>== <tex> L_p^* = L_q </tex> ==<br />
Вот это, вроде бы, нетривиальный факт, и Додонов нам его не рассказывал. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:37, 16 февраля 2013 (GST)<br />
<br />
== Последняя теорема ==<br />
Ядро чего именно имеется в виду в условии? --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 21:51, 7 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Обратите внимание: норма элемента фактор-подпространства определяется не так, как это делалось в теореме об открытом вложении прошлого семестра (вернее, сначала это вообще никак не делалось, потом кто-то написал норму, но с ней были проблемы). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 14:00, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
== Теорема о норме сопряженного оператора ==<br />
Что-то я в упор не пойму, как там используется теорема Хана-Банаха. Реквестирую более подробное объяснение в статье от того, кто это уже понял. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 17:20, 8 июня 2013 (GST)<br />
: Если что, я уже разобрался и пофиксил "теорема Хана-Банаха" на "следствие из теоремы Хана-Банаха", где это было нужно. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:29, 8 июня 2013 (GST)<br />
<br />
К той же теореме: строка, начинающаяся с «По определению нормы:…» мне одному кажется какой-то крайне мутной? --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 20:15, 8 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Смотреть определение нормы: [[Линейные_операторы_в_нормированных_пространствах]] --[[Участник:AVasilyev|AVasilyev]]<br />
<br />
Всё понятно, прошу прощения. --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 21:04, 8 июня 2013 (GST)<br />
<br />
<br />
Почему <tex>\| F_x \| \le \| x \|</tex>?<br />
: Мы знаем, что <tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, значит, <tex> \| F_x \| = \sup\limits_{\|f\| \le 1} (\|f\| \|x\|) \le \| x \| </tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 18:18, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Ок, а почему из <tex>\|A^{*}\varphi\| \le \| A \| \|\varphi\| </tex> следует <tex>\| A^{*} \| \le \| A \| </tex>?<br />
: Абсолютно аналогично, <tex> \|A^*\| = \sup\limits_{\|\varphi\| \le 1} \|A^{*}\varphi\| \le \sup\limits_{\|\varphi\| \le 1} \| A \| \|\varphi\| \le \|A\| </tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:12, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
== Первая теорема о множестве значений оператора ==<br />
Мы здесь доказываем, что <tex> F_1 </tex> замкнуто, но разве нам это нужно? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 17:06, 10 июня 2013 (GST)</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31531Сопряжённый оператор2013-06-10T12:46:36Z<p>Sementry: /* Теорема 1 */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем следствие из теоремы Хана-Банаха:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> k = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0</tex><br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi y = \varphi(A x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
Проверим обратное включение:<br />
<tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(A)</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Этот функционал обнуляется на <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
<br />
Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex><br />
<br />
<tex>\forall y \in \operatorname{Cl}(R(A)): \widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>.<br />
<br />
C другой стороны, <tex> \widetilde{\varphi_0}(y) = 1</tex> {{---}} противоречие, т.к. <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp </tex>, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
<br />
<br />
P.S. Мне кажется, понятнее так: Вот у нас есть <tex>\tilde{\varphi}</tex>. Что такое <tex>Ker A^*</tex>? Это такие <tex>\varphi</tex>, что <tex>A^*\varphi = 0</tex> или, тоже самое, <br />
<tex>\varphi (Ax) = 0</tex>(т.е. это функции, которые обнуляются на элементах из <tex>Cl R(A)</tex>. Наша функция <tex>\tilde{\varphi}</tex> как раз имеет такое свойство, то есть <br />
<tex>\tilde{\varphi} \in Ker A^{*}</tex>. Теперь заметим, что <tex>\tilde{\varphi}(y) \neq 0(= 1)</tex>(y - которое мы рассматриваем сначала), но <tex>y \in (Ker A^*)^\perp</tex>(т.е. должен давать 0 на элементах <tex>Ker A^*</tex> в т.ч. и на <tex>\tilde{\varphi}</tex>). Противоречие<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>, если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A^*</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex> (которое замкнуто {{TODO|t=где здесь нужна замкнутость?}}), то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>.<br />
<br />
Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| \le 2m \|y\|</tex> {{TODO|t=а последнее неравенство зачем?}}.<br />
<br />
Если <tex>\xi \in E/_{\operatorname{Ker} A}, \xi = [x]</tex>, то <tex>\|\xi\| = \inf\limits_{x\in \xi} \|x\|</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31522Сопряжённый оператор2013-06-10T10:33:56Z<p>Sementry: /* Примеры сопряженных операторов */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем следствие из теоремы Хана-Банаха:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный<br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> k = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0</tex><br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi y = \varphi(A x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
Проверим обратное включение:<br />
<tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(A)</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Этот функционал обнуляется на <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
<br />
Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex><br />
<br />
<tex>\forall y \in \operatorname{Cl}(R(A)): \widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>.<br />
<br />
C другой стороны, <tex> \widetilde{\varphi_0}(y) = 1</tex> {{---}} противоречие, т.к. <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
