Просмотр исходного текста страницы Унитарный и ортогональный операторы

==Унитарный оператор==
{{Определение
|id=1
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор, сохраняющий скалярное произведение, то есть <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)</tex>
}}

{{Определение
|id=2
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор, сохраняющий норму вектора, то есть <tex>\Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert \ (\forall x \in E)</tex>
}}

{{Определение
|id=3
|definition=
'''Унитарным оператором''' называется оператор такой, что <tex>\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+} \ (\mathcal{U}^{+}</tex> {{---}} эрмитовски сопряженный оператор<tex>)</tex>, то есть <tex>\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Все три определения эквивалентны
|proof=
'''Шаг 1. опр1 <tex>\Rightarrow</tex> опр2'''

Пусть в первом определении <tex>x=y: \left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert^2=\Vert x\Vert^2 \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert</tex>

'''Шаг 2. опр2 <tex>\Rightarrow</tex> опр1'''

Пусть во втором определении <tex>x \rightarrow x+y: \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert=\Vert x+y\Vert \Rightarrow \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert^2=\Vert x+y\Vert^2 (*)</tex>

Левая часть <tex>(*)=\left \langle \mathcal{U}(x+y);\mathcal{U}(x+y) \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle+\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\overline{\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle}+\left \langle \mathcal{U}y;\mathcal{U}y \right \rangle</tex>

<tex>=\Vert \mathcal{U}x \Vert^2+2Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\Vert \mathcal{U}y \Vert^2</tex>

Правая часть <tex>(*)=\left \langle x+y;x+y \right \rangle=\Vert x \Vert^2+2Re\left \langle x;y \right \rangle+\Vert x \Vert^2</tex>

Итого: <tex>Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Re\left \langle x;y \right \rangle</tex>

Аналогично полагая, что <tex>x \rightarrow x+iy</tex> получим, что <tex>Im\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Im\left \langle x;y \right \rangle</tex>

Тогда <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)</tex>

'''Шаг 3. опр1 <tex>\Rightarrow</tex> опр3'''

<tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+(\mathcal{U}y) \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle</tex>, так как <tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)</tex>, то <tex>\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y=\mathcal{J}y \Rightarrow \mathcal{U}^+\mathcal{U}=\mathcal{J}</tex>

Перейдем в ОРТН базис: <tex>U^+U=E, \ det(U^+U)=detU^+ \cdot detU=detE=1 \Rightarrow \exists U^{-1} \Rightarrow \exists \mathcal{U}^{-1}</tex>

Тогда <tex>\exists \mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+}</tex>, то есть <tex>\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}</tex>

'''Шаг 4. опр3 <tex>\Rightarrow</tex> опр1'''

<tex>\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y (+)</tex>
<tex>\left \langle x;(+) \right \rangle: \left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y\right \rangle= \left \langle x;y \right \rangle</tex>
}}

==Свойства унитарного оператора==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\mathcal{U} \leftrightarrow U=\Vert \nu_{i}^{k} \Vert</tex>, тогда

1) <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\nu_{k}^{i} \overline{\nu}_{j}^{k}=\delta^{ij}</tex> {{---}} ортогональность матрицы УНО по строкам.

2) <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\nu_{i}^{k} \overline{\nu}_{k}^{j}=\delta^{ij}</tex> {{---}} ортогональность матрицы УНО по столбцам.

|proof=
Рассмотрим <tex>\{\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+\}_{i}^{j}=\sum\limits_{i=1}^{k} \{\mathcal{U}\}_{k}^{i} \cdot \{\mathcal{U}^+\}_{j}^{k} \ (*) \ (\mathcal{U}^+=\overline{\mathcal{U}}^T</tex> {{---}} так как базис ОРТН <tex>)</tex>

<tex>(*)=\sum\limits_{k=1}^{n} \nu_{k}^{i} \overline{\nu}_{j}^{k}=\delta^{ij}=\{E\}_{j}^{i}=\delta^{ij}</tex>

Для строк аналогично. 
}}

{{Определение
|definition=
Матрица, обладающая свойствами ортогональности по строкам и столбцам называется '''унитарной матрицей'''. <tex>(U^{-1}=U^+, \ U^{-1}=\overline{U}^T, \ U \cdot U^+=U^+ \cdot U=E)</tex>
}}

{{Определение
|definition=
Пусть  <tex>\mathcal{U}: E \rightarrow E \ (E - </tex> евклидово над <tex>\mathbb{R})</tex> и <tex>\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^+</tex>, тогда ло <tex>\mathcal{U}</tex> называют '''ортогональным'''
}}

