Просмотр исходного текста страницы Быстрый поиск наибольшей возрастающей подпоследовательности

{{Задача
|definition = Дана перестановка <tex>\pi</tex> множества <tex>~\{1, 2,~\dots,~n\}</tex>. Требуется найти [[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности | НВП]] <tex>\pi</tex> за <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>, где <tex>k</tex> — длина НВП.
}}

[[Файл:Task.jpg]]
== Алгоритм за O(n log log n) ==
=== Нахождение длины НВП ===
==== Основная идея ====
Пусть <tex>\{\pi_1,\pi_2,~\dots,~\pi_n\}</tex> — входная перестановка.

Будем последовательно обрабатывать элементы в порядке <tex>\pi_1, \pi_2,~\dots,~\pi_n\colon</tex>

Для каждой длины <tex>l = 1, 2,~\dots,~n</tex> предполагаемой НВП находим наименьший элемент, который может быть последним в возрастающей подпоследовательности длины <tex>l</tex> и запишем его в массив <tex>B_l</tex>. Будем называть его наилучшим элементом для длины <tex>l</tex>.

* Если <tex>\pi_i</tex> больше каждого элемента <tex>B</tex>, вычисленного для подпоследовательности <tex>\pi_1, \pi_2,~\dots~,\pi_{i-1}</tex>, тогда с ним можно сделать возрастающую подпоследовательность максимальной длины из уже рассмотренных, в которой он будет последним элементом. Значит, записываем его в конец <tex>B</tex>.
* Иначе <tex>\pi_i</tex> будет наилучшим элементом для уже существующей длины и сможет улучшить только один элемент в <tex>B</tex>, тогда мы находим наименьшее <tex>k\colon B_k > \pi_i</tex> и заменяем <tex>B_k</tex> элементом <tex>\pi_i</tex>.

Следует отметить, что полученный массив также образует возрастающую последовательность, на котором мы должны выполнять операции <tex>\mathrm{insert}, \mathrm{next}, \mathrm{delete}</tex>, соответственно целесообразно использовать [[ Приоритетные очереди | приоритетную очередь]], реализованную через [[Дерево ван Эмде Боаса]]. Так как данная структура данных производит описанные операции за <tex>O(\operatorname{log} k)</tex>, где k — количество бит чисел, которые позволяет хранить дерево, то полученный алгоритм работает за <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log} n)</tex>, потому что все элементы последовательности не превосходят n.

==== Пример ====
''' Типы операций '''

* Добавление элемента, который больше всех предыдущих:

[[Файл:Operation1.jpg]]

* Замещение элемента более подходящим, т.е. добавление немаксимального элемента:

[[Файл:Operation2_1.jpg]] <tex>\longrightarrow</tex> [[Файл:Operation2_2.jpg]]

''' Пример последовательности '''
{| class="wikitable" align="leftborder" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|-align="center"
! <tex>\pi_1</tex> || <tex>\pi_2</tex> || <tex>\pi_3</tex> || <tex>\pi_4</tex> || <tex>\pi_5</tex> || <tex>\pi_6</tex> || <tex>\pi_7</tex> || <tex>\pi_8</tex> || <tex>\pi_9</tex> || <tex>\pi_{10}</tex> || <tex>\pi_{11}</tex> || <tex>\pi_{12}</tex>
|-align="center"
|  <tex>9</tex> || <tex>3</tex> || <tex>10</tex> || <tex>4</tex> || <tex>8</tex> || <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>12</tex> || <tex>6</tex> || <tex>5</tex> || <tex>7</tex> || <tex>11</tex>
|}

''' Состояние очереди при каждом добавлении '''
{| class="wikitable" align="leftborder" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|-align="center"
! <tex>B_1</tex> || <tex>B_2</tex> || <tex>B_3</tex> || <tex>B_4</tex> || <tex>B_5</tex> || <tex>~\pi_i~</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFCFCF"| <tex>9</tex> ||   ||   ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>9</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFCFCF"| <tex>3</tex> ||   ||   ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex>
|-align="center" 
| <tex>3</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>10</tex> ||   ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>10</tex>
|-align="center" 
| <tex>3</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>4</tex> ||   ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex>
|-align="center" 
| <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>8</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>8</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFCFCF"| <tex>1</tex> || <tex>4</tex> || <tex>8</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>1</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>2</tex> || <tex>8</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>2</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>8</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>12</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>12</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>6</tex> || <tex>12</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>6</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>5</tex> || <tex>12</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>5</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>7</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>7</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex> || <tex>7</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>11</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>11</tex>
|}