<br />
<br />
P.S. Мне кажется, понятнее так: Вот у нас есть <tex>\tilde{\varphi}</tex>. Что такое <tex>Ker A^*</tex>? Это такие <tex>\varphi</tex>, что <tex>A^*\varphi = 0</tex> или, тоже самое, <br />
<tex>\varphi (Ax) = 0</tex>(т.е. это функции, которые обнуляются на элементах из <tex>Cl R(A)</tex>. Наша функция <tex>\tilde{\varphi}</tex> как раз имеет такое свойство, то есть <br />
<tex>\tilde{\varphi} \in Ker A^{*}</tex>. Теперь заметим, что <tex>\tilde{\varphi}(y) \neq 0(= 1)</tex>(y - которое мы рассматриваем сначала), но <tex>y \in (Ker A^*)^\perp</tex>(т.е. должен давать 0 на элементах <tex>Ker A^*</tex> в т.ч. и на <tex>\tilde{\varphi}</tex>). Противоречие<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>, если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A^*</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex> (которое замкнуто {{TODO|t=где здесь нужна замкнутость?}}), то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>.<br />
<br />
Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| \le 2m \|y\|</tex> {{TODO|t=а последнее неравенство зачем?}}.<br />
<br />
Если <tex>\xi \in E/_{\operatorname{Ker} A}, \xi = [x]</tex>, то <tex>\|\xi\| = \inf\limits_{x\in \xi} \|x\|</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31516Сопряжённый оператор2013-06-10T09:56:16Z<p>Sementry: /* Естественное вложение */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
}}<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем следствие из теоремы Хана-Банаха:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует <br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> k = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0</tex><br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi y = \varphi(A x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
Проверим обратное включение:<br />
<tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(A)</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Этот функционал обнуляется на <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
<br />
Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex><br />
<br />
<tex>\forall y \in \operatorname{Cl}(R(A)): \widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>.<br />
<br />
C другой стороны, <tex> \widetilde{\varphi_0}(y) = 1</tex> {{---}} противоречие, т.к. <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
<br />
<br />
P.S. Мне кажется, понятнее так: Вот у нас есть <tex>\tilde{\varphi}</tex>. Что такое <tex>Ker A^*</tex>? Это такие <tex>\varphi</tex>, что <tex>A^*\varphi = 0</tex> или, тоже самое, <br />
<tex>\varphi (Ax) = 0</tex>(т.е. это функции, которые обнуляются на элементах из <tex>Cl R(A)</tex>. Наша функция <tex>\tilde{\varphi}</tex> как раз имеет такое свойство, то есть <br />
<tex>\tilde{\varphi} \in Ker A^{*}</tex>. Теперь заметим, что <tex>\tilde{\varphi}(y) \neq 0(= 1)</tex>(y - которое мы рассматриваем сначала), но <tex>y \in (Ker A^*)^\perp</tex>(т.е. должен давать 0 на элементах <tex>Ker A^*</tex> в т.ч. и на <tex>\tilde{\varphi}</tex>). Противоречие<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>, если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A^*</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex> (которое замкнуто {{TODO|t=где здесь нужна замкнутость?}}), то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>.<br />
<br />
Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| \le 2m \|y\|</tex> {{TODO|t=а последнее неравенство зачем?}}.<br />
<br />
Если <tex>\xi \in E/_{\operatorname{Ker} A}, \xi = [x]</tex>, то <tex>\|\xi\| = \inf\limits_{x\in \xi} \|x\|</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31514Сопряжённый оператор2013-06-10T09:49:48Z<p>Sementry: /* Естественное вложение */</p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br><br />
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Естественное вложение ==<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.<br />
|proof=<br />
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.<br />
<br />
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.<br />
<br />
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
<br />
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.<br />
<br />
С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:<br />
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex><br />
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.<br />
<br />
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.<br />
<br />
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).<br />
<br />
<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.<br />
<br />
== Сопряженный оператор ==<br />
<br />
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.<br />
<br />
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>. <br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
|proof=<br />
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.<br />
<br />
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>. <br />
<br />
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.<br />
<br />
Для доказательства в обратную сторону используем следствие из теоремы Хана-Банаха:<br />
<br />
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.<br />
<br />
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.<br />
<br />
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.<br />
<br />
}}<br />
<br />
== Примеры сопряженных операторов ==<br />
<br />
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует <br />
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.<br />
<br />
<br />
Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.<br />
<br />
Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:<br />
<br />
<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.<br />
<br />
В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex><br />
}}<br />
<br />
В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.<br />
<br />
Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.<br />
<br />
Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.<br />
<br />
'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.<br />
<br />
Построим сопряженный оператор:<br />
<br />
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},<br />
<br />
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').<br />
<br />
<tex> L_p^* = L_q </tex>.<br />
<br />
<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex><br />
<br />
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.<br />
<br />
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> k = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.<br />
<br />
== Ортогональное дополнение ==<br />
<br />
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<br />
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.<br />
<br />
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.<br />
<br />
Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} </tex>.<br />
|proof=<br />
<br />
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:<br />
<br />
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.<br />
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.<br />
}}<br />
<br />
== Теоремы о множестве значений оператора ==<br />
=== Теорема 1 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = 0</tex>.<br />
<br />
<tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0</tex><br />
<br />
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.<br />
<br />
<tex> \varphi y = \varphi(A x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.<br />
<br />
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.<br />
<br />
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex><br />
<br />
Проверим обратное включение:<br />
<tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. <br />
<br />
Рассмотрим <tex> F_1 = \{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. <br />
<br />
Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. <br />
<br />
Проверим сначала замкнутость <tex>F_1</tex>:<br />
<br />
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>. <br />
<br />
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(A)</tex>. <br />
<br />
Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:<br />
<br />
<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. <br />
<br />
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.<br />
<br />
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Этот функционал обнуляется на <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
<br />
Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi} \in F^*</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{\varphi}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex><br />
<br />
<tex>\forall y \in \operatorname{Cl}(R(A)): \widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>.<br />
<br />
C другой стороны, <tex> \widetilde{\varphi_0}(y) = 1</tex> {{---}} противоречие, т.к. <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.<br />
<br />
<br />
P.S. Мне кажется, понятнее так: Вот у нас есть <tex>\tilde{\varphi}</tex>. Что такое <tex>Ker A^*</tex>? Это такие <tex>\varphi</tex>, что <tex>A^*\varphi = 0</tex> или, тоже самое, <br />
<tex>\varphi (Ax) = 0</tex>(т.е. это функции, которые обнуляются на элементах из <tex>Cl R(A)</tex>. Наша функция <tex>\tilde{\varphi}</tex> как раз имеет такое свойство, то есть <br />
<tex>\tilde{\varphi} \in Ker A^{*}</tex>. Теперь заметим, что <tex>\tilde{\varphi}(y) \neq 0(= 1)</tex>(y - которое мы рассматриваем сначала), но <tex>y \in (Ker A^*)^\perp</tex>(т.е. должен давать 0 на элементах <tex>Ker A^*</tex> в т.ч. и на <tex>\tilde{\varphi}</tex>). Противоречие<br />
}}<br />
<br />
=== Теорема 2 ===<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.<br />
|proof = <br />
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> <br />
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.<br />
<br />
2) Докажем теперь обратное включение:<br />
Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>, если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.<br />
<br />
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A^*</tex>.<br />
<br />
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex> (которое замкнуто {{TODO|t=где здесь нужна замкнутость?}}), то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.<br />
<br />
Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.<br />
<br />
Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. <br />
<br />
Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>.<br />
<br />
Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1} \| \le m \|y\| \le 2m \|y\|</tex> {{TODO|t=а последнее неравенство зачем?}}.<br />
<br />
Если <tex>\xi \in E/_{\operatorname{Ker} A}, \xi = [x]</tex>, то <tex>\|\xi\| = \inf\limits_{x\in \xi} \|x\|</tex>.<br />
<br />
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex><br />
<br />
<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.<br />
<br />
<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.<br />
<br />
Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.<br />
<br />
Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.<br />
<br />
В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0&diff=31468Теория Гильберта-Шмидта2013-06-09T20:19:06Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>{{В разработке}}<br />
<br />
{{TODO|t=<br />
Как обычно, это переписанный с выключенным мозгом конспект. Автор не несёт(пока) ответственности за то, что в статье написан антинаучный бред. Хуже того, чукча не читатель, чукча писатель, и написанное даже не читалось.<br />
В параграфе для операторов используется курсивный шрифт (<tex>\mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{B}</tex>), а для матриц {{---}} прямой (<tex>A</tex>, <tex>B</tex>). Во-первых, для того, чтобы различать их, а во-вторых, для красоты. Грустно, что тебе, читатель этого, срать на то, написано ли <tex>\mathcal{I}</tex> или <tex>I</tex>, а хочется только сдать экзамен.<br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=Расставить точки в конце предложений, а то режет глаз.}}<br />