{{Лемма
|statement=
В ОРТН базисе: <tex>U^{-1}=U^+=U^T</tex>
|proof=
}}

{{Определение
|definition=
В <tex>\mathbb{R} \ U^{-1}=U^T</tex> называют '''ортогональной матрицей'''.
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>\mathcal{U} -</tex> УНО, тогда <tex>\vert det \ \mathcal{U} \vert=1</tex>
|proof=
Рассмотрим ОРТН базис:  <tex>U \cdot U^+=U^+ \cdot U=E</tex>

<tex>det(U \cdot U^+)=detU \cdot detU^+=detU \cdot det \overline{U}^T=detU \cdot \overline{detU^T}= detU \cdot \overline{detU}=\vert detU \vert^2=det E=1 \Rightarrow \vert det \ \mathcal{U} \vert=1</tex>
}}

NB: Для ОРТН оператора: <tex>det \ \mathcal{U} \vert=1 \Rightarrow det \mathcal{U}= \pm 1</tex>

{{Лемма
|statement=
Все сз УНО по модулю равны 1 <tex>\Rightarrow</tex> лежат на единичной окружности <tex>\mathbb{C}</tex>
|proof=
Пусть св <tex>x \rightarrow</tex> сз <tex>\lambda</tex>

<tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle=\Vert x \Vert^2</tex>

<tex>\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle \lambda x;\lambda x \right \rangle= \lambda \cdot \overline{\lambda}\left \langle x;x \right \rangle = \vert \lambda \vert^2 \cdot \Vert x \Vert^2 \Rightarrow \vert \lambda \vert^2=1  \Rightarrow \vert \lambda \vert=1</tex> 
}}

NB: <tex>\sigma_{\mathcal{U}} = \{\lambda_1 = e^{i\phi_1}...\lambda_k = e^{i\phi_k}\}</tex>

{{Лемма
|statement=
Все св УНО отвечающие различным сз ортогональны.
|proof=
Пусть св <tex>x_1 \rightarrow</tex> сз <tex>\lambda_1</tex>, св <tex>x_2 \rightarrow</tex> сз <tex>\lambda_2</tex>, <tex>\lambda_1 \ne \lambda_2</tex>

<tex>\left \langle \mathcal{U}x_1;\mathcal{U}x_2 \right \rangle=\left \langle x_1;x_2 \right \rangle (1)</tex>

<tex>\left \langle \mathcal{U}x_1;\mathcal{U}x_2 \right \rangle=\left \langle \lambda x_1;\lambda x_2 \right \rangle= \lambda \cdot \overline{\lambda}\left \langle x_1;x_2 \right \rangle (2)</tex>

(1)-(2): <tex>0=(1-\lambda \cdot \overline{\lambda})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=(1-e^{i\phi_1} \cdot e^{\overline{i\phi_2}})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=(1-e^{i(\phi_1-\phi_2)})\left \langle x_1;x_2 \right \rangle \Rightarrow </tex>
<tex>\left \langle x_1;x_2 \right \rangle=0 \Rightarrow x_1 \bot x_2</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
УНО имеет скалярный тип. При этом из его собственных векторов может быть сконструирован ОРТН базис.
|proof=
}}

==Спектральная теорема==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\mathcal{P}_{\alpha_i}</tex> {{---}} проекторы на одномерное ИПП <tex>\leftrightarrow</tex> св <tex>x_i</tex>, тогда <tex>\mathcal{U}=\sum\limits_{j=1}^{n}e^{i\phi_j}\mathcal{P}_{\alpha_i}^{\bot}=\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_j\mathcal{P}_{\alpha_i}^{\bot}</tex>
|proof=
}}

{{Теорема
|statement=
Матрица любого эрмитова оператора может быть приведена к диагональной форме унитарным преобразованием. <tex>A \rightarrow \tilde{A}=U^{-1}AU</tex><br>

<tex>\{e_1..e_n\} - </tex> ОРТН базис, <tex>U=({e1}..(e_n))</tex>, <tex>\left \langle e_i;e_k \right \rangle=\delta_{ik} - </tex> ортогональность по столбцам.
|proof=
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>U(n)=\{</tex> все унитарные матрицы <tex>U_{n*n}\}</tex>. Тогда <tex>U(n) -</tex> группа относительно умножения матриц.
|proof=
}}