Просмотр исходного текста страницы Критерий существования определённого интеграла

{{В разработке}}

== Пример ==

В простейших случаях легко убедиться в существовании [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства|определённого интеграла]].

Например, для <tex>f(x) = m</tex>:

<tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} m\Delta x_k = m(b - a)</tex>

Значит, <tex>\int\limits_a^b m dx = m(b - a)</tex>

== Функция Дирихле == 

Рассмотрим функцию Дирихле: 
<tex>
d(x) = \left\{
	\begin{aligned}
		1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\
		0,\ & x \in \mathbb{Q} \\
	\end{aligned}
\right.
</tex>

Тогда можно составить две различных системы точек:
* <tex>X_Q = \{a | a \in \mathbb{Q} \}</tex>
* <tex>X_R = \{a | a \notin \mathbb{Q} \}</tex>

В одном случае получаем, что <tex>\int\limits_0^1 d(x) dx = 0</tex>, а в другом {{---}} 
<tex>\int\limits_0^1 d(x) dx = 1</tex>.

Но он, по определению, не должен зависеть от выбранного набора точек. Значит, 
функция Дирихле {{---}} не интегрируема.

== Суммы Дарбу ==

Возникает вполне логичный вопрос: <<Какова должна быть функция <tex>f</tex>, чтобы быть интегрируемой?>>.
Напишем ответ на классическом языке(Дарбу).

В силу того, что ограниченность функции необходима для интегрируемости, далее это не оговаривается.

Пусть задана ограниченная функция <tex>f \colon [a; b] \to \mathbb{R}</tex> и задан набор точек
<tex>\tau : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b</tex>

Определим

<tex>m_k(f) = m_k = \inf\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)</tex><br>
<tex>M_k(f) = M_k = \sup\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)</tex><br>
<tex>\underline{s} (f, \tau) = \underline{s} (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} m_k \Delta x_k</tex> {{---}} 
нижняя сумма Дарбу<br>
<tex>\overline{s}  (f, \tau) = \overline{s}  (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} M_k \Delta x_k</tex> {{---}}
верхняя сумма Дарбу<br>

Тогда, очевидно, <tex>\underline{s}(\tau) \leq \sigma(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>.

{{Определение
|definition=
Если <tex>\tau_1 \subset \tau_2</tex>, то говорят, что <tex>\tau_2</tex> мельче, чем <tex>\tau_1</tex>, или же <tex>\tau_2 \leq \tau_1</tex>
}}

{{Утверждение
|statement=
Сумма Дарбу обладает следующими свойствами:
# <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>
# <tex>\tau_1 \subset \tau_2 \Rightarrow \left\{
\begin{aligned}
	\underline{s}(\tau_1) & \leq & \underline{s}(\tau_2) \\
	\overline{s}(\tau_1)  & \geq & \overline{s}(\tau_2) \\
\end{aligned}
\right.
</tex>
# <tex>\forall \tau_1, \tau_2 \ \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
|proof=
Первое свойство очевидно(из определения сумм Дарбу).

Докажем второе свойство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда в 
<tex>\tau_1</tex> добавлена только одна точка.

<tex>a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b</tex> {{---}} <tex>\tau_1</tex>

<tex>a = x_0 < x'_0 < x_1 < \ldots x_n = b</tex> {{---}} <tex>\tau_2</tex>

Докажем неравенство для нижних сумм. Обозначим <tex>m_0</tex>, <tex>m'_0</tex> и <tex>m''_0</tex>

<tex>m_0 = \inf\limits_{x \in [x_0; x_1]} f(x)</tex>, <tex>m'_0 = \inf\limits_{x \in [x_0; x'_0]} f(x)</tex>, <tex>m''_0 = \inf\limits_{x \in [x'_0; x_1]} f(x)</tex>.

Тогда, очевидно, <tex>m_0 \leq m'_0, m''_0</tex>

<tex>m_0(x_1 - x_0) = m_0(x'_0 - x_0) + m_0(x_1 - x'_0) \leq m'_0(x'_0 - x_0) + m''_0(x_1 - x'_0)</tex>

Далее все слагаемые будут одинаковы. Значит, неравенство выполнено.