<br />
В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.<br />
<br />
# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex><br />
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex><br />
<br />
В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.<br />
<br />
В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.<br />
<br />
Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>: <br />
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.<br />
<br />
Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.<br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex><br />
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle}</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.<br />
<br />
<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый <tex>\Rightarrow</tex> <tex>(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A}x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.<br />
<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}}самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
<tex>\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex><br />
<br />
* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex> {{TODO|t=почему?}}<br />
<br />
<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.<br />
}}<br />
<br />
Из этого утверждения вытекает следующая теорема:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>. <br />
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.<br />
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex><br />
<br />
с другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что <br />
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>.<br />
<br />
А также, <tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> {{---}} замкнуто. Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex><br />
<br />
<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>{{---}} биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор. Тогда<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex><br />
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex><br />
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел<br />
<br />
Докажем первый пункт<br />
<br />
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Требуемое неравенство{{---}} непрерывность резольвентного оператора<br />
<br />
2. <tex>\exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| > m\|x\|</tex> {{---}} в силу прошлой теоремы.<br />
<br />
Второй пункт {{---}} проверить самим. Это просто логическое отрицание первого. {{TODO|t=запилите кто-нибудь}}<br />
}}<br />
<br />
Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
{{Определение<br />
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex><br />
}}<br />
<br />
Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex><br />
<br />
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex><br />
<br />
Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}z, z\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex><br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:<br />
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex><br />
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
|proof=<br />
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex><br />
<br />
Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы<br />
<br />
<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \Rightarrow \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex><br />
<br />
Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.<br />
<br />
<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex><br />
<br />
По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex><br />
<br />
<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex><br />
<br />
Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.<br />
<br />
Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца: <br />
<br />
<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex><br />
<br />
Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex><br />
<br />
<tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \to 0</tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex><br />
<br />
Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:<br />
<br />
<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle| \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex><br />
<br />
<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex><br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор, то <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\rho(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex><br />
<br />
Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex><br />
<br />
Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.<br />
<br />
<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x = \|\mathcal{A}x\|^2</tex><br />
<br />
По самосопряжённости:<br />
<br />
<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex><br />
<br />
Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.<br />
<br />
<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.<br />
<br />
Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|author=Гильберт, Шмидт<br />
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex>{{---}} его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex><br />
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex>{{---}} ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).<br />
<br />
Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex><br />
<br />
Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>: <br />
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex><br />
<br />
Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\mathcal{A}x \in M^\bot</tex><br />
<br />
<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex><br />
<br />
Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex><br />
<br />