==== Псевдокод ====

 '''int''' LIS(<tex>\pi</tex>[n])
     '''PriorityQueue''' B <font color=darkgreen>// рабочая приоритетная очередь</font>
     '''int''' k = 0       <font color=darkgreen>// длина НВП</font>
     '''for''' i = 1 '''to''' n
         x = <tex>\pi</tex>[i]
         <font color=darkgreen>// в любом случае добавляем в очередь очередной элемент</font>
         <font color=darkgreen>// устаревшие будем удалять</font>
         B.insert(x)
         '''if''' <tex>\exists</tex> B.next(x)
             <font color=darkgreen>// добавленный элемент — не максимальный</font>
             <font color=darkgreen>// удаляем следующее за x значение </font>
             B.delete(B.next(x))
         '''else'''
             <font color=darkgreen>// добавленный элемент — максимальный</font>
             <font color=darkgreen>// предыдущие значения не трогаем, очередь увеличилась</font>
             k = k + 1           
     '''return''' k

=== Расширение алгоритма до нахождения НВП ===
==== Основная идея ====
Будем запоминать пары: для каждого элемента записываем его "предшественника".

Тогда, пройдя по предшественникам, начиная с последнего элемента очереди <tex>B</tex>, мы можем восстановить НВП.
==== Общий вид алгоритма ====
{| class="wikitable" align="leftborder" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|-align="center"
! <tex>B_1</tex> || <tex>B_2</tex> || <tex>B_3</tex> || <tex>B_4</tex> || <tex>B_5</tex> || <tex>~\pi_i~</tex>
|-align="center" 
| <tex>9</tex> ||   ||   ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>9</tex>
|-align="center" 
| <tex>3</tex> ||   ||   ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex>
|-align="center" 
| <tex>3</tex> || <tex>10</tex> ||   ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>10</tex>
|-align="center" 
| <tex>3</tex> || <tex>4</tex> ||   ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex>
|-align="center" 
| <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>8</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>8</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFDF90"| <tex>1</tex> || <tex>4</tex> || <tex>8</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>1</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFCFCF"| <tex>1</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>2</tex> || <tex>8</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>2</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>2</tex> || <tex>8</tex> || <tex>12</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>12</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>2</tex> || <tex>6</tex> || <tex>12</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>6</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>2</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>5</tex> || <tex>12</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>5</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>5</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>7</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>7</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>7</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>11</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>11</tex>
|}

{| class="wikitable" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|-align="center"
! colspan="12" | predecessor
|-align="center"
! <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex> || <tex>8</tex> || <tex>9</tex> || <tex>10</tex> || <tex>11</tex> || <tex>12</tex> 
|-align="center"
|   || <tex>1</tex> ||   || <tex>3</tex> || <tex>2</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex> || <tex>4</tex> ||   || <tex>3</tex> || <tex>7</tex> || <tex>8</tex>
|}

==== Псевдокод ====

 '''int[]''' LIS(<tex>\pi</tex>[n])
     '''PriorityQueue''' B
     '''int''' k = 0
     <font color=blue>'''int''' predecessor[n]</font> <font color=darkgreen>// резервируем <tex>n</tex> позиций</font>
     '''for''' i = 1 '''to''' n
         x = <tex>\pi</tex>[i]
         B.insert(x)
         <font color=blue>predecessor[x] = B.prev(x)</font>
         '''if''' <tex>\exists</tex> B.next(x)
             B.delete(B.next(x))
         '''else'''
             k = k + 1
     <font color=darkgreen>// по цепочке от последнего элемента 
     // восстанавливаем НВП</font>
     <font color=blue>'''int''' result[k]
     '''int''' cur = B.max
     '''for''' i = k - 1 '''downto''' 0
         result[i] = cur
         cur = predecessor[cur]
     '''return''' result</font>

== Оптимизация до O(n log log k) ==
===Основная идея===
Чтобы [[Дерево ван Эмде Боаса]] выполняло операции за <tex>O(\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>, необходимо алфавит обрабатываемых значений уменьшить до <tex>O(k)</tex>.

Предположим, мы знаем такое приближение числа <tex>k</tex> числом <tex>m: m \geqslant k</tex>. Мы обсудим, как найти такое <tex>m</tex> позже.

