Просмотр исходного текста страницы Графы де Брюина

{{Определение
|id = de_bruijn_graph
|definition = '''Графом де Брюина''' (англ. ''De Bruijn graph'') с параметром <tex>l</tex> для <tex>n</tex>-буквенного алфавита называется ориентированный граф <tex>G(V, E)</tex>, где <tex> V - </tex> множество всех слов длины <tex>l</tex> в заданном алфавите, и <tex>(u, v) \in E \Leftrightarrow \exists </tex> слово <tex>L</tex> длины <tex>l+1</tex> в заданном алфавите такое, что <tex> u = prefix(L) </tex> и <tex> v = suffix(L) </tex>. Обозначается как <tex> B(n, l) </tex>
}}

== Основные свойства ==

{{Лемма
|id = lem1
|about = об эйлеровости графа
|statement= <tex>B(n, l)\  - </tex> эйлеров
|proof= Ориентированный граф является эйлеровым, если число входящих рёбер равно числу исходящих. Докажем, что это верно для <tex> B(n, l) </tex>. А именно, что <tex> \forall v \in V </tex> верно, что <tex> deg_{out}(v) = n = deg_{in}(v)</tex>. Докажем первое равенство, второе аналогично. Существует ровно <tex> n </tex> символов алфавита, которые можно добавить в конец слова <tex> \alpha</tex>, соответствующему вершине <tex> v </tex>. Получим ровно <tex> n </tex> различных слов. И у всех этих слов различные суффиксы длины <tex> l </tex>. Таким образом, из вершины <tex> v </tex> выходит ровно <tex> n </tex> рёбер и входит тоже <tex> n </tex> рёбер. Значит, граф де Брюина <tex> - </tex> эйлеров.
}}

{{Лемма
|id = lem2
|about = о количестве вершин и рёбер в графе
|statement= В <tex> B(n, l) \  |V| = n^l, |E| = n^{l+1}</tex>
|proof= Число вершин очевидно находится из определения графа и равно <tex> n^l </tex>. Число рёбер следует из доказательства предыдущей леммы: каждой вершине инцидентно ровно <tex> 2n </tex> ребер. Значит, <tex> |E| = n^{l+1} </tex> по [[Лемма о рукопожатиях | лемме о рукопожатиях]].
}}

{{Лемма
|id = lem3
|about = о равносильном определении
|statement= В <tex> B(n, l) \  (u, v) \in E \Leftrightarrow </tex> <tex> prefix_{l-1}(v) = suffix_{l-1}(u) </tex>
|proof= <tex> \Leftarrow </tex>
Составим слово длины <tex>l+1 \  L = a \gamma b </tex>, тогда <tex> \gamma b = suffix(L), a \gamma = prefix(L) </tex> . Если выбрать <tex> a, b \ </tex> как первый и последний символ слов <tex> u, v </tex> соответственно, и взять <tex> \gamma = prefix_{l-1}(v) = suffix_{l-1}(u) </tex>, то ребро между этими вершинами есть по определению. 

<tex> \Rightarrow </tex> Возьмём подстроку слова <tex> L </tex> (из определения) без крайних символов (её длина <tex> l - 1  </tex>). Так же из определения следует, что это будет суффиксом строки, соответствующей вершине <tex> u </tex>, и префиксом для строки, соответствующей <tex> v </tex>.
}}

{{Лемма
|id = lem4
|about = о графе с <tex> l = 1 </tex>
|statement= <tex> B(n, 1)\  - </tex> полный граф.
|proof = Действительно, для любых (необязательно различных) вершин <tex> u, v \ \exists L = \alpha \beta </tex>, где <tex> \alpha, \beta - </tex> слова (символы), соответствующие вершинам <tex> u, v </tex>. И тогда очевидно, что существует ребро <tex>(u, v)\  \forall u, v \in V </tex>.
}}

== Алгоритм построения ==

{{Задача
|definition =
Дан алфавит длины <tex> n </tex> и длина слов <tex> l </tex>. Построить по ним граф де Брюина.
}}
'''Алгоритм: '''

1. Создаём пустой граф из <tex> n^l </tex> вершин. Установим в алфавите отношение порядка и будем рассматривать его символы как цифры в <tex> n </tex>-значной системе счисления.

2. Генерируем минимальное в лексикографическом порядке слово длины <tex> l+1 </tex>, которое ещё не было использовано (порядок может быть любым, главное перебрать все такие слова без повторений).

3. Считаем префикс <tex> pref </tex> и суффикс <tex> suff </tex> длины <tex> l </tex> для текущего.

4. Проводим ребро <tex> (pref, suff) </tex> в графе. Переходим к пункту <tex> 2 </tex>, пока не будут перебраны все слова длины <tex> l+1 </tex>.

'''Корректность''': перебраны все слова длины <tex> l+1 </tex>, следовательно, были рассмотрены все возможные пары вершин, между которыми проведено ребро.

'''Время работы''': <tex> O(n^{l+1} \cdot substring) = O(|E| \cdot l) </tex>, где <tex> substring - </tex> время генерации слова, а так же поиска префикса и суффикса в нём.

