Просмотр исходного текста страницы Пересечение всех максимальных по включению барьеров

{{Определение
|id = maximum_barrier
|neat = 1 
|definition = '''Максимальным по включению [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barrier | барьером ]] '''(англ.''maximum barrier'') называется барьер максимальной мощности.
}}


{{Теорема
|id = theorem_about_maximum_barriers
|statement = Пересечение всех максимальных по включению барьеров графа <tex>G</tex> равно <tex>A(G)</tex>.
|proof = <tex>\supset</tex>.<br> 
Пусть <tex>B</tex> {{---}} максимальный барьер, <tex>|A(G)\setminus B| = k > 0</tex>, <tex>B' = B \cup A(G)</tex>.<br>
Докажем, что <tex>B'</tex> {{---}} барьер и получим противоречие. Для этого достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \ge \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, ведь в таком случае <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ - |B'| \ge \mathrm{def}(G)</tex>. <br>
[[Файл: Max_barriers_a.png|170px|thumb|right|Рис.'''a''']]
[[Файл: Max_barriers_b.png|170px|thumb|right|Рис.'''b''']]
Пусть <tex>W</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - B</tex>, содержащая <tex>t > 0</tex> вершин из <tex>A(G)</tex> (см. рис. a). <br>
В силу [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct1| леммы о связи барьера]] с <tex>D(G)</tex>, <tex>B'\cap D(G) = \varnothing</tex>. Поэтому, <tex>W</tex> содержит все компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, соединённые рёбрами с <tex>W\cap A(G)</tex>. <br>
По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#theorem_Gallai_Edmonds| теореме Эдмондса-Галлаи]] все эти компоненты связности нечетные и их хотя бы <tex>t + 1</tex>. <br>
Таким образом, при добавлении <tex>t</tex> вершин из <tex>W\cap A(G)</tex> в барьер может исчезнуть одна нечётная компонента связности (если <tex>|W|</tex> нечётно), а появляется хотя бы <tex>t + 1</tex> нечётная компонента связности. <br>
Просуммировав прибавления по всем компонентам связности графа <tex>G - B</tex>, содержащим вершины из <tex>A(G)</tex>, мы получим, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \ge \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, что и требовалось доказать.<br>
<br>
<tex>\subset</tex>.<br>
Предположим противное, пусть существует вершина <tex>x\notin A(G)</tex>, принадлежащая всем максимальным барьерам. По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct3| теореме о структуре барьера]] <tex>x\in C(G)</tex>.<br>
Рассмотрим максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex>, пусть <tex>xy\in M</tex>.<br>
Докажем, что <tex>B = A(G)\cup \{ y \}</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>. Так как <tex>|B| = |A(G)| + 1</tex>, достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(B)\ \ge \mathrm{odd}(A(G))\ + 1</tex>.<br>
По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#theorem_Gallai_Edmonds| теореме Эдмондса-Галлаи]] <tex>y\in C(G)</tex>. Пусть <tex>W</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G(C(G))</tex>, содержащая <tex>x</tex> и <tex>y</tex> (см. рис. b). Вершины <tex>W</tex> разбиваются на пары соединённых рёбрами из <tex>M</tex>, поэтому <tex>|W|</tex> чётно.<br>
Множество <tex>W' = W\setminus \{ y \}</tex> содержит нечётное число вершин и является объединением нескольких компонент связности графа <tex> G - B</tex>, которых нет в <tex>G - A(G)</tex>. Среди этих компонент связности есть нечётная, значит <tex>B</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>.<br>
Пусть <tex>B'</tex> {{---}} максимальный барьер графа <tex>G</tex>, содержащий <tex>B</tex>.<br>
В максимальном паросочетании <tex>M</tex> графа <tex>G</tex> все вершины барьера <tex>B'</tex> должны быть соединены рёбрами с вершинами различных нечётных компонент связности графа <tex>G - B'</tex>, следовательно, <tex>x\notin B'</tex>.<br>
Полученное противоречие показывает, что пересечение всех максимальных барьеров графа <tex>G</tex> может содержать только вершины из <tex>A(G)</tex>. 
}}

==См. также==

*  [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи ]]
*  [[ Лапы и минимальные по включению барьеры в графе ]]
*  [[ Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях ]]
*  [[ Теорема Татта о существовании полного паросочетания ]]

== Источники информации ==
*  Карпов Д. В. {{---}} Теория графов, стр 54-55

[[ Категория: Алгоритмы и структуры данных ]]
[[ Категория: Задача о паросочетании ]]