Просмотр исходного текста страницы Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости

{{Лемма
|about=
о представлении потоков
|statement=
Пусть <tex> f </tex> и <tex> g </tex> {{---}} потоки в сети <tex> G </tex>. Тогда <tex> g </tex> можно представить как сумму <tex> f + f'</tex>, где <tex>f'</tex> {{---}} поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>.
|proof= 
Рассмотрим произвольное ребро <tex> (u, v) </tex> из <tex> G </tex>. <tex> f'(u, v) = g(u, v) - f(u, v) \leq c(u, v) - f(u, v) = C_f(u, v) </tex>. Таким образом поток через каждое ребро не превосходит пропускной способности остаточной сети. 
Антисимметричность и закон сохранения потока проверяются аналогично [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]].
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть:
* <tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>.
* <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex>  среди потоков величины <tex> a </tex>. 
*<tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t</tex> в остаточной сети.
Тогда:
<tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>, где <tex>\delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток величины <tex>\delta</tex>, проходящий по пути <tex>P</tex>.

|proof=
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток минимальной стоимости величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Представим <tex> g = f + f'</tex>, где <tex> f' </tex> {{---}} поток в остаточной сети <tex>G_f</tex>. Тогда разность <tex> g - f</tex> будет потоком в сети <tex>G_f</tex> и по [[Лемма о сложении потоков|лемме о сложении потоков]] его величина будет равна <tex>\delta</tex>.

По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] <tex> g - f</tex> можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. В этом представлении нет отрицательных циклов, иначе прибавление его к <tex> f </tex> даст поток меньшей стоимости. Если есть положительный цикл, то вычтем его из <tex> g </tex> и получим поток меньшей стоимости. Таким образом <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов.

Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>. 

Отсюда <tex> p(g) \ge p(f) +  p(P) \cdot \delta \ge p(g) </tex> и поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} минимальный.

}}

== Литература ==
* Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]