Просмотр исходного текста страницы Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива

Далее будут рассмотрены некоторые способы нахождения всех вхождений образца в текст с помощью [[суффиксный массив|суффиксного массива]].

== Наивный алгоритм поиска ==

Простейший способ узнать, встречается ли образец в тексте, используя суффиксный массив, {{---}} взять первый символ образца и [[Целочисленный двоичный поиск|бинарным поиском]] по [[суффиксный массив|суффиксному массиву]] найти диапазон с суффиксами, начинающимися на такую же букву. Так как все элементы в полученном диапазоне отсортированы, а первые символы одинаковые, то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы. А значит, можно повторять процедуру сужения диапазона поиска уже по второму, затем третьему и так далее символу образца до получения либо пустого диапазона, либо успешного нахождения всех символов образца. 

Бинарный поиск работает за время равное <tex> O(\log|s|) </tex>, а сравнение суффикса с образцом не может превышать длины образца. 

Таким образом время работы алгоритмы <tex> O(|p|\log|s|)</tex>, где <tex> s </tex> {{---}} текст, <tex> p </tex> {{---}} образец.

=== Псевдокод ===

'''Поиск диапазона ''' 

<tex> \mathtt {cmp (k)}</tex> {{---}}  функция, сравнивающая строки по <tex>k</tex>-тому символу.

<tex> \mathtt {lower}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp)}</tex>, <tex> \mathtt {upper}</tex>_<tex>\mathtt {bound (left, right, value, cmp)}</tex> {{---}} функции бинарного поиска.

Элементы строк нумеруются с единицы
 
 '''function''' elementary_search(p: '''String''', s: '''String'''): 
     left = 0                                         <font color=darkgreen> // left, right {{---}} границы диапазона </font>
     right = n                                        <font color=darkgreen> //  n {{---}}  длина образца </font>
     '''for''' i = 1 '''to''' n 
         left = lower_bound(left, right, p[i], cmp (i) )
         right = upper_bound(left, right, p[i], cmp (i) )
     '''if''' (right - left > 0)   
         print left                   
         print right                 
     '''else'''
         print "No matches"

== Более быстрый поиск ==

Существует более быстрый алгоритм поиска образца в строке. Для этого используется <tex>\mathtt {lcp} </tex> ([[Суффиксный массив#Применения|longest common prefix]]).

=== Условные обозначения === 

* <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> и <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} левая и правая границы диапазона ответов в суффиксном массиве <tex> array </tex>,
* <tex> L </tex> {{---}} левая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex>0</tex>),
* <tex> R </tex> {{---}} правая граница текущего диапазона поиска (изначально равна <tex> |S| - 1 </tex>),
* <tex> M = (L + R) / 2 </tex> {{---}} середина текущего диапазона поиска,
* <tex> l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и левого края текущего диапазона поиска,
* <tex> r = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[R], p)} </tex> {{---}} длина общего префикса образца и правого края текущего диапазона поиска,
* <tex> m_l = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[L], array[M])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и левого края текущего диапазона поиска,
* <tex> m_r = </tex> <tex>\mathtt {lcp(array[M], array[R])} </tex> {{---}} длина общего префикса середины текущего диапазона и правого края текущего диапазона поиска.

=== Алгоритм ===

Если диапазон ответов не пустой, то у любого суффикса в пределах диапазона ответов есть префикс, который полностью совпадает с образцом.
 
В самом начале просто посчитаем <tex> l</tex> и <tex> r </tex> за линейное время с помощью [[Алгоритм Касаи и др.|алгоритма Касаи, Арикавы, Аримуры, Ли и Парка]], а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить за <tex> O(1) </tex>.

Подсчет <tex> m_l </tex> и <tex> m_r </tex> можно производить за <tex> O(1) </tex>, если применять [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет хотя бы <tex> m_l </tex> совпадений в префиксах. Аналогично любая пара суффиксов <tex> array </tex> из диапазона <tex> [M, R] </tex> имеет хотя бы <tex> m_r </tex> совпадений в префиксах.

