Просмотр исходного текста страницы Задача о динамической связности

{{Задача
|definition = Есть [[Основные_определения:_граф,_ребро,_вершина,_степень,_петля,_путь,_цикл#Неориентированные_графы|неориентированный граф]] из <tex>n</tex> вершин, изначально не содержащий рёбер. Требуется обработать <tex>m</tex> запросов трёх типов:
* <tex>\mathrm{add(u,v)}</tex> {{---}} добавить ребро между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>;
* <tex>\mathrm{remove(u,v)}</tex> {{---}} удалить ребро между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>;
* <tex>\mathrm{connected(u,v)}</tex> {{---}} проверить, лежат ли вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в одной компоненте связности.
}}
== Динамическая связность в лесах ==
Если задача такова, что в графе нет и не может быть циклов, то она сводится к задаче о связности в [[Деревья Эйлерова обхода|деревьях эйлерова обхода]]. Время работы каждого запроса для упрощённой задачи {{---}} <tex>O(\log n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество вершин в графе.

== Обобщение задачи для произвольных графов ==

Существуют задачи, в которых граф не обязательно на протяжении нашей работы после каждой операции добавления ребра остаётся лесом. Для решения таких задач в каждой компоненте связности выделим [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре|остовные деревья]], которые образуют остовный лес. 

[[Файл:Graph.jpg|530px|thumb|left|Граф]]  [[Файл:Spanforest.jpg|530px|thumb|right|Остовный лес в графе]]
















===Проверка связности===
Граф и его остовный лес {{---}} одно и то же с точки зрения связности. Поэтому проверка связности в графе сводится к проверке связности в остовном лесе и решается за <tex>O(\log n)</tex>.<!--Добавление рёбер можно рассмотреть с точки зрения [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]], такой запрос будет работать за <tex>O(\log n)</tex>. Операция проверки сводится к проверке связности в остовном лесе и работает также за <tex>O(\log n)</tex>.-->

===Добавление ребра===
Чтобы разобраться с тем, как изменится граф и остовный лес при добавлении и удалении ребра, введём функцию <tex>l(e):E{\rightarrow}[0;\log n]</tex> и назовём её ''уровнем ребра'' <tex>e</tex>. Уровни ребра можно распределить любым способом, но для всех <tex> i </tex> должно выполняться следующее свойство: размер каждой компоненты связности <tex>G_i</tex> не превосходит <tex>\dfrac{n}{2^i}</tex>. Здесь графы <tex>G_i</tex> определяются так: <tex>G_i=\langle V, E\rangle: \{e \in E \mid l(e) \geqslant i\}</tex>.

Очевидно, что <tex>G_{\log n} \subseteq G_{\log n-1} \subseteq \ldots \subseteq G_1 \subseteq G_0 = G</tex>. Выделим в графах остовные леса таким образом, что <tex>F_{\log n} \subseteq F_{\log n-1} \subseteq \ldots \subseteq F_1 \subseteq F_0</tex>, где <tex>F_i</tex> {{---}} остовный лес графа <tex>G_i</tex>.

Удобнее всего новому ребру давать уровень <tex>0</tex>. В этом случае изменится только <tex>G_0</tex>, так как в остальные подграфы <tex>G_i</tex> рёбра нулевого уровня не входят. После вставки нового ребра нам нужно проверить, были ли вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в одной компоненте связности до того, как мы вставили ребро. Если они лежали в разных компонентах, то необходимо новое ребро добавить и в остовный лес <tex>F_0</tex>.

====Псевдокод====
  
  '''function''' <tex>\mathrm{add}</tex>('''Node''' u, '''Node''' v):
    '''Edge''' e = <tex>\langle </tex>u, v<tex>\rangle</tex>
    e.level = 0
    <tex>G_0</tex> = <tex>G_0</tex> <tex>\cup</tex> e<!---insert(<tex>G_0</tex>, e)-->
    '''if not''' <tex>\mathrm{connected(u,v)}</tex>
      <tex>F_0</tex> = <tex>F_0</tex> <tex>\cup</tex> e<!---insert(<tex>F_0</tex>, e)-->

===Удаление ребра===
{{Утверждение
|statement=Если ребро, которое мы хотим удалить, не принадлежит остовному лесу, то связность между любой парой вершин сохранится.
|proof=Докажем от противного. Допустим, что это не так. Понятно, что при разрезании ребра нового пути между вершинами не появится.
Предположим, что нарушилась связность для каких-то двух вершин. Значит, мы убрали мост. А любой мост принадлежит всем остовным деревьям его компоненты. Противоречие.
}}
[[Файл:Is_there_xy.jpg|200px|thumb|right|Компонента связности T.]]

Таким образом, если мы удалили ребро не из остовного леса, то нам не придётся перестраивать лес и пересчитывать значение <tex>\mathrm{connected(u,v)}</tex>.

Рассмотрим случаи, когда мы берём ребро из леса. Тогда необходимо выяснить, является ли данное ребро мостом в графе, и выполнить соответствующие действия.

Проверим, является ли ребро мостом. У ребра <tex>uv</tex> известен уровень, пусть он равен <tex>i</tex>. Попробуем найти другое ребро (<tex>xy</tex>), соединяющее поддеревья <tex>T_u</tex> и <tex>T_v</tex>, на которые распалось остовное дерево исследуемой компоненты <tex>T</tex>.

