Просмотр исходного текста страницы Цепные дроби как приближение к числу

{{Требует доработки
|item1=Нигде нет доказательства теоремы <tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i \cdot Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</tex>.
}}

[[Цепная дробь|Цепные дроби]] позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число <tex>\alpha</tex> разложить в цепную дробь, то точность <tex>n</tex>-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству:
:<tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i \cdot Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</tex>.
{{Теорема
|id=th1
|about=1
|statement=
Для любого иррационального числа <tex>\alpha</tex> существует бесконечное число дробей <tex>\frac{P}{Q}</tex> таких, что <tex>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</tex>.
|proof=
Рассмотрим две последующие подходящие дроби к <tex>\alpha : \frac{P_k}{Q_k}</tex> и <tex> \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</tex>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <tex>|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}, |\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2Q_{k+1}^2}</tex>. Отсюда <tex>|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}</tex>.
Но поскольку <tex>\alpha</tex> лежит между <tex>\frac{P_k}{Q_k}</tex> и <tex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</tex>, то <tex>|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = |\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</tex>, вследствие чего <tex>\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}\leqslant\frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</tex>. Следовательно <tex>(\frac{1}{Q_k}-\frac{1}{Q_{k+1}})^2 \leqslant 0</tex>, что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому, по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения <tex>k</tex>, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы.
}}
{{Теорема
|id=th2
|about=2
|statement=
Для любого иррационального числа <tex>\alpha</tex> существует бесконечное число дробей <tex>\frac{P}{Q}</tex> таких, что <tex>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{\sqrt{5}Q^2}</tex>.
|proof=
Рассмотрим три последующие подходящие дроби к <tex>\alpha : \frac{P_k}{Q_k}, \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}} </tex> и <tex> \frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</tex>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <tex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+2}^2}</tex>.

Так как <tex>\frac{P_k}{Q_k}</tex> и <tex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</tex> расположены по разные стороны от <tex>\alpha</tex>, то при нечётном <tex>k</tex> имеем <tex>\frac{P_k}{Q_k}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2} </tex>, а при чётном <tex> k </tex> - <tex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_k}{Q_k}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}</tex>. 

Из последних двух неравенств следует, что <tex>\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{Q_k^2}+\frac{1}{Q_{k+1}^2})\leqslant~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</tex>. Умножив обе части на <tex>Q_{k+1}^2</tex> и перенеся все члены в левую часть получим: <tex>(\frac{Q_{k+1}}{Q_k})^2 - \sqrt{5}(\frac{Q_{k+1}}{Q_k}) + 1 \leqslant 0</tex>. То есть <tex>(\frac{Q_{k+1}}{Q_k}-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \leqslant \frac{1}{4}</tex>, следовательно для целых <tex>Q_k</tex> и <tex>Q_{k+1}</tex> имеем <tex>\frac{Q_{k+1}}{Q_k} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}</tex>.

Так как <tex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</tex> и <tex>\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</tex> расположены по разные стороны от <tex>\alpha</tex>, то аналогично получаем <tex>\frac{Q_{k+2}}{Q_{k+1}} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}</tex>.

Пользуясь рекуррентным соотношением получаем <tex>\frac{1+\sqrt{5}}{2} > \frac{Q_{k+2}}{Q_{k+1}} = \frac{Q_{k+1}a_{k+1}+Q_k}{Q_{k+1}} = a_{k+1} + \frac{Q_k}{Q_{k+1}} > 1 + \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}</tex>. Пришли к противоречию. Значит для одной из трёх последовательных подходящих дробей будет выполняться условие теоремы. Тогда придавая различные значения <tex>k</tex> получим бесконечно много дробей, для которых выполняется условие теоремы.
}}
{{Лемма
|id=lm1 
|about=1
|statement=
Любую конечную цепную дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle</tex> с чётным(нечётным) числом подходящих дробей можно представить в виде эквивалентной конечной цепной дроби с нечётным(чётным) числом подходящих дробей.
|proof=
Если <tex>a_n \geqslant 2</tex> : <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n \rangle = \langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n-1,1 \rangle</tex>. Если <tex>a_n = 1</tex> : <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{n-1}, 1\rangle = \langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{n-1} + 1 \rangle</tex>.
}}
{{Лемма
|id=lm2
|about=2
|statement=
Если <tex>x = \frac{P\zeta+R}{Q\zeta+S}</tex>, где <tex>\zeta > 1, P, Q, R, S</tex> удовлетворяют <tex>Q>S>0</tex> и <tex>PS-QR= \pm 1</tex>, то <tex>\frac{R}{S}, \frac{P}{Q} </tex> - n-1-ая и n-ая подходящие дроби для <tex>x</tex>.
|proof=
Разложим <tex>\frac{P}{Q}</tex> в цепную дробь<tex>\langle a_0, a_1, a_2, \dots, a_n \rangle = \frac{P_n}{Q_n}</tex>.
По [[#lm1|лемме 1]] мы можем задать чётное либо нечётное <tex>n : PS-QR=(-1)^{n-1}</tex>
<tex>P_nS-Q_nR=(-1)^{n-1}=P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n</tex> следовательно <tex>P_n(S-Q_{n-1})=Q_n(R-P_{n-1})</tex>. Так как <tex>P_n</tex> и <tex> Q_n</tex> взаимно просты, то <tex>(S-Q_{n-1})\vdots Q_n </tex>. Но <tex>Q_n = Q > S</tex> следовательно <tex> Q_n > S-Q_{n-1}</tex>, что возможно только если <tex>S=Q_{n-1}</tex> аналогично <tex>R=P_{n-1}</tex>. Что и требовалось доказать.
}}
{{Теорема
|id=contFracCrit
|about=3
|statement=
Если некоторая дробь <tex>\frac{P}{Q}</tex> удовлетворяет условию <tex>~|\alpha - \frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</tex>, то она {{---}} подходящая дробь для <tex> \alpha </tex>.
|proof=
Пусть для дроби <tex>\frac{P}{Q}</tex> выполняется условие теоремы, тогда <tex>\frac{P}{Q}-\alpha=\frac{\epsilon\theta}{Q^2}</tex>, где <tex>~|\epsilon| = 1</tex>, <tex>0<\theta<\frac{1}{2}</tex>. Дробь <tex>\frac{P}{Q}</tex> можно представить в виде конечной цепной дроби <tex>\langle a_0, \cdots, a_n \rangle </tex>. В силу [[#lm1|леммы 1]] мы можем сделать <tex> n</tex> чётным или нечётным. Пусть <tex> n </tex> такое, что <tex>\epsilon = (-1)^{n-1}</tex>.

Возьмём <tex>\omega = \frac{1}{\theta} - \frac{Q_{n-1}}{Q_n} > 1</tex>. Получим <tex> \theta = \frac{Q_n}{\omega Q_n + Q_{n-1}} </tex>. Тогда <tex> \alpha = \frac{P}{Q}-\frac{\epsilon\theta}{Q^2}</tex>. Заметим, что <tex>\epsilon = P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n</tex>, тогда <tex>\alpha = \frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n}{Q_n(\omega Q_n+Q_{n-1})}</tex>. Получаем в итоге <tex>\alpha = \frac{\omega P_n + Q_{n-1}}{\omega Q_n + Q_{n-1}}</tex>. Следовательно, по [[#lm2|лемме 2]] теорема доказана.
}}

[[Категория:Теория чисел]]