== Применение графов де Брюина ==

{{Задача
|definition =
Известно, что пароль имеет длину <tex> l </tex>, и состоит из цифр от <tex> 1 </tex> до <tex> n </tex>. Требуется вывести кратчайшую последовательность цифр, которая гарантированно содержит пароль как подстроку.
}}

[[Файл: De_brujin_binary_graph.png‎|справа|400px|thumb|Построенный граф Де Брюина для двоичного алфавита со словами <tex> L </tex> (из определения) на рёбрах]]

'''Решение''':

1. Составим граф де Брюина <tex> (n, l-1) </tex>.

2. Найдём в построенном графе эйлеров цикл. Он существует, так как граф де Брюина эйлеров по первой лемме.

3. Слово, соответствующее первой вершине цикла, возьмём полностью (<tex> l - 1 </tex> символов), затем будем последовательно добавлять в конец строки последний символ слова вершины, в которую был осуществлён переход. Так как рёбер <tex> n^l </tex>, получим последовательность длиной <tex> n^l + l - 1 </tex>.

'''Корректность''':

1. Очевидно, что последовательность меньшей длины составить нельзя: в полученной последовательности ровно <tex> n^l </tex> подстрок длины <tex> l </tex>, и именно столько чисел можно составить из цифр от <tex> 1 </tex> до <tex> n </tex>.

2. Двум разным рёбрам <tex>(u_1, v_1), (u_2, v_2) </tex> соответствует два ''различных'' слова <tex> L </tex> длины <tex> l </tex>. Иначе <tex> u_{1} = prefix(L) = u_{2} </tex> и <tex> v_{1} = suffix(L) = v_{2} </tex>. То есть это одно и то же ребро, при этом кратных рёбер в графе нет.

'''Вывод''':

Из доказательства корректности следует, что в последовательности содержится <tex> n^l </tex> различных подстрок длины <tex> l </tex>. И короче последовательность получить нельзя. Мы получили ответ за <tex> O((|E| \cdot (l-1)) + (|E| + |V|)) = O(|E| \cdot (l-1)) </tex>, то есть за время построения графа де Брюина <tex> (n, l-1) </tex>.

{{Задача
|definition = 
Даны неповторяющиеся последовательности ''нуклеотидов'' (''риды'') длины <tex> l </tex>. Известно, что все подстроки генома длины <tex> l </tex> входят в данное множество ридов. Построить возможный геном.
}}

[[Файл: De Brujin Graph In Science.png‎|справа|400px|thumb|Подграф графа Де Брюина для ридов, указанных на рёбрах. Искомый геном: '''ACGTACTAT''']]

'''Пояснение''':

Геном (как и его части <tex> - </tex> риды) является словом из <tex>4</tex>-символьного алфавита <tex> \{A, G, C, T\} </tex>, где символы так же называются нуклеотидами. В реальности длины ридов находятся обычно в диапазоне <tex> 100 </tex>-<tex> 1000 </tex> нуклеотидов, а геном может содержать от <tex> 10^6 </tex> нуклеотидов у простейших организмов. При этом учёные могут получать информацию только о ридах (в силу размера последовательностей) физическим путем (''метод секвенирования'').

'''Решение''':

Решение этой задачи очень простое после решения предыдущей задачи. Построим граф <tex> G </tex>, где вершинами будут являться суффиксы и префиксы длины <tex> l - 1 </tex> всех ридов. Получили подграф графа де Брюина <tex> (4, l-1) </tex> (подграф, так как в нём есть не обязательно все <tex> 4^{l - 1} </tex> вершины), где каждому ребру соответствует рид. Найдём в нём эйлеров путь. Он существует, так как на геном было наложено условие о том, что все его подстроки длины <tex> l </tex> входят в наше множество ридов. Этот путь является возможным ответом. Очевидно, что единственно верный ответ (коим является реальный геном реального существа) получить можно не всегда, так как не всегда в графе есть единственный эйлеров путь.

'''Комментарий''':

К сожалению, кроме того, что алгоритм работает за <tex> O(4^l \cdot l) </tex>, в реальности есть немало технических проблем:

1. Как можно догадаться из пояснения: едва ли риды обязательно будут неповторяющимися. 

2. Данные о ридах могут быть получены лишь с некоторой вероятностью (как правило, ошибка в нуклеотиде имеет вероятность около <tex> 0.001 </tex>, но вблизи "края" генома она может достигать и <tex> 0.3 </tex>).

3. Риды не могут иметь фиксированную длину в силу особенностей метода секвенирования.

'''Вывод''':

Несмотря на то, что задача не решается в общем случае приведённым алгоритмом, граф де Брюина действительно используется в ''ассемблерах'' (программах, собирающих геном или его большие части из ридов), но с заметными усложнениями.

== См. также ==

* [[Основные определения, связанные со строками]]
* [[Эйлеровость графов]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

== Источники информации ==

* [https://en.wikipedia.org/wiki/De_Bruijn_graph Wikipedia {{---}} De Bruijn graph]
* [http://se.math.spbu.ru/SE/diploma/2011/Nurk%20Sergej%20-%20text.pdf Нурк Сергей {{---}} Разработка алгоритмов обработки графа де Брюина в задаче геномного ассемблирования]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Обходы графов]]