Во время обработки ключей элементов описанный выше алгоритм <tex>\mathrm{LIS}</tex> работает только с очередью <tex>B</tex> и не зависит от предыдущих элементов последовательности, которые не находятся в очереди. Поэтому, если мы разобьем всю последовательность на блоки из <tex>m</tex> элементов (последний блок может быть меньше), и нам удастся обрабатывать каждый как перестановку из <tex>m</tex> элементов, сохраняя очередь <tex>B</tex> для вычисленных ранее блоков, то мы получим асимптотическое время <tex>O(n \operatorname{log} \operatorname{log} (k + m))</tex>, а так как <tex>m \geqslant k</tex>, то <tex>O(n \operatorname{log} \operatorname{log} m)</tex>. (Мы будем обрабатывать блоки последовательно, т.е. с предыдущего блока у нас может остаться <tex>k</tex> значений в очереди, которые дополняются <tex>m</tex> значениями очередного блока — получаем верхнее ограничение в <tex>k + m</tex> обрабатываемых возможных значений.)

=== Деление на блоки===
Последовательность <tex>S</tex> делится на блоки <tex>C_j,~j=1,~\dots,~\lceil\frac{n}{m}\rceil</tex>:
<tex>C_j=(\pi_{(j-1)m+1},\pi_{(j-1)m+2},~\dots~,\pi_{(j-1)m+m)})</tex>

Обозначим за <tex>C_j^s</tex> отсортированный блок <tex>C_j</tex>. Отсортированные и неотсортированные блоки будем хранить в памяти.

[[Цифровая сортировка]] каждого блока отдельно будет давать нам время работы <tex>O \left(\dfrac{n}{m}n \right) = O \left(\dfrac{n^2}{m} \right)</tex>. Дополним каждый элемент <tex>\pi</tex> номером блока, в котором он находится и смещением в этом блоке. Теперь, рассматривая номер блока как старший разряд, элемент как младший разряд (по смещению внутри блока не сортируем), можно сортировать цифровой сортировкой за линейное время <tex>O(n)</tex>, потому что значения элементов и номера блоков не превосходят <tex>n</tex>.

Перестановка смещений, образованная в сортированном блоке есть не что иное, как обратная перестановка перестановки <tex>\xi</tex>, элементы которой соотносятся между собой как элементы исходного блока. Т.е. если элемент <tex>\pi</tex> находится в исходной перестановке в блоке <tex>C_j</tex> на позиции <tex>i</tex>, то в блоке <tex>C_j^s</tex> он на позиции <tex>\xi_i</tex>.

====Пример====
Предположим, что <tex>m=5</tex>. Исходно получаем:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
| Блок ||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>3</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>3</tex>
|-
|<tex>\pi</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>9</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>10</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>8</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>12</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>6</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>7</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>11</tex>
|-
|Смещение ||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>2</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>5</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>3</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>4</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>2</tex>
|}

После сортировки:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|Блок ||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>3</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>3</tex>
|-
|<tex>\pi</tex> ||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>8</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>9</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>10</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>6</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>12</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>7</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>11</tex>
|-
|Смещение ||style="background:#FFC9C9"|<tex>2</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>5</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>4</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>3</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>2</tex>
|}

Обратные перестановки (<tex>\xi</tex>):
{| class="wikitable" style="center" style="background:#FFCC80"
! colspan="5"|<tex>1</tex> || colspan="5"|<tex>2</tex> || colspan="3"|<tex>3</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFD0D0"|<tex>4</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>1</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>5</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>2</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>3</tex>
| style="background:#D0FFD0"|<tex>1</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>2</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>5</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>4</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>3</tex> 
| style="background:#D0D0FF"|<tex>1</tex>||style="background:#D0D0FF"|<tex>2</tex>
|}

=== Обработка блока ===
Обрабатывая блок, каждому элементу <tex>x</tex> внутри этого блока взаимно однозначно сопоставим ключ <tex>y = \mathtt{key}(x);~x=\mathtt{elt}(y)</tex> так, чтобы их значения находились в промежутке <tex>\{1,2,\dots,2m\}</tex>. Очередь <tex>B</tex> будет работать непосредственно с ключами элементов.

