Просмотр исходного текста страницы PCP-теорема, альтернативное доказательство

{{Определение
|definition=<tex>qCSP</tex> представляет собой <tex>\varphi</tex> &mdash; набор функций <tex>\varphi_1, \ldots, \varphi_m</tex> из <tex>\{0, 1\}^2</tex> в <tex>\{0, 1\}</tex>, такие что <tex>\varphi_i</tex> зависит только от <tex>q</tex> заданных параметров. То есть для <tex>\forall i \in [1..m]</tex> существуют <tex>j_1, \ldots, j_q \in [1..n]</tex> и функция <tex>f:\{0, 1\}^q \rightarrow \{0, 1\}, такие что <tex>\varphi_i(u) = f(u_{j_1}, \ldots, u_{j_q})</tex> для любого <tex>u \in \{0, 1\}^n</tex>.

Назовём распределение <tex>u \in \{0, 1\}</tex> удовлетворяет <tex>\varphi_i</tex>, если <tex>\varphi_i(u) = 1</tex>.

<tex>val(\varphi) = \frac{\sum_{i = 1}^{m} \varphi_i(u)}{m}.</tex> Если <tex>val(\varphi) = 1</tex>, то <tex>\varphi</tex> - удовлетворима.
}}

{{Определение
|definition=<tex>\rho \in (0, 1)</tex>. Задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP - определить для формулы q-CSP &mdash; <tex>\varphi</tex>:
<tex>\bullet</tex> <tex>\varphi</tex> удовлетворима, то "YES".
<tex>\bullet</tex> <tex>val(\varphi) \leq \rho</tex>, то "NO".
}}

{{Теорема
|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho</tex>-GAP qCSP &mdash; NP-трудная.
}}

{{Утверждение
|statement=Теорема выше эквивалентна теореме о том, что NP = PCP(1, <tex>log(n)</tex>).
|proof=
1) Пусть NP <tex>\subseteq</tex> PCP(1, <tex>log(n)</tex>). Докажем, что задача 3SAT сводится к <tex>\frac{1}{2}</tex>-GAP qCSP, а, значит, <tex>\rho</tex>-GAP qCSP является NP-сложной.

По нашему предположению для задачи 3SAT существует верифаер <tex>V</tex> с доказательством <tex>\pi</tex> и обращается он к нему <tex>q</tex> раз, а случайной лентой пользуется <tex>clog(n)</tex> раз.

Теперь для любого входа <tex>x \in \{0, 1\}^n</tex> и случайной ленты <tex>r \in \{0, 1\}^{clog(n)}</tex> определим функцию <tex>V_{x, r}</tex> такую, что для доказательства <tex>\pi</tex> возвращает 1, если верифаер принимает доказательство <tex>\pi</tex>, имея на входе <tex>x</tex> и ленту <tex>r</tex>. Получается что набор <tex>\varphi={V_{x, r}}</tex> для всех <tex>x</tex> и <tex>r</tex> является qCSP полиномиального размера. Так как верифаер работает за полиномиальное время, то <tex>x</tex> сводится к <tex>\varphi</tex> за полиномиальное время. И если <tex>x \in</tex> 3SAT, то <tex>val(\varphi) = 1</tex>, и <tex>x \not\in</tex> 3SAT, то <tex>val(\varphi) \leq \frac{1}{2}</tex>.
}}