Просмотр исходного текста страницы Сортирующая сеть O(log N)

Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины <tex> O(\log N) </tex>, при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся при правильном соблюдении необходимой ассимптотики. Впоследствии Патерсон выяснил, что <tex> O(\log N) </tex> можно заменить на <tex> c\log_2 N </tex> с константой приблизительно равной <tex> 6100 </tex>. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает в себя меньшую константу <tex>c</tex>, а именно, будет доказано, что для любого целого числа <tex>N</tex>  такого,что <tex>N \ge 2^{78}</tex> существует сортирующая сеть на <tex>N</tex>  входов, такая, что  глубина в худшем случае будет <tex>1830 \log_2 N - 58657 </tex>.

Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на <tex>M</tex> входов, такие ,что <tex>M</tex> относительно мало. Мы назовем их <tex>M</tex>-сортировщиками.  Для любых выбранных положительных целых чисел <tex>M</tex> и <tex>N</tex>  таких что <tex> N \ge M</tex>, конструкция будет включать в себя <tex>N</tex> проводов, и будет сделана из <tex>M</tex>-сортировщиков, глубина которых в худшем случае <tex>(48 + о(1))\log_MN + 115</tex> при <tex>M \to \inf</tex>.
(Стоит отметить, что асимптотическое <tex>o(1)</tex> здесь относится к <tex>M</tex>, а не к <tex>N</tex>).

== Разделители ==

Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сети.

{{Определение
|definition=
'''Идеальным разделителем''' будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K  блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые <tex>a</tex> значений, сеть размещает первые <tex>a/k</tex> минимальные по величине  ключи в первый блок, следующие <tex>a/k</tex> по величине ключи – во второй, и т.д.
}}
Эти идеальные разделители могут быть использованы как модули для построения сортирующей сети на <tex>N</tex>  входов, где <tex>N  = k^d</tex> для некоторого положительного числа d. Такая сеть будет представлять собой композицию сетей <tex>N_0, N_1, N_2 .. N_{d-1}</tex>, где <tex>N_t</tex> – парраллельная композиция <tex>k^t</tex> идеальных разделителей одинакового размера.

== Конструкция сети ==

<tex>\alpha^*(t) = \frac{t\log \frac{1}{\nu} - \log N + \log(2A\nu k^3)}{\log A}</tex>

<tex>\omega^*(t) = \frac{t\log \frac{1}{\nu} + \log(A\nu k)}{\log Ak}</tex>

<tex>\alpha(t) \ge \alpha^*(t),\quad  \alpha(t)\equiv t\;  mod\;  2 </tex>


<tex>\omega(t) \ge \omega^*(t),\quad  \omega(t)\equiv t\;  mod\;  2 </tex>


<tex> O(\log N) </tex> 
<tex> c\log_2 N </tex>



<tex> \pi(\alpha(t),t) =
\begin{cases}
0,&\text{если $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$,}\\
\frac{\nu}{AK}c(a(t),t), &\text{если $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$.}
\end{cases}
</tex>



<tex> \pi(i,t) = \frac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(i,t),\qquad\quad  \text{если $\alpha(t) < i < \omega(t)$,}
</tex>



<tex> \pi(\omega(t),t) =
\begin{cases}
\frac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(\omega(t),t),&\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$,}\\
\alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t)$,}
\end{cases}
</tex>



<tex> \chi(\alpha(t),t) =
\begin{cases}
\frac{1}{k}c(\alpha(t),t),&\text{ $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$,}\\
\frac{Ak - \nu}{Ak^2}c(\alpha(t),t),&\text{если $\alpha(t + 1)<\alpha(t)$,}
\end{cases}
</tex>



<tex> \chi(i,t) = \frac{Ak - \nu}{Ak^2}c(i,t),\qquad\quad  \text{если $\alpha(t) < i < \omega(t)$,}
</tex>



<tex> \pi(\omega(t),t) =
\begin{cases}
\alpha(\omega(t + 1), t + 1)), &\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$,}\\
0,&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t)$,}
\end{cases}
</tex>