Работая с блоком <tex>C_j</tex>, будем сливать элементы, ключи которых находятся в очереди <tex>B</tex>, с <tex>C_j^s</tex> в список <tex>\mathtt{merged}</tex>. Поскольку мы предположили, что <tex>m\geqslant k</tex>, то количество ключей в <tex>B</tex> не больше <tex>m</tex>, тогда длина <tex>\mathtt{merged}</tex> не больше <tex>2m</tex>, что позволяет однозначно определить ключи на множестве <tex>\{1,2,\dots,2m\}</tex>. Как было замечено ранее, элементы, чьи ключи находятся в <tex>B</tex>, располагаются в возрастающем порядке, поэтому возможно производить тривиальную операцию [[Сортировка слиянием#Принцип работы#Слияние двух массивов | слияния]] за <tex>O(m)</tex>.

В итоге, получим отсортированный список <tex>\mathtt{merged}</tex>. Сопоставим ключ каждому элементу как его позицию в этом списке, тогда справедливы утверждения, что <tex>\mathtt{elt}(x)=\mathtt{merged}[x]</tex> и <tex>(\pi_{i}<\pi_{k} \Longleftrightarrow \mathtt{key}(\pi_{i})<\mathtt{key}(\pi_{k}))</tex>, где <tex>\pi_{i},\pi_{k}\in \mathtt{merged}</tex>, поэтому любая возрастающая последовательность ключей элементов будет соответствовать возрастающей последовательности элементов. Таким образом, приоритетная очередь сможет корректно работать с ключами элементов.

Находим последовательность ключей, соответствующую элементам блока <tex>C_j^s</tex>. Действуя на эту последовательность перестановкой <tex>\xi_j</tex>, получаем последовательность ключей в порядке исходного блока.

Оставшиеся ключи, которые входят в <tex>\mathtt{merged}</tex>, но не являются ключами элементов в обрабатываемом блоке, будут ключами элементов из очереди <tex>B</tex>. Обновляем очередь <tex>B</tex> этими ключами.

Затем запускаем алгоритм <tex>\mathrm{LIS}</tex>, для ключей элементов <tex>C_j</tex> в порядке исходной последовательности.

В итоге, обработка блока делится на следующие этапы:
* Достаем из очереди <tex>B</tex> ключи <tex>x</tex>, конвертируем их в элементы <tex>\mathtt{elt}(x)</tex> и кладём в список <tex>\mathtt{elems}</tex>.
* Сливаем элементы в <tex>\mathtt{elems}</tex> со следующим отсортированным блоком <tex>C_j^s</tex> в список <tex>\mathtt{merged}</tex>, генерируя два вспомогательных массива <tex>\mathtt{ind_0}</tex> и <tex>\mathtt{ind_1}</tex>, хранящих индексы элементов списков <tex>C_j^s</tex> и <tex>\mathtt{elems}</tex> соответственно в списке <tex>\mathtt{merged}</tex>.
* Действуя на последовательность ключей в списке <tex>\mathtt{ind_0}</tex> перестановкой <tex>\xi_j</tex> получим ключи в порядке исходной последовательности.
* Вставляем в <tex>B</tex> новые ключи элементов списка <tex>\mathtt{elems}</tex> (элементы <tex>\mathtt{ind_1}</tex>).
* Обрабатываем ключи элементов блока в порядке исходной последовательности с помощью алгоритма <tex>\mathrm{LIS}</tex>. Для восстановления НВП также используем массив "предшественников", который будет работать с соответствующими ключам элементами <tex>\mathtt{elt}(x)</tex>.

====Пример====

''' Первый блок '''

Так как очередь <tex>B</tex> в начале пуста, то <tex>\mathtt{merged}=C_1^s</tex>. Присвоим ключи элементам в списке <tex>\mathtt{merged}</tex> как их индексы в этом списке. Восстанавливаем последовательность ключей элементов в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой смещений <tex>\xi_1</tex> на последовательность ключей в отсортированном блоке.

{|
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="6"|Сортированный
|-
| <tex>\pi</tex> ||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>8</tex>||<tex>9</tex>||<tex>10</tex>
|-
| <tex>key</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="6"|Первый блок
|-
| <tex>\pi</tex> ||<tex>9</tex>||<tex>3</tex>||<tex>10</tex>||<tex>4</tex>||<tex>8</tex>
|-
| <tex>key</tex> ||<tex>4</tex>||<tex>1</tex>||<tex>5</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>
|-
| <tex>\xi_1</tex> ||<tex>4</tex>||<tex>1</tex>||<tex>5</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>
|}
|}

Обработка блока с помощью алгоритма <tex>\mathrm{LIS}</tex>.

