Просмотр исходного текста страницы Обсуждение:Нормированные пространства (3 курс)

Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.
: А у меня в конспекте ничего не сказано про равносильность определений, более того, подозреваю, что это неверно. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:02, 5 января 2013 (GST)
:: UPD: видимо, равносильность все же должна быть. Но я пока не понимаю, как ее доказать. Может, кто-нибудь сделает это? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 07:43, 7 января 2013 (GST)
::: А тебе для чего-то понадобилось? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 15:10, 7 января 2013 (GST)
::: <wikitex>И, кстати, я правильно понимаю, что надо доказать что-то вроде "если нормы не эквивалентны, то найдется последовательность, которая по одной норме сходится, а по другой нет?". Тогда вроде все просто, действуем по определению, пусть $\|\|_1$ и $\|\|_2$ не эквивалентны, тогда для любого $n$ найдется $x_n$ такой, что $\|x_n\|_1 > n \|x_n\|_2$. Теперь рассмотрим последовательность $\frac{x_n}{\|x_n\|_1}$, по первой норме она сходится к 1, а по второй норме — к 0</wikitex>. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 10:19, 13 января 2013 (GST)
:::: Не, не понадобилось, просто я подумал и решил, что это как-то неестественно, если определения не эквивалентны. Да, твое доказательство верно, сейчас добавлю его в статью. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:26, 13 января 2013 (GST)
::::: Стоп, твое доказательство неверно =( Последовательность <tex> \frac {x_n} {\|x_n\|} </tex> не обязана никуда сходиться. То, что последовательность из норм к чему-то сходится, еще ничего не значит. Доказательство, тем не менее, правдоподобное, но его надо доработать.
:::::: UPD: доработал --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:46, 13 января 2013 (GST)
::::::: Почему то, что последовательность норм сходится, ничего не означает? Сходимость же через нормы и определеяется. Да и у тебя ровно то доказательство, которое я имел в виду) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 11:36, 14 января 2013 (GST)

TODO: сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли?
: WAT? Вроде бы, все согласуется с определением конечномерного пространства, возможно, я чего-то не понял, но пока удолил --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:02, 5 января 2013 (GST)

== аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса) ==
Может быть, можно как-то воспользоваться следствием и очень просто доказать ее, но в моем конспекте она вообще не упомянута. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:12, 5 января 2013 (GST)
: UPD: Похоже, речь шла о том, что в теореме Вейерштрасса максимальная степень полинома не ограничена, и пространство вообще всех полиномов замкнутым не является, но это {{---}} так, маловажное замечание. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 04:08, 5 января 2013 (GST)

== норма для R^infty ==
"не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой."
: почему? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 09:52, 13 января 2013 (GST)
:: Допустим, это можно сделать, тогда <tex> \|x\| = \rho(0, x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \frac {|x_k|} {1 + |x_k|} </tex>, ну и дальше понятно, что там однородность поедет. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 21:15, 13 января 2013 (GST)
::: Неубедительно. Если там однородность поедет, то это вообще даже не норма, и из этого ничего не следует. Разве обязательно, чтобы <tex>\|x\| = \rho(0,x)</tex>? А вдруг есть другой способ задать норму, и в ней то все будет? Взять, например, пространство <tex>\mathbb{R}</tex> с той же метрикой: <tex>\rho(x, y) = \frac {|x - y|} {1 + |x - y|}</tex>. Тут можно взять любую норму, например <tex>\|x\| = |x|</tex>, и сходимость по норме будет равносильна сходимости по метрике. А, если бы взяли <tex>\|x\| = \rho(0,x)</tex>, то однородность точно также бы поехала. --[[Участник:Dmitriy D.|Dmitriy D.]] 21:29, 15 января 2013 (GST)

== компактность единичной сферы в норме \|\|_2 ==
Нужна для доказательства теоремы Рисса. Мы это где-то доказывали? Если нет, я правильно понимаю, что надо сказать, что пространство полное по метрике, индуцированной этой нормой, замкнутость сферы очевидна, вполне ограниченность тоже, ну и тогда по теореме кого-то там (точно была) — это компакт? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 10:47, 13 января 2013 (GST)
: Теорема кого-то там {{---}} это теорема Хаусдорфа об <tex> \varepsilon </tex>-сетях =) Замкнутость и вполне ограниченность, кстати, не очень очевидны. Если будешь затыкать TODO в конспекте, вынеси в отдельное утверждение, пожалуйста. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:52, 13 января 2013 (GST)
:: запилил, все еще не очень формально, но мне лень расписывать --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 12:00, 14 января 2013 (GST)