Просмотр исходного текста страницы Теорема Лузина-Данжуа

[[L_2-теория рядов Фурье|<<]][[Теорема Джексона|>>]]

Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд:

<tex> \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> 

<tex> |a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n| </tex> 

Если <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> сходится, то тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся. 

Обратное в общем случае неверно, тригонометрический ряд может абсолютно сходиться в бесконечном числе точек, но при этом числовой будет расходиться.

Рассмотрим, например, <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!} </tex>, тогда при <tex> n \ge k: \sin(\pi n! x_k) = \sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0 </tex>, то есть, ряд абсолютно сходится. Однако, <tex> b_{n!} = 1 </tex>, и ряд из коэффициентов расходится.

Однако, есть важная теорема:

<tex> a_n \cos nx + b_n \sin nx = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos (nx + \varphi_n) </tex>

<tex> \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \le |a_n| + |b_n| \le  \sqrt 2 \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex>, следовательно, ряды <tex> \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex> и <tex> \sum\limits_1^{\infty} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}) </tex> равносходятся.

{{Теорема
|author=
Лузин, Данжуа
|statement=
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из <tex> r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} </tex> сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси.
|proof=
<tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| </tex> — сходится для любого <tex> x </tex> в <tex> A </tex> по условию теоремы, где <tex> \lambda A > 0 </tex>.

Пусть <tex> \alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) </tex>. <tex> \alpha(x) </tex> измерима и конечна на <tex> A </tex>, так как <tex> r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)| </tex>.

Тогда <tex> \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 > 0, \alpha(x) </tex> — ограничена на <tex> A_0 </tex>. <tex> A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 \le \alpha(x) \le n), \lambda A > 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A \Rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} > 0 </tex>, обозначим такой <tex>A_{n_0} </tex> за <tex> A_0 </tex>.

На <tex> A_0 </tex> <tex> \alpha </tex> — суммируема, по [[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега#Теорема Леви|теореме Б. Леви]], ряд можно почленно интегрировать. 

<tex> \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) =  \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x})}{2} =  </tex>

<tex> = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(2\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(2\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right) </tex>. Оба интеграла стремятся к нулю по лемме Римана-Лебега, следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше <tex> -\frac12 \lambda A_0 </tex> , а значит, <tex> n </tex>-е слагаемое ряда больше <tex> \frac12 r_n \frac12 \lambda A_0 </tex>. Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n </tex>.
}}

Таким образом, отождествили сходимость рядов <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> и <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) </tex>.

Запишем условие абсолютной сходимости на языке наилучших приближений.

{{Теорема
|statement=
<tex> f \in L_2, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty </tex>

Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.
|proof=
<tex> E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f)) </tex>. Для абсолютной сходимости достаточно доказать, что <tex> \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} < + \infty </tex> в условиях теоремы.

<tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} =</tex> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le </tex> (используем [[Неравенства Гёльдера, Минковского#Теорема Гёльдера|неравенство Коши для сумм]])
<tex> \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}  \frac1{k^2} \right)^{\frac12} </tex>

<tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} </tex> равно <tex> E_{n-1}(f)_2 </tex>

<tex> \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \le \frac{1}{\sqrt{n-1}} </tex>

Таким образом, получили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \le \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{cE_{n-1}(f)_{L_2}}{\sqrt{n-1}} < + \infty </tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится.
}}

== См. также ==
[http://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Luzin_theorem Denjoy-Luzin_theorem]

[[L_2-теория рядов Фурье|<<]][[Теорема Джексона|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]