{| class="wikitable" style="center"; style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFC9C9"| <tex>4</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>9</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFC9C9"| <tex>1</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>1</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>3</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>5</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>5</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>10</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>2</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>2</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>4</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>3</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>8</tex>
|}

В результате получаем

<tex>B: \{1, 2, 3\}</tex>

<tex>\mathtt{merged}: \{3,4,8,9,10\}</tex>


'''Второй блок'''

Восстанавливаем элементы <tex>B: \{1, 2, 3\}</tex> из <tex>\mathtt{merged}: \{3, 4, 8, 9, 10\}</tex>: <tex>\{3, 4, 8\}</tex>.

Сливаем <tex>C_2^s</tex> и восстановленные элементы из <tex>B</tex> в <tex>\mathtt{merged}</tex> и присваиваем элементам ключи как индексы элементов в полученном списке:
{|
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="3"|<tex>B</tex>
|-align="center"
| <tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>8</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="5"|<tex>C_2^s</tex>
|-align="center"
| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>12</tex>
|}
|}

{|
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
! colspan="9"|<tex>\mathtt{merged}</tex>
|-align="center"
|<tex>\pi</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>||<tex>12</tex>
|-align="center"
|<tex>key</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>7</tex>||<tex>8</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="3"|<tex>\mathtt{ind_1}</tex>
|-align="center"
| <tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>7</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="5"|<tex>\mathtt{ind_0}</tex>
|-align="center"
| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>
|}
|}

Получаем ключи элементов в <tex>C_2^s</tex> и находим перестановку ключей в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой <tex>\xi_2</tex>:

{|
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="6"|Сортированный
|-
| <tex>\pi</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>12</tex>
|-
| <tex>key</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="6"|Второй блок
|-
| <tex>\pi</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>12</tex>||<tex>6</tex>||<tex>5</tex>
|-
| <tex>key</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>8</tex>||<tex>6</tex>||<tex>5</tex>
|-
| <tex>\xi_2</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>4</tex>||<tex>3</tex>
|}
|}

Обновляем ключи в очереди:
{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>key</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFC9C9"| <tex>3</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex>
|-align="center" 
| <tex>3</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>4</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex>
|-align="center" 
| <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>7</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>7</tex>
|}

запускаем <tex>\mathrm{LIS}</tex> для блока:
{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFC9C9"| <tex>1</tex> || <tex>4</tex> || <tex>7</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>1</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>1</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>2</tex> || <tex>7</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>2</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>2</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>7</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>8</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>8</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>12</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>6</tex> || <tex>8</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>6</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>6</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>5</tex> || <tex>8</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>5</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>5</tex>
|}

В результате получаем:

<tex>B: \{1, 2, 5, 8\}</tex>

<tex>\mathtt{merged}: \{1,2,3,4,5,6,8,12\}</tex>


'''Третий блок'''

Восстанавливаем элементы <tex>B: \{1, 2, 5, 8\}</tex> из <tex>\mathtt{merged}: \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12\}</tex>: <tex>\{1, 2, 5, 12\}</tex>.

Сливаем <tex>C_3^s</tex> и восстановленные элементы из <tex>B</tex> и присваиваем ключи элементам:
{|
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="4"|<tex>B</tex>
|-align="center"
| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>12</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="2"|<tex>C_3^s</tex>
|-align="center"
| <tex>7</tex>||<tex>11</tex>
|}
|}

{|
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
! colspan="7"|<tex>\mathtt{merged}</tex>
|-align="center"
|<tex>\pi</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>||<tex>12</tex>
|-align="center"
|<tex>key</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="4"|<tex>\mathtt{ind_1}</tex>
|-align="center"
| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>6</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| colspan="2"|<tex>\mathtt{ind_0}</tex>
|-align="center"
| <tex>4</tex>||<tex>5</tex>
|}
|}

Получаем ключи элементов в <tex>C_3^s</tex> и находим перестановку ключей в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой <tex>\xi_3</tex>:

{|
| ||
{|
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="3"| Третий блок
|-
| <tex>\pi</tex> ||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>
|-
| <tex>key</tex> ||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>
|}
| ||
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! colspan="3"|Cортированный
|-
| <tex>\pi</tex> ||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>
|-
| <tex>key</tex> ||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>
|-
| <tex>\xi_3</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>
|}
|}

Обновление старых ключей:
{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>key</tex>
|-align="center" 
| style="background:#FFC9C9"| <tex>1</tex> ||   ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>1</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>2</tex> ||   ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>2</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>3</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>6</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>6</tex>
|}

запускаем <tex>\mathrm{LIS}</tex> для блока:
{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"
! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>B_5</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>4</tex> ||   || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>7</tex>
|-align="center" 
| <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>5</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>5</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>11</tex>
|}
Результат завершения алгоритма:

<tex>B: \{1, 2, 3, 4, 5\}</tex>

<tex>\mathtt{merged}: \{1,2,5,7,11,12\}</tex>

Получаем, что длина НВП — <tex>5</tex>, и НВП оканчивается на <tex>\mathtt{merged}[5]=11</tex>.

