Просмотр исходного текста страницы Компактный оператор

Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное множество из <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>. 
}}


Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

=== Пример ===

Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(u, v) </tex> — непрерывно на  <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.

<tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.

<tex> A(x,t) \in C[0,1] </tex>. Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>

<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>

<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex>

<tex> T \subset C[0,1]  </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
# <tex> \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \  \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.

{{TODO|t=дальше какой-то треш, кажется, хотим показать, что A компактный}}

== Критерий проверки компактности ==

Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен.

Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.

== Произведение компактных операторов ==
{{Утверждение
|statement = 
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.

Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(V)$ — относительно компактное в $Z$, то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно.

$A$ — компактен, то есть $W = A(V)$ относительно компактно в $Y$, поэтому $\forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$.

Обозначим $z_j = B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = By, y = Ax, x \in V$.

$\|z - z_j\| = \|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.
</wikitex>
}}

{{Утверждение
|about=следствие
|statement=
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он не может быть непрерывно обратимым.
|proof=
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
}}

{{Утверждение
|statement = 
<tex> A </tex> — компактный <tex> \implies R(A) </tex> — сепарабельно, то есть в <tex> R(A) </tex> существует всюду плотное подмножество.
|proof = 
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \}  </tex> — счетное объединение шаров.

<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex>

<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.

Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]] можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon_{\frac{1}{n}}</tex>-сетей для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве. 

Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
}}