Просмотр исходного текста страницы Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн

Дано [[Дерево, эквивалентные определения | дерево]] <tex> G </tex> и набор запросов: пары вершин <tex>\langle v, u \rangle </tex>. Для каждой пары нужно найти наименьшего общего предка. Считаем, что все запросы известны заранее, поэтому будем решать задачу оффлайн.
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> запросов за время <tex>O (n + m)</tex>, то есть при достаточно большом <tex>m</tex> за <tex>O (1)</tex> на запрос.
== Алгоритм ==
Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из неё.
Ответ на каждый запрос мы найдём в течение поиска в глубину. Ответ для вершин <tex>v</tex> и <tex>u</tex> находится, когда мы уже посетили вершину <tex>u</tex>, а также посетили всех сыновей вершины <tex>v</tex> и собираемся выйти из неё.

Зафиксируем момент: мы собираемся выйти из вершины <tex>v</tex> (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары <tex>\langle v</tex>, <tex>u \rangle</tex>.
Тогда заметим, что ответ {{---}} это либо вершина <tex>u</tex>, либо какой-то её предок. Значит, нам нужно найти предка вершины <tex>v</tex>, который является предком вершины <tex>u</tex> с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном <tex>v</tex> каждый из предков вершины <tex>v</tex> порождает некоторый класс вершин <tex>u</tex>, для которых он является ответом, в этом классе содержатся все вершины, которые находятся "слева" от этого предка.

На рисунке непосещённые вершины раскрашены в белый цвет, а посещённые разбиты на классы, каждому из которых соответствует свой цвет.

[[file:mytree.png|500px|разные цвета {{---}} разные классы, а белые вершины ещё не просмотренные в dfs]]

Классы этих вершин не пересекаются, а значит, мы можем их эффективно обрабатывать с помощью [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], которую будем хранить в массиве <tex>dsu</tex>.

Будем поддерживать также массив <tex>lcaClass[1 \dots n]</tex>, где <tex> lcaClass[w] </tex> {{---}} наименьший общий предок всех вершин, которые лежат в том же классе, что и <tex> w </tex>. Обновление массива <tex> lcaClass </tex> для каждого элемента будет неэффективно. Поэтому зафиксируем в каждом классе какого-то представителя. Функция <tex> \mathrm{find}(w) </tex> вернёт представителя класса, в котором находится вершина <tex> w </tex>. Тогда наименьшим общим предком всех вершин из класса <tex> w </tex> будет вершина <tex> lcaClass[\mathrm{find}(w)] </tex>.

Обновление массива <tex> lcaClass </tex> будем производить следующим образом:
* когда мы приходим в новую вершину <tex>v</tex>, мы должны добавить её в новый класс {{---}} <tex>lcaClass[v] = v</tex>
* когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка <tex> u </tex> у вершины <tex> v </tex>, мы должны объединить поддерево ребёнка с классом вершины <tex> v </tex> (<tex>\mathrm{union}(v, u, v)</tex> {{---}} объединить классы вершин <tex> v </tex> и <tex> u </tex>, а наименьшим общим предком представителя нового класса сделать вершину <tex> v </tex>). Система непересекающихся множеств сама определит представителя в зависимости от используемой нами эвристики. Нам надо лишь правильно установить значение массива <tex> lcaClass </tex> у нового представителя.

После того как мы обработали всех детей вершины <tex>v</tex>, мы можем ответить на все запросы вида <tex>\langle v, u \rangle </tex>, где <tex>u</tex> {{---}} уже посещённая вершина.
Нетрудно заметить, что <tex>lca(v, u) = lcaClass[\mathrm{find}(u)]</tex>. Для каждого запроса это условие (что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.

=== Реализация ===

 '''bool''' visited[n]  
 
 '''function''' union(x : '''int''', y : '''int''', newAncestor : '''int'''):
     leader = dsuUnion(x, y)        <font color=green> // объединяем классы вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex> и получаем нового представителя класса </font>
     lcaClass[leader] = newAncestor <font color=green> // устанавливаем нового предка представителю множества </font>
       
 <font color=green>// можно запустить от любой вершины дерева в самый первый раз</font>  
 '''function''' dfs(v : '''int'''):
     visited[v] = ''true''
     lcaClass[v] = v                     
     '''foreach''' u : (v, u) '''in''' G
         '''if''' '''not''' visited[u]                  
             dfs(u)
             union(v, u, v)
     '''for''' (u : <tex>\langle v, u \rangle </tex> {{---}} есть такой запрос)
         '''if''' visited[u]
             запомнить, что ответ для запроса <tex>\langle v, u \rangle </tex> = lcaClass[find[u]]

== Корректность ==

Случай, когда <tex> u </tex> является наименьшим общим предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, обработается правильно, потому что по алгоритму в этот момент <tex> lcaClass[\mathrm{find}(u)] = u </tex>.

Пусть теперь наименьшим общим предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> будет вершина, отличная от этих двух. Во время обработки запроса алгоритм точно вернёт общего предка этих двух вершин, так как он будет предком одной из вершин по массиву <tex> lcaClass </tex>, а предком другой из-за обхода в глубину. 

Покажем, что найдём наименьшего предка. Пусть это не так. Тогда существует какая-то вершина <tex> w </tex>, которая тоже является предком вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, и из которой мы вышли раньше во время обхода в глубину. Но тогда ситуация, что одна из вершин посещена, а у другой рассмотрены все дети, должна была выполниться раньше, и в качестве ответа должна была вернуться вершина <tex> w </tex>.

'''Замечание:''' для корректности алгоритма достаточно было бы одного массива <tex> dsu </tex>, а представителем класса всегда выбирать наименьшего общего предка вершин класса. Это несложно сделать, так как мы всегда объединяем ребёнка со своим родителем. Но в таком случае алгоритм получился бы менее эффективным, потому что одна только эвристика сжатия путей работает недостаточно быстро.

== Оценка сложности ==
Она состоит из нескольких частей.

*Обход в глубину выполняется за <tex>O(n)</tex>.
*Операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных <tex>n</tex> работают <tex>O (n)</tex> времени. Каждый запрос <tex>\langle v, u \rangle </tex> будет рассмотрен дважды {{---}} при посещении вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, но обработан лишь один раз, поэтому можно считать, что все запросы обработаются суммарно за <tex>O (m)</tex>.
*Для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных <tex>n</tex> выполняется за <tex>O (1)</tex>. 

Следовательно, итоговая асимптотика {{---}} <tex>O (n + m)</tex>, что при достаточно больших <tex>m</tex> составляет <tex>O (1)</tex> на один запрос.

==См. также==
* [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]
* [[Heavy-light декомпозиция]]

== Источники информации ==
* [http://e-maxx.ru/algo/lca_linear_offline MAXimal :: algo :: Наименьший общий предок. Нахождение за O(1) в оффлайн (алгоритм Тарьяна) ]
* [http://habrahabr.ru/post/104772 Habrahabr {{---}} Система непересекающихся множеств и её применения]


[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]