<tex>\pi(i, t)</tex>

<tex>\chi(i, t)</tex>

<tex>\alpha(t + 1) < \alpha(t)</tex>

<tex>c(\alpha(t), t) = (A/\nu)c(\alpha(t + 1), t + 1) \ge 2Ak^2/\nu</tex>

лемма 3.1 Если <tex>\alpha(i, t) \neq 0</tex> тогда


<tex> \sum\limits^d_{j=0} k^{j-i}a(j, t) =
\begin{cases}
Nk^{-i}, &\text{ $i = \alpha(t)$,}\\
Nk^{-i} - \frac{c(i,t)}{A^2k^2}, &\text{ $i > \alpha(t)$,}
\end{cases}
</tex>


<tex>\sum\limits^d_{j=0} k^ja(j, t) = N </tex>


<tex> i = \alpha(t) </tex>


<tex> a(j,t) =
\begin{cases}
0, &\text{ $j \not\equiv i\quad mod \quad 2$,}\\
c(j, t), &\text{ $j = \alpha(t)$,}\\
(1 - \frac{1}{A^2k^2})c(j, t) &\text{ $\alpha(t) < j < i, \quad j \equiv i \; mod \; 2$}
\end{cases}
</tex>


<tex> c(j, t) = c(i, t)A^{j-i}</tex> когда <tex>i\ge\alpha(t)+2</tex>


лемма 3.2 Если <tex>\alpha(t + 1) > \alpha(t) </tex> тогда <tex>\alpha(t) = 0</tex> или <tex>c(\alpha(t),t)\le Ak^2/\nu</tex>

<tex>\alpha(t+1) > \alpha(t) > 0</tex> 

<tex>\alpha(t) - 1 < \alpha^*(t + 1) </tex>

<tex>c(\alpha(t),t) < 2Ak^2/\nu</tex>

== Анализ сети ==

<tex>(\frac{1}{k} + \frac{\mu\delta kA^2}{1 - \delta^2k^2A^2})c(i,t)</tex>


<tex> \frac{1}{k}(Nk^{-i} - c(i,t)) </tex>


<tex> \sum\limits_{j\ge 1} k^{2j-1}\mu\delta^{2j-1}c(i+2j, t) </tex>


<tex> \sum\limits_{j\ge 1} (k\delta)^{2j-1}c(i+2j, t) = c(i,t)\sum\limits_{j\ge 1} (k\delta)^{2j-1}A^{2j} < c(i,t)\frac{\delta k A^2}{1-\delta^2k^2A^2} </tex>

<tex>\frac{1}{k}Nk^{-i}</tex>


лемма 4.2

<tex>(\mu + (k - 1)\frac{\mu\delta k A^2}{1 - \delta^2k^2A^2} + \frac{A\nu k - 2A\nu + 1}{2k^2A^2} + \varepsilon_B)c(i,t)</tex>


<tex>c=c(i, t), \quad a=a(i,t),\quad \pi=\pi(i,t), \quad \chi=\chi(i, t) </tex>


<tex>\Delta_1 = \frac{\mu\delta kA^2}{1-\delta^2k^2A^2}c</tex>


<tex>\Delta_2 = \frac{\nu}{1 - \delta^2k^2A^2}c</tex>


<tex> \Delta =
\begin{cases}
\Delta_1,&\text{ $i = \alpha(t) < \alpha(t+1)$,}\\
\Delta_2,&\text{ $i = \omega(t) < \omega(t+1)$,}\\
\Delta_1 + \Delta_2,&\text{если $\alpha(t) <i < \omega(t)  \quad ||\quad i = \alpha(t) > \alpha(t + 1), t \ge 2$,}
\end{cases}
</tex>


<tex>(k - 1)\Delta - \frac{1}{2}\pi \le (k - 1)\Delta_1 + \frac{A\nu k - 2A\nu + 1}{2A^2k^2}c </tex>


лемма 4.3 

<tex> \varepsilon^* \le \frac{\mu}{k},</tex>

<tex>(\mu + (k - 1)\frac{\mu\delta k A^2}{1 - \delta^2k^2A^2} + \frac{A\nu k - 2A\nu + 1}{2k^2A^2} + \varepsilon_B)\frac{1}{A\nu} + \mu\delta\frac{Ak}{\nu} \le \mu </tex>

Лемма 4.4

<tex>\mu \le \frac{\nu}{Ak^2}, </tex>


<tex>\mu\le\frac{1}{2}\delta_F\frac{A\nu k - 1}{A^2k^2},</tex>


<tex>\varepsilon_F\frac{1}{A\nu} + \delta^2\frac{Ak}{\nu} \le \delta </tex>

== Конструкция разделителей == 

== Анализ сепараторов ==

== Доказательство ==