==== Третье свойство ====

Положим <tex>\tau_3 = \tau_1 \cup \tau_2</tex>. Тогда <tex>\tau_3 \leq \tau_1, \tau_2</tex>.

Значит, в силу пунктов 1 и 2, получим:

<tex>\underline{s}(\tau_1) \leq \underline{s}(\tau_3) \leq \overline{s}(\tau_3) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
}}

== Критерий интегрируемости ==

Пусть <tex>\omega(f, \tau) = \overline{s}(\tau) - \underline{s}(\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (M_k - m_k)\Delta x_k \geq 0</tex>

<tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0 \Leftrightarrow</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow \omega(f, \tau) < \varepsilon</tex>

Определим <tex>\underline{I} = \sup\limits_{\{\tau\}} \underline{s}(\tau)</tex>,
<tex>\overline{I} = \inf\limits_{\{\tau\}} \overline{s}(\tau)</tex>

<tex>I = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(\tau)</tex>

{{Теорема
|about=
Критерий интегрируемости
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(a; b) \iff \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex>
|proof=
1. <tex>f \in \mathcal{R}(a; b)</tex>

<tex>\exists I = \lim \sigma(\tau)</tex>

<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta \geq 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow 
I - \varepsilon \leq \sigma(\tau) \leq I + \varepsilon</tex>

Это верно для любой системы промежуточных точек. 

В интегральной сумме <tex>\Delta x_k > 0</tex>. Отсюда следует, что если варьировать промежуточные точки,
и по ним перейти к <tex>\inf</tex> и <tex>\sup</tex>, то <tex>\inf = \underline{s}</tex>, <tex>\sup = \overline{s}</tex>.

Так как написанное неравенство выполняется для любой системы точек, то в силу определения граней, 
мы можем получить, что

<tex>I - \varepsilon \leq \underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau) \leq I + \varepsilon \Rightarrow</tex>
<tex>\omega(f, \tau) \leq 2\varepsilon</tex>

<tex>\varepsilon \to 0 \Rightarrow \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex>

2. <tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex>

Воспользуемся неравенствами, написанными перед теоремой вместе с числами <tex>\overline{I}</tex> и <tex>\underline{I}</tex>.
(что хотели сказать фразой <<вместе с числами \_I и \^I>>?) 

<tex>0 \leq \overline{I} - \underline{I} \leq \omega(f, \tau)</tex>

Но, так как <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex>, то <tex>\overline{I} = \underline{I} = I</tex>

<tex>\underline{s}(\tau) \leq I,\ \sigma(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>

<tex>|\sigma(\tau) - I| \leq \omega(f, \tau) \to 0</tex>

Тогда, по принципу сжатой переменной, <tex>I = \sigma(\tau)</tex>

Значит, искомый интеграл <tex>\int\limits_a^b f(x) = I</tex> существует.
}}

== Функция Римана == 

Приведём важный пример применения этой теоремы.

Вернёмся к функции Дирихле. 

<tex>
d(x) = \left\{
	\begin{aligned}
		1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\
		0,\ & x \in \mathbb{Q} \\
	\end{aligned}
\right.
</tex>

Эта функция не интегрируема. Плохая она в том смысле, что она разрывна в каждой точке.

Сейчас мы эту функцию немного изменим. Точек разрыва у новой функции будет всё ещё бесконечно много,
но доминировать уже будут точки непрерывности на любом отрезке. Это приведёт к тому, что функция станет 
интегрируемой, хотя на любом её конечном отрезке множество её точек разрыва будет всюду плотным, и её график
всё ещё будет не нарисовать.

