Просмотр исходного текста страницы Выпуклая оболочка в n-мерном пространстве

{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
|+
|-align="center"
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
|-style="font-size: 16px;"
|
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

''Антивоенный комитет России''
|-style="font-size: 16px;"
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
|-style="font-size: 16px;"
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
|}

{{ptready}}
Рассмотрим трёхмерный случай. <tex>n</tex>-мерный сводится к трёхмерному.

==Суть алгоритма==
Выберем любые две точки <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>. Далее из оставшихся выберем точку <tex>p_3</tex>, которая не лежит на прямой, образованной точками <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>. После этого выберем точку <tex>p_4</tex>, которая не лежит на плоскости, образованной точками <tex>p_1, p_2</tex> и <tex>p_3</tex>. Если этого сделать не получилось, то запустим алгоритм для поиска выпуклой оболочки на плоскости.

Так мы получили тетраэдр <tex>p_1 p_2 p_3 p_4</tex>, который является выпуклой оболочкой этих четырёх точек. Сделаем random shuffle оставшихся точек <tex>p_5, ..., p_n</tex> и будем добавлять их по одной в выпуклую оболочку. Если <tex>p_i</tex> внутри или на границах выпуклой оболочки, то выпуклая оболочка не меняется на этом шаге. Иначе из имеющейся выпуклой оболочки надо удалить все видимые из данной точки грани и добавить новые — из точки до каждого ребра, образующего horizon (см. картинки; на них белые грани видны из точки <tex>p_r</tex>). После этого нужно смержить соседние грани, которые получились компланарными.

[[Файл:3dconvexhullhorizon.png]] [[Файл:3dconvexhulladd.png]]

==Детали реализации==
Будем хранить выпуклую оболочку в виде DCEL.

Для выяснения, какие грани видны из точки, будем хранить двудольный граф <tex>G</tex>, называемый conflict graph, в одной доле которого будут точки, которые ещё не добавлены в выпуклую оболочку, а в другой — имеющиеся на данный момент грани выпуклой оболочки. Ребро между точкой <tex>p</tex> и гранью <tex>f</tex> в этом графе означает, что из <tex>p</tex> видна <tex>f</tex>, то есть они находятся в конфликте (in conflict): они не могут сосуществовать в выпуклой оболочке.

Инициализация графа для тетраэдра тривиальна: для каждой точки определяем, какие грани видны из неё. Далее на каждом шаге после добавления точки <tex>p_r</tex> удалим из графа соответствующие удаляемым из выпуклой оболочки граням вершины и инцидентные им рёбра: просто удаляем все достижимые из <tex>p_r</tex> вершины. Также удалим вершину, соответствующую <tex>p_r</tex>. Далее добавляем новые грани выпуклой оболочки. Необходимо найти их конфликты. Сами грани представляют из себя треугольники, если, конечно, они не были смержены с уже имеющимися гранями. Во втором случае новая грань находится в конфликте с теми же точками, что и старая грань, т.к. смерженные грани компланарны.

[[Файл:3dconvexhullconflictlist.png|200px|thumb|left]]
Перейдём к первому случаю. Пусть мы добавили точку <tex>p_r</tex> и рассматриваем грань <tex>f</tex>. <tex>e</tex> — ребро, принадлежащее horizon, <tex>f_1, f_2</tex> — грани, пересечение которых образовывало <tex>e</tex> в старой оболочке. Пусть <tex>p_t</tex> — ещё не добавленная точка, из которой видно <tex>f</tex>, тогда из неё видно и ребро <tex>e</tex>, причём как в новой, так и в старой выпуклой оболочке (так как новая включает в себя старую). Но это возможно, только если из <tex>p_t</tex> видно <tex>f_1</tex> или <tex>f_2</tex>. Значит, точки, с которыми у <tex>f</tex> есть конфликт — это только какие-то из точек, у которых есть конфликт у <tex>f_1</tex> и <tex>f_2</tex>.

