Просмотр исходного текста страницы L 2-теория рядов Фурье

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
{{В разработке}}

В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство <tex>L_p</tex> — полное. С другой стороны, в 
пространстве <tex>L_2</tex> можно определить скалярное произведение:

<tex>\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g</tex>

Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как <tex>\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}</tex>

Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:
* <tex>\langle f; f \rangle \le 0</tex> и <tex>\langle f; f\rangle = 0 \iff f = 0</tex> почти всюду
* Линейность. <tex>\langle \alpha f_1 + \beta f_2 , g \rangle = \alpha\langle f_1, g \rangle + \beta \langle f_2, g\rangle</tex>
* Симметричность. <tex>\langle f, g\rangle = \langle g, f \rangle</tex>

Введём норму <tex>\|f\| = \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\int\limits_Q f^2}</tex>

В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.

''<tex>L_2</tex>-теория рядов Фурье'' {{---}} теория, исследуются свойства рядов Фурье как элементов данного Гильбертова пространства.

Центральную роль в <tex>L_2</tex>-теории играет ''ортонормированная система точек''(ОНС).

{{Определение
|definition=<tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС <tex>\iff</tex> <tex>\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}</tex>
}}

Если в качестве модели взять <tex>L_2</tex> и рассмотреть стандартную тригонометрическую систему функций <tex>1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots, \sin nx, \cos nx</tex>, то окажется, что она {{---}} ортогональная.

Попарная ортогональность:
<tex>\int\limits_Q \cos^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi</tex>, <tex>\int\limits_Q 1 = 2\pi</tex>.

Тогда ОНС будет:
<tex>\frac1{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\cos x}{\sqrt\pi}, \ldots, \frac{\sin nx}{\sqrt\pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt\pi}</tex>

По ортонормированной системе можно составлять формальные ряды в <tex>\mathcal{H}</tex>.

<tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_je_j</tex> в <tex>\mathcal{H}</tex> ортогональна: <tex>i\ne j \Rightarrow \langle \alpha_1 e_i, \alpha_2 e_j \rangle</tex> = 0

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда  <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. Если <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>.
|proof=
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению, сходимость <tex>A_n</tex> равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, сходимость равносильна сходимости <tex>A_n</tex> в себе. Значит, 
<tex>\lim\limits_{n, m \to \infty} A_n - A_m \to 0 \iff \|A_n - A_m\| \to 0 </tex>

Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j</tex>.

<tex>\|A_m - A_n\|^2 = \left\langle \sum\limits_{i=n+1}^m a_i, \sum\limits_{j=n+1}^m a_j \right\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{i, j = n+1}^m \langle a_i, a_j\rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \langle a_j, a_j \rangle</tex>
<tex>= \sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2</tex>

По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 < \infty</tex>

<tex>a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \| = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|</tex>

}}

Возвращаясь к ряду по ортогональной системе <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, получаем, что он сходится <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2</tex>.

На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.

Пусть <tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать:
<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex>

То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье. 

Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>

В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>

Аналогично, для синусов: <tex>\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)</tex>

<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>

Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx</tex>, то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.

Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится ояд <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое).

== Теорема Рисса-Фишера ==
{{Теорема
|author=
Рисс, Фишер
|statement=
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>.
Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}:  \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
|proof=
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>

Поэтому просто положим <tex>x</tex> равным <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>.
}}

Легко установить экстремальное свойство частичных сумм:

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>, <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>

Экстремальное свойство: <tex>\|x-s_n(x)\| = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>

Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>

Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в <tex>\mathcal{H}</tex>.

Возникает вопрос: ''к чему же?''

{{Утверждение
|statement=
Если <tex>y = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, из этого не следует <tex>x = y</tex>.
|proof=
Рассмотрим в <tex>\mathbb{R}^3</tex> ОНС <tex>\{e_1, e_2\}</tex>. 

<tex>x = e_3</tex>, <tex>\langle x, e_1\rangle = \langle x, e_2\rangle = 0</tex>

<tex>\langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2 = 0</tex>

<tex>\alpha e_1 + \beta e_2 \in \mathcal{L}(e_1, e_2)</tex>

Сумма ряда Фурье <tex>=0</tex>, что <tex>\ne e_3</tex>
}}

Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.

Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
# ОНС {{---}} замкнута: <tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0</tex>.
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).

{{Теорема
|statement=ОНС {{---}} полная <tex>\iff</tex> ОНС {{---}} замкнутая
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть ОНС {{---}} полная

<tex>x \in \mathcal{H}</tex>, <tex>\forall j: \langle x, e_j\rangle = 0</tex>. В силу полноты системы, <tex>\forall \varepsilon > 0 : \exists \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k : \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| < \varepsilon</tex>

Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:

<tex>\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|<\varepsilon</tex>.

<tex>\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье.

А раз у <tex>x</tex> все коэффициенты нулевые, то сумма ряда {{---}} 0.

Значит, из полноты вытекает замкнутость.

<tex>\Leftarrow</tex> Пусть система замкнута
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 < +\infty</tex>. По теореме Рисса-Фишера, <tex>\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k</tex>.

По свойствам ортогональных рядов, <tex>\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle y - x, e_k\rangle =0</tex>.

Но система замкнута <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y - x = 0</tex>, то есть, <tex>x = y</tex>.

Значит, <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)</tex>, что и означает полноту системы.
}}

Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, замкнутая(или полная). Тогда ряд Фурье любой точки <tex>x \in \mathcal{H}</tex> совпадает с <tex> x </tex>.
}}

{{Теорема
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>.
}}

<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex> {{---}} уравнение замкнутости.

Оно так называется потому, что если оно выполняется для любого <tex>x</tex>, то соответствующая ОНС {{---}} замкнутая.

Возьмём вторую точку <tex>y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k</tex>

{{Утверждение
|author=Парсеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>. 
}}

Прикладывая всё это к <tex>L_2</tex> и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в <tex>L_2</tex>-теории, приходим к равенству Персеваля:

<tex>\int\limits_Q fg = \frac{a_0(f)a_0(g)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n(f)a_n(g) + b_n(f)b_n(g))</tex>

В частности, <tex>\int\limits_Q f^2  = \frac{a_0^2(x)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex>

Далее, в замкнутых системах, <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что: 

<tex>\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n</tex>

Итого: <tex>E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>

В <tex>L_2</tex>: <tex>E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) </tex>.

Финально: последнее равенство показывает исключительный характер <tex>L_2</tex>: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.

[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]