Просмотр исходного текста страницы Алгоритм Эрли, доказательство оценки O(n^2) для однозначной грамматики

==Алгоритм==
Для начала модифицируем [[Алгоритм Эрли|алгоритм Эрли]]. Главным отличием от базовой версии алгоритма является функция <tex>\mathtt{rulesLoop}</tex>, внутри которой мы, как и в базовой версии, просматриваем второе и третье правило, однако, в отличие от базовой версии, где при каждом изменении <tex>D_j</tex> мы просматривали весь список <tex>D_j</tex> и применяли к нему второе и третье правило, в модифицированной версии мы применяем правила внутри <tex>\mathtt{rulesLoop}</tex>, просматривая только те ситуации, которые были добавлены на предыдущей итерации цикла <tex>\mathtt{while}</tex>.

Будем рассматривать грамматику [[Удаление eps-правил из грамматики|без &epsilon;-правил]] и [[Удаление бесполезных символов из грамматики|бесполезных символов]].

 '''function''' <tex>\mathtt{earleyMod}(G, w)</tex>:
    <font color=green>// Инициализация </font>
    <tex> D_{0} = \lbrace [S' \rightarrow \cdot S, 0] \rbrace </tex>
    rulesLoop(0)
    '''for''' j = 1 .. n
        '''for''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot a_{j} \beta, i] \in D_{j-1}</tex>
            <tex>D_j</tex> <tex> \cup</tex> = <tex>[A \rightarrow \alpha a_{j} \cdot \beta, i]</tex>  <font color=green>// Первое правило </font>
        rulesLoop(j) 

 '''function''' <tex>\mathtt{rulesLoop(j)}</tex>:
     <tex>D_j'' = D_j</tex>
     '''while''' <tex>D_j'' \ne \varnothing</tex>
         <tex>D_j' = D_j''</tex>
         <tex>D_j'' = \varnothing</tex>
         '''for''' <tex>[B \rightarrow \eta \cdot , i] \in D_j'</tex>             <font color=green>// Цикл (*) </font>
             '''for''' <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, k] \in D_{i}</tex>
                 <tex>D_j''</tex> <tex> \cup</tex> = <tex>[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, k]  </tex> <font color=green>// Второе правило </font>
             
         '''for''' <tex>[B \rightarrow \alpha \cdot A \eta, k] \in D_j'</tex>        <font color=green>// Цикл (**) </font>
             '''for''' <tex>\beta : (A \rightarrow \beta) \in P</tex>
                 <tex>D_j''</tex> <tex> \cup</tex> = <tex>[A \rightarrow \cdot \beta, j]</tex>     <font color=green>// Третье правило </font>
         <tex>D_j</tex> <tex> \cup</tex> = <tex>D_j''</tex>

== Доказательство эквивалентности ==

В циклах, помеченных <tex>(*)</tex> и <tex>(**)</tex>, просматривается не весь список <tex>D_j</tex>, а только те ситуации, которые были добавлены на предыдущей итерации цикла <tex>\mathrm{while}</tex>. Данная модификация является корректной.
# Рассмотрим цикл <tex>(*)</tex>. Если в текущей ситуации <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, i]</tex> этого цикла <tex>i \ne j</tex>, то во внутреннем цикле просматривается список с меньшим индексом, в который новые ситуации больше не добавляются. Поэтому после первого просмотра этого списка будут добавлены все ситуации, удовлетворяющие условию, и больше ситуацию <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, i]</tex> в цикле <tex>(*)</tex> рассматривать не нужно. Если же <tex>i = j</tex>, то <tex>\eta \Rightarrow^* \varepsilon</tex>, что возможно, только если <tex>B = S', \eta = \varepsilon</tex>. Тогда во внутреннем цикле не будет добавлено ни одной ситуации, так как <tex>S'</tex> не встречается в правых частях правил.
# Теперь рассмотрим цикл <tex>(**)</tex>. Так как для каждой ситуации <tex>[B \rightarrow \alpha \cdot A \eta, k]</tex> в список добавляется новая ситуация, соответствующая правилу из грамматики, а грамматика фиксирована, то после первого просмотра будут добавлены все возможные ситуации для <tex>[B \rightarrow \alpha \cdot A \eta, k]</tex>.
Таким образом, во все списки будут добавлены ситуации, которые были бы добавлены в ходе обычного алгоритма. Очевидно, что лишних ситуаций добавлено не будет, так как в циклах <tex>(*)</tex> и <tex>(**)</tex> просматривается подмножество полного списка. Значит этот алгоритм эквивалентен оригинальному.