==Время работы==
{{Лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement=
Пусть <tex>P</tex> — выпуклый многогранник с <tex>n</tex> вершинами. Тогда число его рёбер не превосходит <tex>3n - 6</tex>, а число его граней — <tex>2n - 4</tex>.
|proof=
[[Файл:3dconvexhullprojection.png|300px|thumb|right|Верхняя грань куба спроецировалась на внешнюю грань графа]]
«Спроецируем» многогранник на плоскость, как на картинке (будем считать общеизвестным фактом, что выпуклый многогранник планарен). Получили планарный граф, по формуле Эйлера имеем <tex>n - n_e + n_f = 2</tex>, где <tex>n_e</tex> — число рёбер, <tex>n_f</tex> — число граней. Каждая грань нашего графа имеет по меньшей мере 3 ребра, каждое ребро инцидентно двум граням, поэтому имеем <tex>2 n_e \geqslant 3 n_f</tex> (если не удаётся это понять, можно представить двудольный граф, где слева грани, а справа рёбра. Из каждого ребра исходит ровно 2 вершины, а в каждую грань входит хотя бы 3). Тогда получаем <tex>n_f \leqslant 2n - 4</tex>, и, подставив это в формулу Эйлера, <tex>n_e \leqslant 3n - 6</tex>.
}}

{{Лемма
|id=lemma2
|about=2
|statement=
Ожидаемое число граней, создаваемое нашим алгоритмом, не превосходит <tex>6n - 20</tex>.
|proof=
Рассмотрим добавление точки <tex>p_r</tex>. Все грани, добавленные на этом шаге алгоритма, инцидентны этой точке, равно как и добавленные рёбра. Обозначим число инцидентных точке <tex>p_i</tex> рёбер (степень вершины; оно же число инцидентных точек) в выпуклой оболочке <tex>r</tex> точек как <tex>k_{i, r}</tex>.

По [[#lemma1|лемме 1]] у многогранника с <tex>r</tex> веришнами не больше <tex>3r - 6</tex> рёбер. Значит, сумма степеней вершин многогранника не больше <tex>6r - 12</tex>. Значит, средняя степень вершины равна <tex>6 - 12/r</tex>. Точки берутся в случайном порядке, поэтому можно считать, что ожидаемая степень вершины <tex>p_r</tex> равна <tex>6 - 12/r</tex>. Это рассуждение верно только для <tex>r > 4</tex>, так как первые четыре точки фиксированы, их суммарная степень равна <tex>12</tex>. Посчитаем математическое ожидание <tex>k_r</tex>:

<tex>E(k_{r, r}) = \frac{1}{r - 4} \sum_{i = 5}^{r} k_{i, r} \leqslant \frac{1}{r - 4} ( \sum_{i = 1}^{r} k_{i, r} - 12 ) \leqslant \frac{6r - 12 - 12}{r - 4} = 6</tex>.

Ожидаемое число граней — это число граней в начальном тетраэдре (4 — ваш К.О.) плюс ожидаемое общее число созданных граней при добавлении точек. Поэтому искомое число равно <tex>4 + \sum_{r = 5}^{n} E(k_{r, r}) \leqslant 4 + 6(n - 4) = 6n - 20</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
Время работы алгоритма — <tex>O(n \log n)</tex>.
|proof=
Шаги перед добавлением точек можно сделать за <tex>O(n \log n)</tex>. Очередной шаг требует константного времени, если <tex>m_r</tex> — число конфликтных граней для добавляемой точки — равно нулю (то есть когда точка внутри или на границах имеющейся выпуклой оболочки). Иначе этот шаг требует <tex>O(m_r)</tex> времени плюс время на удаление видимых рёбер (удалить ребро можно не больше одного раза, поэтому можно считать, что этот шаг лишь изменит константу во времени создания новых рёбер) и изменение графа конфликтов.

Заметим, что <tex>m_r</tex> — число граней, удалённых на очередном шаге алгоритма, поэтому по [[#lemma2|лемме 2]] <tex>E(\sum_{r = 5}^{n} m_r) = O(n)</tex>.

При изменении графа конфликтов на шаге <tex>r</tex> требуется время, равное сумме числа конфликтных точек для смежных граней каждого ребра на horizon. Это меньше либо равно числу всех конфликтных точек для всех граней. Утверждается, что оно равно <tex>O(n \log n)</tex>, и это надо как-то доказать (в де Берге есть, надо разобраться и дополнить), и тогда теорема доказана.
}}