Просмотр исходного текста страницы Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах

__TOC__

== Производная Фреше ==

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{---}}шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}} '''дифференцируема''' в точке <tex>x</tex>, если существует зависящий от <tex> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, такой, что если <tex>\left \| \Delta x \right \| < r (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>, то:

<tex> \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| </tex>, 
причем <tex> \alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>

Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> {{---}} '''производная Фреше''' отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

При <tex> X = Y = \mathcal{R} </tex> получаем определение дифференциала и производной функции одной переменной.

Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :
{{Теорема
|statement=
Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.

Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
|proof=
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы.
{{TODO|t=Вот и неплохо бы скопировать его сюда.}}
}}

Из дифференцируемости следует непрерывность :

<tex>\left|| \mathcal{F}'(x)\Delta x |\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left|| \Delta x |\right|</tex>.

Исходя из неравенства треугольника и определения производной,

<tex> \| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) \| = \| \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \| \Delta x \|\| \le \| \mathcal{F}'(x) \| \|\Delta x \| + \| \alpha(\Delta x)\| \|\Delta x\|</tex>

Правая часть этого выражения стремится к нулю при <tex> \Delta x \rightarrow 0 </tex>, следовательно, <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}} непрерывна в точке <tex> x </tex>.

Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A_{ij}</tex>

По условию <tex>\mathcal{F}(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}(\overline{x}) = \mathcal{F}'(\overline{x})\Delta\overline{x} + \alpha(\Delta\overline{x})\left||\Delta\overline{x}|\right|</tex>

<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n), \quad \mathcal{F}_i(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}A_{ij} \Delta x_j + \alpha_i(\Delta\overline{x})\left||\Delta\overline{x}|\right|</tex>

<tex> \Delta x = h \cdot e_j = (0, 0,..,h,..,0), \quad \forall h \in \mathbb{R}</tex>

<tex>\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = A_{ij}h + \alpha_i(h\overline{e_j})|h|</tex>

<tex dpi = "140">\frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = A_{ij} + \alpha_i(h e_j) \frac{|h|}{h}</tex>

У дроби справа будет предел, т.к <tex>\alpha_i(h e_j) \to 0</tex> при <tex>h \to 0</tex> и <tex>\left| \frac{|h|}{h} \right | \le 1</tex>

<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h}</tex>

{{Определение
|definition=
Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.

<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex>
}}

{{Определение
|definition=
Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> {{---}} '''матрица Якоби''' отображения <tex>\mathcal{F} \quad</tex> . 
<tex dpi = "140">
A = (\mathcal{F}'(x)) = 
\begin{pmatrix}
\frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial x_1} & \frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial x_2} &\ldots&\frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial x_n}\\
\frac{\partial \mathcal{F}_2}{\partial x_1} & \frac{\partial \mathcal{F}_2}{\partial x_2} &\ldots&\frac{\partial \mathcal{F}_2}{\partial x_n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\partial \mathcal{F}_m}{\partial x_1} & \frac{\partial \mathcal{F}_m}{\partial x_1} &\ldots&\frac{\partial \mathcal{F}_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}
</tex>
}}
{{Определение
|definition=
При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы {{---}} '''якобиан'''.
}}
Пример :
<tex>
\mathcal{F} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \quad
\mathcal{F} = 
\left\{
\begin{aligned}
y_1 &= x_1 + x_2 \\
y_2 &= x_1x_2 \\
y_3 &= x_1 - x_2
\end{aligned}
\right.
</tex>

<tex>
\mathcal{F}' = 
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
x_2 & x_1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
</tex>

== Дифференциирование композиции функций ==
Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость <tex>\mathcal{F}</tex>. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай {{---}} дифференцирование композиций.

Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> {{---}}функция <tex>n</tex> переменных, <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n) </tex>.

Пусть также <tex>x_j = \varphi_j(t), \quad t \in \mathbb{R}</tex>.

<tex>y = g(t) = f(\varphi_1(t), \varphi_2(t),...,\varphi_n(t))</tex>

Пусть существует <tex>f'(\overline{x}), \quad \varphi_j'(t)</tex>

<tex dpi = "140"> (f'(\overline{x})) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})</tex>

<tex>
(\overline{\varphi}(t)) =
\begin{pmatrix}
\varphi_1(t) \\
\varphi_2(t) \\
\dots \\
\varphi_n(t)
\end{pmatrix}
</tex>

<tex>
(\overline{\varphi'}(t)) =
\begin{pmatrix}
\varphi_{1}'(t) \\
\varphi_{2}'(t) \\
\dots \\
\varphi_{n}'(t) \\
\end{pmatrix}
</tex>

<tex>(\mathcal{BA}) = (\mathcal{B})(\mathcal{A})</tex>, поэтому:

<tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>.