==Время работы для однозначной грамматики==
{{Лемма
|about=1
|statement=
<tex>\forall\,j: 1 \leqslant j \leqslant n</tex> в списке <tex>D_j</tex> находится <tex>O(j)</tex> ситуаций.
|proof=
Так как грамматика фиксирована, то <tex>\forall i</tex> количество ситуаций вида <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> не больше некоторой константы. Таким образом, поскольку в <tex>D_j</tex> находятся ситуации, у которых <tex>0 \leqslant i \leqslant j</tex>, всего в <tex>D_j</tex> будет <tex>O(j)</tex> ситуаций.
}}


{{Лемма
|about=2
|statement=
Пусть <tex>\Gamma = (N, \Sigma, P, S)</tex> {{---}} однозначная КС-грамматика без непорождающих нетерминалов и <tex>a_1 \dots a_n</tex> {{---}} цепочка из <tex>\Sigma^*</tex>. Тогда алгоритм Эрли пытается включить <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> в <tex>D_j</tex> не более одного раза, если <tex>\alpha \ne \varepsilon</tex>.
|proof=
Ситуацию <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> можно включить в <tex>D_j</tex> только по правилам <tex>(1)</tex> (если последний символ <tex>\alpha</tex> — терминал) и <tex>(2)</tex> (если нетерминал). В первом случае результат очевиден. Во втором случае допустим, что <tex>[A \rightarrow \alpha'B \cdot \beta, i]</tex> включается в <tex>D_j</tex>, когда рассматриваются две ситуации <tex>[B \rightarrow \eta_1 \cdot, k_1]</tex> и <tex>[B \rightarrow \eta_2 \cdot, k_2]</tex> (они различны, так как в цикле <tex>(*)</tex> каждая ситуация из каждого списка рассматривается по одному разу). Тогда ситуация <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B\beta, i]</tex> должна оказаться одновременно в <tex>D_{k_1}</tex> и в <tex>D_{k_2}</tex>. Таким образом, получаем:
* <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{i+1} \ldots a_{k_1}</tex> и <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{i+1} \ldots a_{k_2}</tex>;
* <tex>\eta_1 \Rightarrow^* a_{k_1+1} \ldots a_j</tex> и <tex>\eta_2 \Rightarrow^* a_{k_2+1} \ldots a_j</tex>.
Следовательно, <tex>\alpha' \eta_1 \Rightarrow^* a_{i+1} \ldots a_j</tex> и <tex>\alpha' \eta_2 \Rightarrow^* a_{i+1} \ldots a_j</tex>.<br/>
Заметим, что <tex>S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow^* a_1 \ldots a_i A \delta \Rightarrow a_1 \ldots a_i \alpha' B \beta \delta</tex>. Предположим, что <tex>\beta \delta \Rightarrow^* w'</tex> (ведь в грамматике нет непорождающих нетерминалов). Тогда <tex>S \Rightarrow^* a_1 \ldots a_i \alpha' \eta_1 w'</tex> и аналогично <tex>S \Rightarrow^* a_1 \ldots a_i \alpha' \eta_2 w'</tex>.<br/>
Таким образом, если <tex>k_1 \ne k_2</tex>, то подстрока <tex>a_{i+1} \ldots a_j</tex> выводится двумя различными способами из <tex>\alpha' \eta_1</tex> и <tex>\alpha' \eta_2</tex> (поскольку в первом случае <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{i+1} \ldots a_{k_1}</tex>, а во втором <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{i+1} \ldots a_{k_2}</tex>), то есть у строки <tex>a_1 \ldots a_jw'</tex> есть два различных вывода, что противоречит однозначности грамматики. Если же <tex>k_1 = k_2</tex>, то <tex>\eta_1 \ne \eta_2</tex>, что приводит к аналогичному противоречию. 