{{Утверждение
|statement=Если ребро <tex>xy</tex> существует, то его уровень не больше <tex>i</tex>.
|proof=От противного. Пусть <tex>l(xy)=j</tex>, где <tex>j > i</tex>. Тогда вершины <tex>x</tex> и <tex>y</tex> каким-то образом связаны в <tex>F_j</tex> (либо непосредственно ребром <tex>xy</tex>, либо каким-то другим путём). Но <tex>F_j \subseteq F_i</tex>. Значит, в <tex>F_i</tex>  между <tex>x</tex> и <tex>y</tex> сохранился путь из рёбер уровня не меньше <tex>j</tex> и появился другой путь через <tex>uv</tex>. Приходим к противоречию, так как в <tex>F_i</tex> все компоненты должны быть деревьями.
}}

Чтобы найти <tex>xy</tex>, выберем из поддеревьев <tex>T_u</tex> и <tex>T_v</tex> наименьшее. Не умаляя общности, будем считать, что <tex>|T_u|\leqslant|T_v|</tex>. <!--ежу понятно--> Так как всегда из двух слагаемых можно выбрать одно такое, что оно не превосходит половины их суммы, имеем важное свойство: <tex>|T_u|\leqslant\dfrac{|T_u|+|T_v|}{2}=\dfrac{|T|}{2}</tex>. Также нам известно, что <tex>T \subseteq F_i</tex>, а значит, <tex>|T|\leqslant\dfrac{n}{2^i}</tex>. Отсюда <tex>|T_u|\leqslant\dfrac{n}{2^{i+1}}</tex>. Это неравенство позволит нам увеличивать уровни рёбер при необходимости.

Будем искать ребро <tex>xy</tex> следующим образом:
# Выбираем любое ребро уровня <tex>i</tex>, выходящее из вершины, принадлежащей <tex>T_u</tex>. 
# Если выбранное ребро ведёт в <tex>T_v</tex>, выходим из цикла и добавляем ребро <tex>xy</tex> в остовные леса <tex>F_i</tex>, для которых <tex>i\leqslant l(xy)</tex> и выходим из цикла;
# Если выбранное ребро ведёт в другую вершину поддерева <tex>T_u</tex>, увеличиваем его уровень на <tex>1</tex>;
# Если есть непроверенные рёбра на интересующем нас уровне <tex>i</tex>, переходим к пункту <tex>1</tex>;
# Если таких рёбер уровня <tex>i</tex> не осталось и <tex>i>0</tex>, рассматриваем уровень на единицу меньший и переходим к пункту <tex>1</tex>;
# Если все рёбра просканированы и <tex>i=0</tex>, то <tex>uv</tex> является мостом.

'''Замечание.''' Увеличив уровень ребра на единицу, нужно не забыть обновить <tex>G_{i+1}</tex> и <tex>F_{i+1}</tex>.
====Оценка времени работы====
Пункт <tex>2</tex> работает за <tex>O(\log^2 n)</tex>, так как после выхода из цикла мы добавляем ребро за <tex>O(\log n)</tex> на каждом уровне, а количество уровней не больше <tex>\log n</tex>.
<!--5 сек, тут кажись я права всё-таки, нужен Лёха-->

Пусть до момента, когда мы нашли нужное ребро, мы сделали <tex>S</tex> неудачных сканирований. После каждого такого сканирования нам приходится добавлять новые рёбра в <tex>G_{i+1}</tex>, что стоит <tex>O(\log n)</tex>. Получаем сложность удаления одного ребра <tex>O(\log^2{n}+S\cdot\log n)</tex>. <!--- Возможно, мы удалим мост, но это уже другая история, да и она всяко лучше логарифмов в квадрате... --->

Выразим сложность одной операции <tex>\mathrm{remove}</tex> другим способом. Для <tex>n</tex> вершин и <tex>m</tex> вызовов процедуры сложность равна <tex>O(\log^2{n}\cdot m+\log n\cdot\displaystyle \sum_{i=1}^m S_i)</tex>, что не превосходит <tex>O(\log^2{n} \cdot m+\log n\cdot\log n\cdot m)</tex>, так как уровень ребра <tex>m</tex> раз рос максимум до <tex>\log n</tex>. Отсюда суммарная сложность всех запросов равна <tex>O(\log^2{n}\cdot m)</tex>, а для одного запроса мы решаем задачу за <tex>O(\log^2{n})</tex>.

====Псевдокод====

  '''function''' <tex>\mathrm{remove}</tex>('''Node''' u, '''Node''' v):
    '''Edge''' e = <tex>\langle </tex>u, v<tex>\rangle</tex>
    '''for''' i = e.level '''downto''' 0
      <tex>G_i</tex> = <tex>G_i\setminus</tex>e<!---delete(<tex>G_i</tex>, e)--->
      <tex>F_i</tex> = <tex>F_i\setminus</tex>e<!---delete(<tex>F_i</tex>, e)--->
      '''Edge''' e2
      '''for''' e2 = <tex>\langle </tex>x, y<tex>\rangle</tex> : e2.level == i '''and''' x <tex>\in T_u</tex>
        '''if''' y <tex>\in T_v</tex> 
          '''for''' j = i '''downto''' 0
            <tex>F_j</tex> = <tex>F_j</tex> <tex>\cup</tex> e2<!---insert(<tex>F_i</tex>, e2)-->
          '''return'''
        '''else''' 
          e2.level++
          <tex>G_{i+1}</tex> = <tex>G_{i+1}</tex> <tex>\cup</tex> e2<!---insert(<tex>F_i</tex>, e2)-->

== См. также ==
* [[Деревья Эйлерова обхода|Деревья эйлерова обхода]]
* [[Задача о динамической связности оффлайн]]

== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_connectivity Dynamic connectivity {{---}} Википедия]
* [http://numeralis.ru/algoritmyi-i-strukturyi-dannyih-poiska-dinamicheskaya-svyaznost-v-grafah-babenko-maksim/ Лекции {{---}} Академия Яндекса]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Связность в графах]]