'''Восстановление НВП'''
{| class="wikitable" style="center"
! colspan="12"| <tex>\mathtt{predecessor}</tex>
|-align="center"
| style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#DCDCFF"|<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||<tex>8</tex>||<tex>9</tex>||<tex>10</tex>||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>||<tex>12</tex>
|-align="center"
|style="background:#FFFFC8"|  ||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>|| ||<tex>3</tex>||style="background:#DCDCFF"|<tex>2</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||<tex>4</tex>|| ||<tex>3</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||<tex>8</tex> 
|}
Начинаем восстановление с <tex>\mathtt{merged}[5] = 11</tex>:
{| class="wikitable" style="center"
|-align="center"
| обратный порядок||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>
|-align="center"
| НВП||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>
|}

=== Нахождение размера блоков ===

Рассмотрим последовательность <tex>\{m_0,~m_1,~m_2,~\dots\}</tex>, где <tex> m_{i+1} = m_i ^{\operatorname{log}m_i} = 2^{\operatorname{log}^2m_i}</tex>, <tex>m_0</tex> — некоторое значение, меньшее <tex>k</tex>.

Будем последовательно для элементов этой последовательности запускать алгоритм, представленный выше. Если размер очереди <tex>B</tex> становится больше <tex>m_i</tex>, то условие <tex>m \geqslant k</tex> перестает выполняться, тогда останавливаем алгоритм и переходим к следующему значению <tex>m_{i+1}</tex>.

Для каждого <tex>m_i</tex> размер списка <tex>\mathtt{merged}</tex> не больше <tex>2m_i</tex>, а количество блоков всего <tex>\lceil n/m_i \rceil</tex>. То общее количество присваиваний новых ключей элементам последовательности, также как и количество операций слияния списков, не больше <tex>2cm_i\cdot\dfrac{n}{m_i}=O(n)</tex>, где c — некоторая константа. Каждая операция с приоритетной очередью требует <tex>O(\log \log m_i)</tex> времени, так как элементы в <tex>B</tex> не больше <tex>2m_i</tex>.

Таким образом, время работы запущенного алгоритма для каждого <tex>m_i</tex> — <tex>O(n \log \log {m_i})</tex>. Когда найдётся первое <tex>m_j:m_j\geqslant k</tex>, то алгоритм успешно завершится. 

<tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_{i+1} = \operatorname{log}\operatorname{log}2^{\operatorname{log}^2m_i} = \operatorname{log}\operatorname{log}^2m_i = 2\operatorname{log}\operatorname{log}m_i</tex>.

<tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_j = 2^{j-i}\operatorname{log}\operatorname{log}m_i</tex>

Общее время работы алгоритма для всех обработанных значений <tex>m_i</tex> — <tex>O(n(\sum_{i=0}\limits^{j}{2^{-(i-1)}})\log \log m_i) = O(n\operatorname{log}\operatorname{log}m_i)</tex>. Заметим, что <tex>m_i < k^{\operatorname{log}k}</tex>, так как в противном случае <tex>m_{i-1} > k</tex>, что противоречит тому, что <tex>m_i</tex> — первый из тех, которые больше <tex>k</tex>. Следовательно, <tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_i < 2\operatorname{log}\operatorname{log}k \</tex>.

Получаем время работы <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>.

== См. также ==
*[[Дерево ван Эмде Боаса]]
*[[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]
*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]
*[[Наибольшая общая возрастающая подпоследовательность]]
*[[Задача о наибольшей общей палиндромной подпоследовательности]]

== Источники информации ==
* [http://www.bcs.org/upload/pdf/ewic_vs08_s2paper2.pdf Computing a Longest Increasing Subsequence of Length k in Time O(n log log k)] (07.01.2017)

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Динамическое программирование]]
[[Категория: Классические задачи динамического программирования]]