Просмотр исходного текста страницы Классические теоремы дифференциального исчисления

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

{{В разработке}}

== Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке ==
{{Определение
|definition=
Точки минимума и максимума:
* Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального минимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0) </tex>.
* Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального максимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0) </tex>.
}}

Сами значения <tex> f(x_o) </tex> называются соответственно локальным минимумом и локальным максимумом.

{{Теорема
|author=
Ферма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> существует и дифференцируема в <tex> O(x_0) </tex>, и <tex> x_0 </tex> {{---}} точка локального экстремума. Тогда <tex> f'(x_0) = 0.</tex>
|proof= 
Рассмотрим случай, когда <tex> x_0 </tex> {{---}} точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.

<tex dpi= "150"> \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}</tex>; рассмотрим <tex> \Delta x \approx 0 </tex>. 

Заметим, что, по определению локального минимума, <tex> f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 </tex>.

Возможны 2 случая для <tex> \Delta x </tex>:

#<tex> \Delta x < 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 </tex>
#<tex> \Delta x > 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 </tex>

Отсюда, <tex> f'(x_0) = 0 </tex>.
}}

Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, <tex> y(x) = x^3, y'(0) = 0,</tex> но <tex> y(0) </tex> {{---}} не экстремум.

{{Определение
|definition=
Корень уравнения <tex>f'(x) = 0</tex> называется '''стационарной точкой'''.
}}

== Теорема Ролля о нулях производной ==

{{Теорема
|author=
Ролль
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>, дифференцируема на <tex>(a, b)</tex> и <tex>f(a) = f(b)</tex>. Тогда существует точка <tex> c \in (a; b)</tex>, такая, что <tex> f'(c) = 0</tex>.
|proof= 
<tex> f(x) </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>, значит, у нее на этом отрезке существуют минимум и максимум. Пусть <tex> x_1 </tex> {{---}} точка минимума, <tex> x_2 </tex> {{---}} точка максимума.

Рассмотрим 2 случая:

1) Обе точки граничные, то есть <tex> x_1, x_2 </tex> находятся на концах отрезка. Тогда, так как <tex> f(a) = f(b) </tex>, то <tex> f_{max}[a; b] = f_{min}[a; b] </tex>. Значит, <tex> f(x) </tex> на <tex> [a; b] </tex> {{---}} константа, то есть <tex>\forall c \in (a; b) \ f'(c) = 0</tex>

2) Хотя бы одна из точек <tex> x_1, x_2 </tex> не граничная. Пусть это, например, <tex> x_1 </tex>. Тогда по теореме Ферма <tex> f'(x_1) = 0</tex>.
}}

Замечание: для непрерывной функции на заданном отрезке ей принимаются все значения между двумя граничными значениями. Такое же свойство выполняется и для ее производной, хотя она может быть уже разрывной.

== Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной ==

{{Теорема
|author=
Дарбу
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> дифференцируема на <tex> [x_1; x_2], A = f'(x_1), B = f'(x_2)</tex>. Тогда <tex> \forall D \in [A; B] \ \exists d \in [x_1; x_2]: D = f'(d) </tex>
|proof=
Для определенности считаем, что <tex> A < B </tex>, обратный случай доказывается аналогично.

Рассмотрим вспомогательную функцию <tex> g(x) = f(x) - Dx; g'(x) = f'(x) - D </tex>

<tex> D \in [A; B] \Rightarrow g'(x_1) < 0, g'(x_2) > 0 </tex>.

По определению производной, <tex dpi = '150'> g'(x_1) = \frac{g(x_1 + \Delta x) - g(x_1)}{\Delta x} </tex>

При <tex> \Delta x \approx 0, \Delta x > 0 \ g(x_1 + \Delta x) < g(x_1) </tex> 

Аналогично рассмотрим <tex> g'(x_2) </tex>: при <tex> \Delta x \approx 0, \Delta x < 0 \ g(x_2 + \Delta x) < g(x_2) </tex> 

Функция <tex> g(x) </tex> {{---}} дифференцируема, а значит, также и непрерывна на <tex> [x_1, x_2] </tex>, поэтому на этом отрезке существуют минимальное и максимальное значения функции. Из двух предыдущих неравенств следует, что минимальное значение достигается не в граничной точке.
Пусть оно достигается в точке <tex> d \in (x_1; x_2) </tex>, тогда по теореме Ферма в этой точке <tex> g'(d) = 0</tex>. Значит, <tex> f'(d) = g'(d) + D = D </tex>.
}}

== Формула конечных приращений Лагранжа ==

{{Теорема
|id=lagrange
|author=
Лагранж
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex> и дифференцируема на <tex> (a; b) </tex>. Тогда <tex> \exists c \in (a; b): </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f(b) - f(a)}{b - a} </tex> <tex> = f'(c) </tex>
|proof=
Рассмотрим вспомогательную функцию <tex> g(x) = (f(x) - f(a)) - k(x - a), k = </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</tex>.