Суммируя выше сказанное, отметим, что противоречие получается из того факта, что в некоторый момент времени (то есть для подстроки <tex>a_1 \dots a_i</tex>) мы получаем два различных дерева вывода. Поэтому, в дальнейшем, при выводе суффикса <tex>a_{i+1} \dots a_n</tex>, каким образом мы его не получим, деревьев вывода будет как минимум два, поскольку они будут получаться заменой какого-то листа (терминального символа) на какое-то правило (поддерево из нетерминалов и терминалов),таким образом, получаем противоречие с однозначностью (по определению [[Существенно_неоднозначные_языки | неоднозачной грамматики]])
}}


{{Теорема
|statement=
Если входная грамматика однозначна, то время выполнения алгоритма Эрли для слова длины <tex>n</tex> составляет <tex>O(n^2)</tex>.
|proof=
Орагнизуем каждый список разбора <tex>D_j</tex> таким образом, чтобы по любому символу <tex>x \in \Sigma \cup N</tex>, можно было за <tex>O(1)</tex> получить список тех и только тех ситуаций, содержащихся в <tex>D_j</tex>, которые имеют вид <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot x \beta, j]</tex>.

Время построения <tex>D_0</tex> не зависит от входной строки.

Рассмотрим <tex>D_j, \, j > 0</tex>.
# При включении ситуаций по правилу <tex>(1)</tex> необходимо лишь просмотреть предыдущий список и для каждого его элемента выполнить константное число операций.
# Рассмотрим правило <tex>(2)</tex>. Можно считать, что внутри цикла <tex>(*)</tex> рассматриваются те и только те ситуации, которые удовлетворяют условию (так как список таких ситуаций можно по нетерминалу получить за <tex>O(1)</tex> следующим образом: каждый раз, когда мы добавляем ситацаию вида <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i]</tex> в <tex>D_j</tex>, мы просмотрим в заранее заготовленном массиве для  <tex>D_j</tex>, есть ли в <tex>D_j</tex> ситуации вида <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, j]</tex>. Если да, то добавим <tex>[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta, i]</tex> в <tex>D_j</tex>.). Тогда каждая такая ситуация будет добавлена в список и, исходя из леммы 2, попытка добавления будет единственной. А так как по лемме 1 всего в списке <tex>D_j</tex> находится <tex>O(j)</tex> ситуаций, то суммарно за все итерации внешнего цикла while внутри цикла <tex>(*)</tex> будет рассмотрено <tex>O(j)</tex> ситуаций.
# Так как грамматика фиксирована, то при применении правила <tex>(3)</tex> при рассмотрении любой ситуации количество включаемых ситуаций не превосходит некоторой константы, поэтому для каждой рассмотренной ситуации будет выполнено <tex>O(1)</tex> операций.
Таким образом, на построение списка <tex>D_j</tex> будет потрачено <tex>O(j)</tex> операций. Тогда время работы алгоритма составляет <tex>O(n^2)</tex>.
}}

== См. также ==
* [[Алгоритм_Эрли | Алгоритм Эрли]]
* [[Алгоритм_Кока-Янгера-Касами_разбора_грамматики_в_НФХ | Алгоритм Кока-Янгера-Касами разбора грамматики в НФХ ]]

== Источники информации==
*А. Ахо, Дж. Ульман. Теория синтакcического анализа, перевода и компиляции. Том 1. Синтакcический анализ. Издательство "Мир", Москва, 1978г., стр. 364-366

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: Алгоритмы разбора]]