Просмотр исходного текста страницы Корневая декомпозиция с операциями: get, insert, erase

'''Корневая декомпозиция ''' с операциями удаления, вставки в произвольное место и вычисления функции на отрезке.


== Описание модификации исходной структуры ==
Пусть дан массив <math>A</math> размерности <math>n</math> и <math>m</math> запросов вида: посчитать сумму чисел на отрезке, вставить элемент в любую позицию, удалить любой элемент.

Будем поддерживать разбиение массива <math>A</math> на блоки. Введем операцию <math>\mathrm{split}</math>, которая позволяет изменить структуру и разрезать один блок на два других. Такая операция увеличит количество блоков на <math>O(1)</math>. Введем вспомогательную функцию <math>\mathrm{rebuild}</math>. Данная функция позволяет вновь перестроить структуру.

Реализуем две основные операции <math>\mathrm{split}</math> и <math>\mathrm{rebuild}</math>. Остальные операции выразим через них.
Пусть время работы операции составляет <math>\mathrm{split}</math> <math>O(cnt + len)</math> и операции <math>\mathrm{rebuild}</math> составляет <math>O(|A| + cnt)</math>, где <math>len</math> {{---}} длина блоков, <math>cnt</math> {{---}} количество блоков. Ниже будет приведена реализация этих функций с такой асимптотикой

Выберем <math>len = \sqrt n</math>, тогда после операции <math>build</math> будет <math>cnt = O(\sqrt n)</math> блоков, где <math>n</math> текущие количество элементов в структуре. Заметим, что любая операция добавляет не более, чем <math>4</math> новых блоков. После каждых <math>k</math> операций вызовем <math>\mathrm{rebuild}</math>. 

Асимптотика выполнения <math>m</math> запросов составляет: <math>O\left(\dfrac m  k \cdot (n + 4 \cdot k) + m \cdot (len + 4 \cdot k)\right)</math>.

Найдем минимум функции, который достигается при <math>k = O(\sqrt n)</math>. 

Итоговое время работы: <math>O(\sqrt n \cdot (n + m))</math>.



== Построение ==
<noinclude>
{{Задача
|definition = Пусть дан массив <math>A</math> размерности <math>n</math> и <math>m</math> запросов вида: добавить элемент <math>y</math> после элемента <math>x</math>, удалить элемент с индексом <math>x</math>, посчитать сумму на отрезке <math>[l, r]</math>.
}}
</noinclude>

Cделаем следующие действия:
* разделим массив <math>A</math> на блоки длины <math>len = \lfloor \sqrt{n} \rfloor</math>,
* в каждом блоке заранее посчитаем необходимую операцию,
* для каждого блока сохраним индекс самого левого и самого правого элемента в массивах <math>L, R</math>,
* результаты подсчета запишем в массив <math>B</math> размерности <math>cnt</math>, где <math>cnt = \left\lceil \dfrac{n}{len} \right\rceil</math> {{---}} количество блоков,
* заведем массив <math>T</math>, в котором храним актуальный порядок блоков. <math>T = [0, 1, \ldots, cnt - 1]</math> соответствует порядку <math>B_0, B_1 , \ldots , B_{cnt-1}</math>.

Пример реализации построения для операции <math> + </math>:

<code>
 '''void''' build():
    '''for''' i = 0 ... n - 1
        T[i] = i
        L[i] = i * len
        R[i] = (i + 1) * len - 1
    '''for''' i = 0 ... n - 1
        B[i / len] = B[i / len] + A[i]
</code>

Построение происходит за <tex>O(n)</tex> времени.

== Операция split==
Данная операций нужна для реализации операций: <math>\mathrm{insert}</math>, <math>\mathrm{erase}</math>, <math>\mathrm{get}</math>. Она позволяет разделить один блок на два других с целью создания разреза, который необходим в других операциях. Индекс <math>i</math> называется разрезом, если не существует такого актуального блока, которому принадлежит индекс <math>i</math> и <math>i + 1</math> одновременно.

Пусть получен запрос на выполнение операции для индекса <math>x</math>. Этот индекс входит ровно в один блок массива <math>B</math>, пусть индекс этого блока 
{{---}} <math>ind</math>. После операции <math>\mathrm{split}</math> этот блок поделится на <math>[L[ind], x]</math> и <math>[x + 1, R[ind]]</math>, если <math>x</math> был в середине блока, иначе <math>x</math> уже является разрезом и никакая операций не требуется. Как мы видим после операции у нас появилось максимум два новых блока.

Для удобства реализации в массивы <math>B, L, R</math> можно только дописывать новую информацию в конце, что соответствует созданию новых блоков.

Блок считается актуальным, если он присутствует в массиве <math>T</math>.


Перейдем к реализации:
* Найдем в какой актуальный блок входит <math>x</math>
* Проверим, что <math>x</math> не является разрезом
* Создадим два новых блока. Для каждого из них посчитаем значение функции, а также зададим правильные значения в массивах <math>L</math> и <math>R</math>
* Удалим старый блок из перестановки и запишем туда два других.