=== Поиск границ диапазона ответов ===

Рассмотрим поиск левой границы диапазона ответов <tex>\mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex>.

Сразу проверим образец с суффиксами по краям исходного диапазона поиска <tex> L </tex> и <tex> R </tex>: если образец лексикографически больше последнего суффикса <tex> array </tex> или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе и поиск можно прекратить.

<tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> ищется при помощи бинарного поиска по суффиксному массиву <tex> array </tex>. На каждом шаге поиска нам надо определять, на каком отрезке <tex> [L, M] </tex> или <tex> [M, R] </tex> надо продолжать поиск границы <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left}</tex> . Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать <tex> l </tex> и <tex> r </tex>. Если <tex> l \geqslant r </tex>, то возможно одно из трех:

# <tex> m_l > l  </tex>. Это означает, что каждая пара суффиксов из диапазона <tex> [L, M] </tex> имеет между собой больше совпадений, чем суффикс с левого края с образцом, поэтому продолжим поиск в диапазоне <tex> [M, R] </tex>. Значение <tex> l </tex> при этом не меняется, а <tex> L = M </tex>. 
# <tex> m_l = l </tex>. Это означает, что у каждого суффикса из <tex> [L, M] </tex> есть хотя бы <tex> l </tex> совпадений с образцом. Проверим суффикс в позиции <tex> M </tex>, так как с ним совпадений у образца может получиться больше. Начнем сравнивать суффикс в позиции <tex> M </tex> начиная с <tex> l </tex>-ого символа. Мы либо найдем полное вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге <tex> k </tex> получим несоответствие. В первом случае <tex> R = M </tex> и <tex> r = |p| </tex>, так как мы ищем левую границу диапазона ответов. Во втором случае все зависит от лексикографического несовпадения. Если символ <tex> l + k + 1 </tex> у образца меньше, чем у суффикса, то <tex> R = M </tex> и <tex> r = l + k + 1</tex>, иначе <tex> L = M </tex> и <tex> l = l + k + 1</tex>.
# <tex> m_l < l </tex>. Это означает, что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции <tex> M </tex>. Очевидно, что поиск надо продолжать между <tex> L </tex> и <tex> M </tex>, то есть <tex> R = M </tex>, а новое значение <tex> r = m_l </tex>. 
Если <tex> l < r </tex>, то действия аналогичны. Также три случая:
# <tex> m_r > r </tex>. Сдвигаем <tex> R </tex> в <tex> M </tex>. Значение <tex> r </tex> не изменяется.
# <tex> m_r = r </tex>. Считаем <tex>\mathtt {lcp} </tex> для образца и суффикса, стоящего в позиции <tex> M </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>. 
# <tex> m_r < r </tex>. Сдвигаем <tex> L </tex> в <tex> M </tex>, <tex> l = m_r </tex>.
Бинарный поиск будет работать до тех пор, пока <tex> R - L > 1 </tex>. После этого можно присвоить левой границе диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{left} = R </tex> и переходить к поиску правой границы диапазона ответов <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex> .

Рассуждения при поиске <tex> \mathtt{answer} </tex>_<tex>\mathtt{right}</tex>  аналогичны, только нужно не забыть изменить границы поиска на изначальные <tex> L = 0 </tex> и <tex> R = |s| - 1 </tex>.

Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких <tex>\mathtt {lcp} </tex> между собой(каждое за <tex> O(1) </tex>), а если дойдет до сравнения символов, то любой символ <tex> p </tex> сравнивается не более одного раза(при сравнении мы берем <tex>\mathtt {max}</tex><tex>(l, r) </tex>, а значит никогда не возвращаемся назад). В самом начале мы посчитали <tex> l </tex> и <tex> r </tex> за <tex> O(p) </tex>. В итоге получаем сложность алгоритма <tex> O(p + log(s)) </tex>. Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать <tex>\mathtt {lcp} </tex> для двух любых суффиксов <tex> array </tex> за <tex> O(1) </tex>, начиная с позиции <tex> r </tex>.