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex><br />
<br />
<tex>M^\bot</tex> {{---}} гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> {{---}} самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex><br />
<br />
Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|\mathcal{A}_0\| = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex><br />
<br />
Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространосвом, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex><br />
}}<br />
<br />
Если <tex>\mathcal{A}</tex>{{---}} самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов, соответствующим собственным числам <tex>\varphi_1, \varphi_2, \ldots</tex>. Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит, <br />
<br />
<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex><br />
<br />
<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex><br />
<br />
Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex><br />
<br />
<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (нуля быть не может, потому что <tex>y \in \rho(\mathcal{A})</tex>)<br />
<br />
<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex><br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31432Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-09T19:12:42Z<p>Sementry: /* Альтернатива Фредгольма-Шаудера */</p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна?}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность (далее, видимо, за <tex> z_n </tex> обозначаются члены этой подпоследовательности), <tex> z_n \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_n </tex>. {{TODO|t=переписать так, чтобы было понятно, что пользуемся только подпоследовательностью.}}<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_n \to 0, \widehat x_n \to z_n = z, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex> x_n </tex>, то <tex> \|x_n - z\| \ge \|x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} B < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex><br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p=1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex><br />
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, тогда <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex> ({{TODO|t=непонятно, почему образ замкнут оказывается}}), по [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31431Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-09T18:31:51Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна?}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность (далее, видимо, за <tex> z_n </tex> обозначаются члены этой подпоследовательности), <tex> z_n \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_n </tex>. {{TODO|t=переписать так, чтобы было понятно, что пользуемся только подпоследовательностью.}}<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_n \to 0, \widehat x_n \to z_n = z, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex> x_n </tex>, то <tex> \|x_n - z\| \ge \|x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} B < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex><br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p=1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
<tex> \Longrightarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.<br />
<br />
Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.<br />
<br />
<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.<br />
<br />
Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.<br />
<br />
Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> \Longleftarrow </tex>:<br />
<br />
Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
<br />
<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.<br />
<br />
Тогда <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
<wikitex><br />
# $\operatorname{Ker} T = \{0\}$, то есть $R(T) = X$ и тогда $y = Tx$ действительно разрешимо для всех $y$<br />
# $\operatorname{Ker} T \ne \{0\}$, тогда $R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$ ({{TODO|t=непонятно, почему образ замкнут оказывается}}), по общим теоремам о сопряженном операторе ({{TODO|t=каким?}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$. Рассмотрим $y = Tx$, очевидно, оно разрешимо, когда $y \in R(T)$, то есть $y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$<br />
</wikitex><br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:%D0%A1%D0%BE%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80&diff=31427Обсуждение:Сопряжённый оператор2013-06-09T18:12:08Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>== <tex> L_p^* = L_q </tex> ==<br />
Вот это, вроде бы, нетривиальный факт, и Додонов нам его не рассказывал. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:37, 16 февраля 2013 (GST)<br />
<br />
== Последняя теорема ==<br />
Ядро чего именно имеется в виду в условии? --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 21:51, 7 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Обратите внимание: норма элемента фактор-подпространства определяется не так, как это делалось в теореме об открытом вложении прошлого семестра (вернее, сначала это вообще никак не делалось, потом кто-то написал норму, но с ней были проблемы). --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 14:00, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
== Теорема о норме сопряженного оператора ==<br />
Что-то я в упор не пойму, как там используется теорема Хана-Банаха. Реквестирую более подробное объяснение в статье от того, кто это уже понял. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 17:20, 8 июня 2013 (GST)<br />
: Если что, я уже разобрался и пофиксил "теорема Хана-Банаха" на "следствие из теоремы Хана-Банаха", где это было нужно. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:29, 8 июня 2013 (GST)<br />
<br />
К той же теореме: строка, начинающаяся с «По определению нормы:…» мне одному кажется какой-то крайне мутной? --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 20:15, 8 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Смотреть определение нормы: [[Линейные_операторы_в_нормированных_пространствах]] --[[Участник:AVasilyev|AVasilyev]]<br />