Заметим, что <tex> g(a) = g(b) = 0 </tex>, значит, по теореме Ролля, <tex> \exists c \in (a; b): g'(c) = 0 </tex>.

Но <tex> g'(x) = f'(x) - k </tex>, значит, <tex> f'(c) = k = </tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(b) - f(a)}{b - a} </tex>
}}

== Формула конечных приращений Коши ==

{{Теорема
|author=
Коши
|statement=
Пусть <tex> f, g </tex> непрерывны на <tex> [a; b] </tex> и дифференцируемы на <tex> (a; b) </tex>, <tex> g'(x) \ne 0\ \forall x \in (a; b)</tex>. Тогда <tex> \exists c \in (a; b): </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} </tex>.
|proof=
Для начала, докажем, что дробь в левой части равенства определена: по теореме Лагранжа, <tex> g(b) - g(a) = g'(d)(b - a) </tex> для некоторого <tex>d</tex>, по условию, правая часть не равна нулю, значит, <tex>g(b) - g(a) \ne 0</tex>.

Рассмотрим вспомогательную функцию <tex> F(x) = f(x) - f(a) - k(g(x) - g(a)), k = </tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} </tex>.

<tex> F(a) = F(b) = 0 </tex>, значит, по теореме Ролля, <tex> \exists c \in (a; b): F'(c) = 0 </tex>.

Но <tex> F'(x) = f'(x) - kg'(x) </tex>, значит

<tex> f'(c) = kg'(c) </tex>

<tex dpi = '150'> \frac{f'(c)}{g'(c)} = k = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} </tex>
}}

Замечание: при <tex>g(x) = x</tex> получаем частный случай формулы Коши {{---}} формулу Лагранжа.

== Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей ==

Из формулы Коши можно получить раскрытие неопределенностей вида <tex> \frac{0}{0} </tex>, <tex> \frac{\infty}{\infty} </tex>(в числителе и знаменателе дроби получаются нулевые или бесконечные значения). Это правило называют '''правилом Лопиталя''':

{{Теорема
|author=
правило Лопиталя
|statement=
Если при <tex>x \rightarrow a</tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} </tex>, то <tex dpi = '150'> \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} </tex>
|proof=
Доопределим по непрерывности значения функций в точке <tex> a </tex>: <tex> f(a) = g(a) = 0 </tex>.

По формуле Коши для малого отрезка <tex> [a; x] </tex> выполняется равенство <tex dpi = '150'> \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(x)}{g'(x)} </tex>.

Подставляя туда <tex> f(a), g(a) </tex>, получаем требуемое равенство.

Случай с неопределенностью вида <tex> \frac{\infty}{\infty} </tex> <s>доказывается аналогично.</s>
Докажем теорему для неопределённостей вида <math>\left(\frac{\infty}{\infty}\right)</math>.

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен <math>A</math>. Тогда, при стремлении <math>x</math> к <math>a</math> справа, это отношение можно записать как <math>A+\alpha</math>, где <math>\alpha</math> — [[O-большое и o-малое|O]](1). Запишем это условие:
: <math>\forall\varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\le x-a<\delta_{1}\Rightarrow \left| \alpha(x)\right| <\varepsilon_{1})</math>.

Зафиксируем <math>t</math> из отрезка <math>[a,\;a+\delta_1]</math> и применим [[теорема Коши о среднем значении|теорему Коши]] ко всем <math>x</math> из отрезка <math>[a,\;t]</math>:
: <math>\forall x\in [a;t]\ \exists c\in [a;\;x]\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>, что можно привести к следующему виду:
: <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>.

Для <math>x</math>, достаточно близких к <math>a</math>, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как <math>f(t)</math> и <math>g(t)</math> — константы, а <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен <math>1+\beta</math>, где <math>\beta</math> — бесконечно малая функция при стремлении <math>x</math> к <math>a</math> справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение <math>\varepsilon</math>, что и в определении для <math>\alpha</math>:
: <math>\forall \varepsilon_{1}>0\, \exists \delta_{2}>0\ : \forall x(0\le x-a<\delta_{2}\Rightarrow \left| \beta(x) \right| <\varepsilon_{1})</math>.

Получили, что отношение функций представимо в виде <math>(1+\beta)(A+\alpha)</math>, и <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2}</math>. По любому данному <math>\varepsilon</math> можно найти такое <math>\varepsilon_{1}</math>, чтобы модуль разности отношения функций и <math>A</math> был меньше <math>\varepsilon</math>, значит, предел отношения функций действительно равен <math>A</math>.

Если же предел <math>A</math> бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
: <math>\forall M>0\, \exists \delta_{1}>0 : \forall x(0\le x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M)</math>.

В определении <math>\beta</math> будем брать <math>\varepsilon_{1} < \frac{1}{2}</math>; первый множитель правой части будет больше 1/2 при <math>x</math>, достаточно близких к <math>a</math>, а тогда <math>\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty</math>.


}}