<tex>
r(x) = \left\{
	\begin{aligned}
		1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\
		1 - \frac1n,\ & x \in \mathbb{Q}, x = \frac{m}{n}\\
	\end{aligned}
\right.
</tex>


{{Утверждение
|statement= 
<tex>\int\limits_0^1 r(x) = 1</tex>
|proof=
Очевидно, что в любом конечном отрезке имеется лишь конечное число несократимых дробей с наперёд заданным знаменателем. Отсюда следует, что функция Римана в каждой (какое-то мутное место)
иррациональной точке непрерывна, а в каждой рациональной {{---}} разрывна (/мутное место).
Покажем, что существует <tex>\int\limits_0^1 r(x)</tex>. Для этого выпишем <tex>\omega</tex>.

<tex>\omega(r, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}(M_k - m_k) \Delta x</tex>. Нужно показать, что это стремится к нулю.

Если мы докажем, что эта функция интегрируема (что как раз равносильно стремлению последнего к нулю), то вопрос её вычисления станет тривиальным, ибо 
если у интеграционной суммы есть предел, то он не зависит от <tex>\tau</tex>.

Это позволяет выбирать промежуточные точки таким образом, чтобы предел сумм считался легко.
Будем составлять интегральные суммы, выбирая в качестве промежуточных точек иррациональные числа.
Тогда соответствующая интегральная сумма окажется равной

<tex>\int\limits_0^1 r(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x_{k + 1} - x_k = 1</tex>

Поэтому, вся трудность заключается в доказательстве существования интеграла.

Обычно существование интеграла через <tex>\omega</tex> доказывается следующим образом: 
интересующая сумма разбивается на две, таким образом, чтобы в первой сумме <tex>M_k - m_k</tex> было мало,
но <tex>\sum \Delta x_k \approx b - a</tex>. Во второй сумме надо, чтобы <tex>\sum \Delta x</tex> было достаточно малым
(эти <tex>\Delta x</tex> {{---}} плохие). Тогда сумма обеих сумм окажется малой, и задача будет решена.


Пусть <tex>\varepsilon > 0</tex>. Тогда <tex>\exists N_\varepsilon:\ \frac1{N_\varepsilon} \leq \varepsilon</tex>

<tex>[x_k; x_{k + 1}],\ M_k = 1</tex>(так как на отрезке есть иррациональные числа).

Разберёмся с <tex>m_k</tex>. Его поиск связан с перебором чисел вида <tex>1 - \frac1n</tex> и поиском минимума из них, 
при этом, <tex>\frac{m}{n} \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>.

<tex>m_k = 1 - \frac1{P_k}</tex>, где <tex>P_k</tex> {{---}} наименьший из тех знаменателей, для которых соответствующая 
рациональная дробь содержится в текущем отрезке. Тогда <tex>M_k - m_k = \frac1{P_k}</tex>.

В отрезке <tex>[0; 1]</tex> дробей со знаменателем меньшим <tex>N_\varepsilon</tex> конечное число. Тогда отсюда ясно, что 
если рассмотреть <tex>\tau</tex> достаточно малого ранга, то сумма длин тех отрезков, в которых содержатся 
несократимые дроби <tex>\frac{m}{N_\varepsilon}</tex> будет достаточно малым и при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>
сумма будет становиться мегьше и меньше. Что касается других промежуточных отрезков, то в силу 
формулы <tex>M_k - m_k = \frac1{P_k}</tex>, <tex>P_k > N_\varepsilon</tex>, <tex>M_k - m_k < \frac1{N_\varepsilon} \leq \varepsilon</tex>. 

Но сумма этих отрезков не превзойдёт единицы.

Оценим сверху <tex>I</tex>:

<tex>\omega(r, \tau) \leq \varepsilon + N_\varepsilon^2 \operatorname{rang} \tau</tex>.

Тогда при <tex>\delta = \frac\varepsilon{N_\varepsilon^2}</tex>:

<tex>\omega(r,\tau) \leq \varepsilon + \varepsilon</tex>

<tex>\forall\varepsilon</tex> мы нашли <tex>\delta</tex> такое, что <tex>\operatorname{rang} \tau \delta \Rightarrow \omega(r, \tau) \leq 2\varepsilon</tex>

}}


Для того, чтобы с помощью этой теоремы можно было строить так называемые классы интегрируемых 
функций и получать дополнительные свойства интегралов, определим понятие <<колебание функции>>
на отрезке и выведем для этой величины одно важное свойство.