Теперь, пусть <tex>V</tex> {{---}} шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\forall x \in V \quad f(x)</tex> {{---}} дифференцируема. 

Так как шар {{---}} выпуклое множество, то для <tex>\overline{a}, \overline{b} \in V</tex> выполняется <tex> \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V</tex>;

<tex>g(t) = f(t\overline{a}+(1-t)\overline{b}), 
\quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})</tex>

<tex>\varphi_j(t) = ta_j + (1-t)b_j, \quad \varphi'_{j}(t) = a_j - b_j</tex>

<tex>g</tex> {{---}}непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит, к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Theta), \quad \Theta \in [0,1]</tex>

Заменяя <tex>g</tex> и <tex>g'</tex> по найденным формулам, получаем :

<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>

=== Обобщение формулы Лагранжа конечных приращений ===

пусть <tex>f</tex> {{---}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда <tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta \in (0,1)</tex>

Для <tex>\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m > 1</tex> {{---}}формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать <tex>\Theta</tex>, обслуживающее все координатные функции сразу.

<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n)</tex>

<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b} = \mathcal{F}'_i(\Theta_i\overline{a}+(1-\Theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>.

Для разных <tex>i</tex> {{---}}разные <tex>\Theta_i</tex>. Впрочем, для отдельных координат формулу писать все равно можно. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.

{{Теорема
|author=
Неравенство Лагранжа
|statement=
Пусть <tex>V</tex> {{---}} шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad \mathcal{F}</tex> {{---}}дифференцируема в каждой точке шара, тогда:<br>

<tex>\forall  \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| </tex>
|proof=
По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad ||\varphi|| = 1</tex>

<tex> \varphi' = \varphi </tex>

<tex>g(t) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a})), \quad t \in [0, 1]</tex>

Так как шар {{---}} выпуклый, то всё корректно определено. 

Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Theta), \quad \Theta \in (0,1)</tex>

По построению, <tex>g(1) - g(0) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex>

Тогда <tex>\left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \right|\right| = g'(\Theta)</tex>

По правилу дифференцирования сложной функции, <tex>g'(t) = \varphi'\mathcal{F}'(\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}))(\overline{b}-\overline{a})</tex>

<tex>||g'(t)||  \le ||\varphi'||\cdot ||\mathcal{F}'(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))||\cdot ||\overline{b} - \overline{a}|| \le 1 \cdot M \cdot ||\overline{b}-\overline{a}||</tex>

Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: <tex>g(1) - g(0) = g'(\Theta)</tex>, приходим к неравенству Лагранжа.
}}
== Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных ==

Базируясь на соотношениях конечных приращений, установим достаточное условие для дифференцируемости функций многих переменных.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <tex>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <tex>y : V \to \mathbb{R}</tex>

<tex>\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex>n</tex> переменных, непрерывна в <tex>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x}) 
= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>.

Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.

|proof=
Рассмотрим <tex>\overline{a}, \quad \overline{a} + \Delta\overline{a} \in V(\overline{a})</tex>

<tex>\overline{x}(t) = \overline{a} + \Delta\overline{a}t, \quad t \in [0, 1], \quad \overline{x}(t) \in V</tex>

Для этого отрезка применим формулу Лагранжа конечных приращений, доказанную ранее :

<tex dpi = "140">f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta \Delta\overline{a}) \Delta a_j, \ \Theta \in (0,1) </tex>

<tex dpi = "140">\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta \Delta\overline{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \alpha_j(\Delta\overline{a})</tex>, все <tex>\alpha_j(\overline a) \to 0</tex> при <tex>\Delta\overline{a} \to 0</tex> - из непрерывности <tex> f' </tex>

<tex>f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j</tex>

Нужно доказать, что вторая сумма {{---}} <tex>o(\Delta a)</tex>, ибо первая сумма и есть формально записанный дифференциал. По неравенству Коши для сумм :

<tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta\overline{a})\cdot\Delta a_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j^2(\Delta \overline{a})}||\Delta \overline{a}_j||</tex>

Выражение под корнем стремится к нулю, таким образом, получаем требуемое.
}}

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]