===Рисунки===

Черная вертикальная линия на рисунке обозначает <tex>\mathtt {lcp} </tex> от <tex> i </tex>-го суффикса суффиксного массива <tex> array </tex> и образца <tex> p </tex>. Чем линия длиннее, тем совпадений символов больше. 

<tex> L </tex>, <tex> M </tex> и <tex> R </tex> {{---}} то же самое, что в алгоритме. Кроме того, самая левая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> l </tex>, аналогично, самая правая черная вертикальная линия на каждом рисунке означает <tex> r</tex>. 

Переменная <tex> m_l </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [L, M] </tex>. Переменная <tex> m_r </tex> {{---}} это <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на промежутке <tex> [M, R] </tex>.
Серым цветом выделен <tex>\mathtt {lcp} </tex> в суффиксном массиве на рассматриваемом промежутке.

Иллюстраци возможных случаев при <tex> l \geqslant r </tex>:

[[Файл:left.png]]

Иллюстрации возможных случаев при <tex> l < r </tex>:

[[Файл:Right2.png]]

===Псевдокод===
Массивы и строки нумеруются с нуля. 

Сравнения <tex><_z  ,  >_z  ,  =_z  , \leqslant_z  , \geqslant_z </tex> означают лексикографическое сравнение двух строк по их первым <tex>z</tex> символам.

Сравнения <tex>< , > , == ,  \leqslant ,  \geqslant </tex> при применении к строкам означают полное лексикографическое сравнение строк.

Функция <tex>\mathtt {common(z,s, p)}</tex> ищет количество совпадений символов строк <tex>s</tex> и <tex>p</tex> начиная с позиции <tex>z</tex>. 

<tex>n</tex> {{---}} длина строки <tex>s</tex>, <tex>w</tex> {{---}} длина строки <tex>p</tex>.

В алгоритме используются переменные, введенные выше в разделе "более быстрый поиск".
 

Поиск левой границы ответов <tex> answer </tex>_<tex>left</tex>.

 '''function''' find_answer_left(p: '''String''', s: '''String'''): '''int'''
     l = '''lcp'''(p, s[array[0]])
     r = '''lcp'''(p, s[array[n - 1]])
     '''if''' (l == w or p < s[array[0]])
         answer_left = 0 
     '''else''' '''if''' (p > s[array[n - 1])
         answer_left = n
     '''else''' 
         L = 0
         R = n - 1
         '''while''' (R - L > 1) '''do''' 
             M = (L + R) / 2
             m_l = '''lcp'''(array[L], array[M])
             m_r = '''lcp'''(array[M], array[R])
             '''if''' (l <tex>\geqslant</tex> r)
                 '''if''' (m_l <tex>\geqslant</tex> l)
                     m = l + '''common'''(l, s[array[M]], p)
                 '''else'''
                     m = m_l
             '''else'''
                 '''if''' (m_r <tex>\geqslant</tex> r)
                     m = r + '''common'''(r, s[array[M]], p)
                 '''else'''
                     m = m_r
             '''if''' (m == w || p <tex>\leqslant</tex><tex>_m</tex> s[array[M]]){
                 R = M
                 r = m
             '''else''' 
                 L = M
                 l = m
         answer_left = R

== См. также ==
* [[Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки]]
* [[Алгоритм Касаи и др.]]
* [[Построение суффиксного массива с помощью стандартных методов сортировки]]

==Источники информации==
* [http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/115346/ Habrahabr {{---}} Суффиксный массив {{---}} удобная замена суффиксного дерева] 
*U. Manber and G. Mayers. {{---}} "Suffix arrays: A new method for on-line string searches"

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Структуры данных]]
[[Категория:Суффиксный массив]]