<code>
 '''int''' createNewBlock('''int''' l, '''int''' r): <font color=green>// Вспомогательная функция. Позволяет создать блок с <math>l</math> по <math>r</math>.</font>
    result = 0
    '''for''' i = l ... r
        result = result + A[i]
    B.pushBack(result)
    L.pushBack(l)
    R.pushBack(r) 
    cnt++
    '''return''' cnt - 1
</code>

<code>
 '''int''' split('''int''' x):
    ind = 0
    '''for''' i = 0 ... |T| - 1
        '''if''' L[i] <= x '''and''' x <= R[i]
            ind = i
    '''if''' L[ind] == x '''or''' R[ind] == x '''or''' x < 0
        '''return''' 0
    first = createNewBlock(L[ind], x)
    second = createNewBlock(x, R[ind])
    T.erase(ind) <font color=green>// операций T.erase(x) удаляет элемент под номером x и сдвигает массив T. Время работы <tex>O(|T|)</tex> </font>
    T.insert(ind. first) <font color=green>// операций T.insert(x, y) вставляет в массив T после индекса x значение y и сдвигает массив. Время работы <tex>O(|T|)</tex> </font>
    T.insert(ind + 1, second)
    '''return''' ind
</code>

Асимптотика: <math>O(cnt)</math> – поиск нужного блока, <math>O(len)</math> – подсчет функции. Итог: <math>O(len + cnt)</math>.
Также заметим, что мы увеличили <math>cnt</math> на <math>2</math>.

== Операция rebuild==
Вторая необходимая операция {{---}} <math>\mathrm{rebuild}</math>. Заметим, что после операций <math>\mathrm{split}</math> количество блоков увеличивалось, а работа всех функций зависит от этого числа. Для того чтоб <math>cnt</math> не стало слишком большим будем полностью перестраивать структуру изменяя <math>cnt</math> на базовое значение равное <math>cnt = \left\lceil \dfrac{n}{len} \right\rceil</math>. 

Будем восстанавливать из актуальных блоков массив <math>A</math>. Потом очищать все текущие блоки, а затем вызывать операцию <math>\mathrm{build}</math> для построение новой структуры.


Перейдем к реализации:
* Восстановим актуальную версию массива <math>A</math>
* Очистим массивы <math>B, L, R</math>, удалив все текущие блоки
* Вызовем операцию <math>\mathrm{build}</math>

<code>
 '''void''' rebuild():
    tempA <font color=green>// временная актуальная копия массива <math>A</math> </font>
    '''for''' i = 0 ... |T| - 1
        '''for''' j = L[i] ... R[i]
            tempA.pushBack(A[j])
    A = tempA
    B.clear()
    L.clear()
    R.clear()
    build()
</code>

Асимптотика: заметим, оба циклам суммарно запишут ровно столько элементов, сколько их было в структуре. <math>O(|A| + cnt)</math>.

== Операция get==
Пусть получен запрос на выполнение операции на отрезке <math>[l, r]</math>. Будем выполнять операции только на целых блоках, изменим нашу структуры так, чтобы граница отрезка никогда не попадал в середину блока.


Перейдем к реализации:
* Разделим наши блоки при помощи операции <math>\mathrm{split}</math>
* Посчитаем операцию на целых блоках использую массив <math>B</math>

<code>
 '''int''' get('''int''' l, '''int''' r):
    result = 0
    indexL = split(l – 1)
    indexR = split(r) – 1 
    '''for''' i = indexL ... indexR
        result = result + B[T[i]]
    '''return''' result
</code>

Асимптотика: <math>O(split)</math> и <math>O(|T|)</math>. Итого: <math>O(cnt + len)</math>.

== Операция erase==
Пусть получен запрос на выполнение операции удаления числа на позиции <math>x</math>. Аналогично операции <math>get</math>, мы не хотим удалять из середины блока. Когда <math>x</math> является единственным числом в блоке, мы можем просто удалить его из массива <math>T</math>.


Перейдем к реализации:
* Разделим наши блоки при помощи операции <math>\mathrm{split}</math>
* Посчитаем операцию на целых блоках использую массив <math>B</math>

<code>
 '''void''' erase('''int''' x):
    split(x - 1) 
    ind = split(x)
    T.erase(ind)
</code>

Асимптотика: <math>O(cnt + len)</math>.


== Операция insert==
Пусть получен запрос на выполнение вставить число <math>y</math> после числа с индексом <math>x</math>. Аналогично операции <math>get</math>, мы не хотим вставлять в середину блока. Когда нужно вставить на границу блока, то мы можем просто добавить число <math>x</math> в конец массива <math>A</math> и создать новый блок размер <math>1</math>, который ссылается на это число.

Перейдем к реализации:
* Разделим наши блоки при помощи операции <math>\mathrm{split}</math>
* Добавим в конец <math>A</math> число <math>y</math>
* Создадим новый блок и вставим в нужное место

<code>
 '''void''' insert('''int''' x, '''int''' y):
    ind = split(x)
    A.pushBack(y)
    indexNewBlock = createNewBlock(|A| - 1, |A| - 1)
    T.insert(ind, indexNewBlock)
</code>

Асимптотика: <math>O(cnt + len)</math>.

==См. также==
* [[Дерево отрезков. Построение]]
* [[Многомерное дерево отрезков]]
* [[Статистики на отрезках. Корневая эвристика]]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Дерево отрезков]]