<br />
Всё понятно, прошу прощения. --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 21:04, 8 июня 2013 (GST)<br />
<br />
<br />
Почему <tex>\| F_x \| \le \| x \|</tex>?<br />
: Мы знаем, что <tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, значит, <tex> \| F_x \| = \sup\limits_{\|f\| \le 1} (\|f\| \|x\|) \le \| x \| </tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 18:18, 9 июня 2013 (GST)<br />
<br />
Ок, а почему из <tex>\|A^{*}\varphi\| \le \| A \| \|\varphi\| </tex> следует <tex>\| A^{*} \| \le \| A \| </tex>?<br />
: Абсолютно аналогично, <tex> \|A^*\| = \sup\limits_{\|\varphi\| \le 1} \|A^{*}\varphi\| \le \sup\limits_{\|\varphi\| \le 1} \| A \| \|\varphi\| \le \|A\| </tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:12, 9 июня 2013 (GST)</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31426Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-09T18:07:18Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна?}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность (далее, видимо, за <tex> z_n </tex> обозначаются члены этой подпоследовательности), <tex> z_n \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_n </tex>. {{TODO|t=переписать так, чтобы было понятно, что пользуемся только подпоследовательностью.}}<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_n \to 0, \widehat x_n \to z_n = z, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex> x_n </tex>, то <tex> \|x_n - z\| \ge \|x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.<br />
<br />
<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex><br />
<br />
Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.<br />
<br />
<tex> \dim \operatorname{Ker} B < +\infty </tex>, следовательно, <tex> \dim M_n < +\infty </tex><br />
<br />
Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <br />
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.<br />
<br />
Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:<br />
<br />
<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex><br />
<br />
Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.<br />
<br />
<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.<br />
<br />
<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.<br />
<br />
Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.<br />
<br />
<tex> T^{m+p=1}(z) = T^{m+p}(x_{m+p}) + T^{m+p-1}(Ax_n) </tex>.<br />
<br />
Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{m+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{m+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{m+p-1}) </tex>.<br />
<br />
Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.<br />
<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=добавить доказательство}}<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
<wikitex><br />
# $\operatorname{Ker} T = \{0\}$, то есть $R(T) = X$ и тогда $y = Tx$ действительно разрешимо для всех $y$<br />
# $\operatorname{Ker} T \ne \{0\}$, тогда $R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$ ({{TODO|t=непонятно, почему образ замкнут оказывается}}), по общим теоремам о сопряженном операторе ({{TODO|t=каким?}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$. Рассмотрим $y = Tx$, очевидно, оно разрешимо, когда $y \in R(T)$, то есть $y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$<br />
</wikitex><br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31421Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-09T17:13:49Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна?}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность (далее, видимо, за <tex> z_n </tex> обозначаются члены этой подпоследовательности), <tex> z_n \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_n </tex>. {{TODO|t=переписать так, чтобы было понятно, что пользуемся только подпоследовательностью.}}<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_n \to 0, \widehat x_n \to z_n = z, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex> x_n </tex>, то <tex> \|x_n - z\| \ge \|x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
Докажем теперь два утверждения.<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=добавить доказательство}}<br />
}}<br />
<br />
{{Утверждение<br />
|statement=<br />
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.<br />
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.<br />
|proof=<br />
{{TODO|t=добавить доказательство}}<br />
}}<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
<wikitex><br />
# $\operatorname{Ker} T = \{0\}$, то есть $R(T) = X$ и тогда $y = Tx$ действительно разрешимо для всех $y$<br />
# $\operatorname{Ker} T \ne \{0\}$, тогда $R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$ ({{TODO|t=непонятно, почему образ замкнут оказывается}}), по общим теоремам о сопряженном операторе ({{TODO|t=каким?}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$. Рассмотрим $y = Tx$, очевидно, оно разрешимо, когда $y \in R(T)$, то есть $y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$<br />
</wikitex><br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31419Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-09T16:30:31Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна?}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.<br />
<br />
В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.<br />
<br />
<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность (далее, видимо, за <tex> z_n </tex> обозначаются члены этой подпоследовательности), <tex> z_n \to z </tex>.<br />
<br />
Тогда получаем <tex> y_n = \widehat x_n - z_n </tex>. {{TODO|t=переписать так, чтобы было понятно, что пользуемся только подпоследовательностью.}}<br />
<br />
Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_n - z_n \to 0, \widehat x_n \to z_n = z, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.<br />
<br />
То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.<br />
<br />
<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex> x_n </tex>, то <tex> \|x_n - z\| \ge \|x_n\| = 1</tex><br />
<br />
Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.<br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=пропуск}}<br />
<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
<wikitex><br />
# $\operatorname{Ker} T = \{0\}$, то есть $R(T) = X$ и тогда $y = Tx$ действительно разрешимо для всех $y$<br />
# $\operatorname{Ker} T \ne \{0\}$, тогда $R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$ ({{TODO|t=непонятно, почему образ замкнут оказывается}}), по общим теоремам о сопряженном операторе ({{TODO|t=каким?}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$. Рассмотрим $y = Tx$, очевидно, оно разрешимо, когда $y \in R(T)$, то есть $y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$<br />
</wikitex><br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31417Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-09T15:58:44Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.<br />
|proof=<br />
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.<br />
<br />
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. {{TODO|t=а на каком компакте непрерывна?}}<br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.<br />
<br />
{{TODO|t=дописать доказательство до конца}}<br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=пропуск}}<br />
<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
<wikitex><br />
# $\operatorname{Ker} T = \{0\}$, то есть $R(T) = X$ и тогда $y = Tx$ действительно разрешимо для всех $y$<br />
# $\operatorname{Ker} T \ne \{0\}$, тогда $R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$ ({{TODO|t=непонятно, почему образ замкнут оказывается}}), по общим теоремам о сопряженном операторе ({{TODO|t=каким?}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$. Рассмотрим $y = Tx$, очевидно, оно разрешимо, когда $y \in R(T)$, то есть $y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$<br />
</wikitex><br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementryhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0&diff=31415Альтернатива Фредгольма — Шаудера2013-06-09T15:44:37Z<p>Sementry: </p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
<br />
Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.<br />
<br />
<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.<br />
<br />
<tex>A \colon [0;1] \to [0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.<br />
<br />
Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.<br />
<br />
Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.<br />
<br />
Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon B \to B</tex>, A — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex><br />
<br />
Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?<br />
<br />
<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.<br />
<br />
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A</tex><br />
<br />
<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.<br />
<br />
Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.<br />
<br />
Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=Пусть <tex>T = I - A</tex>, A компактен <tex>\Rightarrow R(T) = Cl R(T)</tex><br />
|proof=Ранее (пятый семестр же?) мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то R(T) замкнуто. Нужно доказать, что у T есть априорная оценка.<br />
<br />
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in Ker~T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>dim~Ker~T < + \infty \Rightarrow Ker~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex><br />
<br />
Рассмотрим функцию от n переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|</tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex><br />
<br />
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через y.<br />
}}<br />
<br />
{{TODO|t=пропуск}}<br />
<br />
<br />
== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==<br />
<br />
{{Теорема<br />
|about=<br />
альтернатива Фредгольма-Шаудера<br />
|statement=<br />
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:<br />
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex><br />
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex><br />
|proof=<br />
<wikitex><br />
# $\operatorname{Ker} T = \{0\}$, то есть $R(T) = X$ и тогда $y = Tx$ действительно разрешимо для всех $y$<br />
# $\operatorname{Ker} T \ne \{0\}$, тогда $R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$ ({{TODO|t=непонятно, почему образ замкнут оказывается}}), по общим теоремам о сопряженном операторе ({{TODO|t=каким?}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$. Рассмотрим $y = Tx$, очевидно, оно разрешимо, когда $y \in R(T)$, то есть $y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$<br />
</wikitex><br />
}}<br />
<br />
== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==<br />
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>. <br />
<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.<br />
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.<br />
<br />
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:<br />
<br />
{{Теорема<br />
|statement=<br />
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.<br />
|proof=<br />
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.<br />
<br />
Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.<br />
<br />
Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.<br />
<br />
Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.<br />
<br />
Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.<br />
<br />
Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.<br />
<br />
Таким образом, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.<br />
<br />
Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.<br />
}}<br />
<br />
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]</div>Sementry