== Колебания  == 

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f</tex> определена на <tex>[c; d]</tex> и ограничена на нём. 
Тогда колебанием ограниченной функции на отрезке <tex>[c;d]</tex> назовём 
<tex>\omega(f, [c; d]) = \sup\limits_{x_1, x_2 \in [c; d]} |f(x_2) - f(x_1)|</tex>
}}

== Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>m = \inf\limits_{x \in [c; d]} f(x)</tex> и <tex>M = \sup\limits_{x \in [c; d]}</tex>

Тогда <tex>\omega(f, [c; d]) = M - m</tex>
|proof=
В силу <tex>m \leq f(x')</tex>, <tex>f(x'') \leq M</tex>, 

<tex>|f(x'') - f(x')| \leq M - m</tex>, значит, <tex>\omega(f, [c; d]) \leq M - m</tex>

Докажем обратное неравенство, используя определение граней.

<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists x', x'' \in [c; d]: \ f(x') < m + \varepsilon,\ M - \varepsilon < f(x'')</tex>

Отсюда, очевидно, следует, что тогда 

<tex>M - m - 2\varepsilon < f(x'') - f(x') \leq |f(x'') - f(x')| \leq \omega(f, [c; d])</tex>

<tex>M - m - 2\varepsilon \leq \omega(f, [c; d])</tex>

Устремим <tex>\varepsilon \to 0</tex>. Тогда <tex>M - m \leq \omega(f, [c; d])</tex>, что и требовалось
}}


== Интегрирование сложной функции ==

{{Теорема
|statement=
Пусть на <tex>[a; b]</tex> задана интегрируемая функция <tex>f, f(x) \in \mathcal {R}, f(x) \in [A; B]</tex>.

На отрезке <tex>[A; B]</tex> задана непрерывная функция <tex>F : [A;B] \to \mathbb{R}</tex>. 

Тогда <tex>F \circ f \in \mathcal{R}(a; b)</tex>
|proof=
В силу условия теоремы сложная функция корректно определена, так как элементы внутренней функции лежат в области, определённой внешней.

Тогда нам нужно доказать, что <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0 \Rightarrow \omega(F \circ f, \tau) \to 0</tex>

<tex>\tau : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n < b</tex>

<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (F(f(\bar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))) \Delta x_k </tex>,
(где <tex>\bar{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>)
<tex> \leq </tex>(из свойств модуля непрерывности)
<tex> \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k</tex>

<tex>\leq</tex>(по теореме о выпуклой мажоранте)
<tex>(b-a)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \frac{\Delta x_k}{b - a}</tex>

(так как <tex>\sum\limits_{k =0}^{n - 1} \frac{\Delta x_k}{b - a} = 1</tex>, а <tex>\omega^*</tex> выпукла вверх)
<tex>\leq (b - a) \omega^*(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex>
<tex>\leq</tex>(по теореме о выкуклой мажоранте) <tex>2(b - a) \omega(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex>

По определению <tex>\omega(f, \tau)</tex>,
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x}{b - a} \leq \frac{1}{b - a} \omega(f, \tau)</tex>

Отсюда, по монотонности модуля непрерывности, 

<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\bar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k</tex>
<tex>\leq 2(b - a)\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau))</tex>

Промежуточных точек не имеется, поэтому, переходя к <tex>\sup</tex> по <tex>\bar{x}_k</tex> и <tex>\tilde{x}_k</tex>, 
приходим к неравенству

<tex>\omega(F \circ f, \tau) \leq 2(b - a)\omega(f, \frac1{b - a} \omega(f, \tau))</tex>

По условию, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b) \Rightarrow \omega(f, \tau) \to 0</tex> при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>

Тогда, по непрерывности в нуле <tex>\omega</tex>, 
<tex>\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau)) \to 0</tex>

Тогда 
<tex>\omega(F \circ f, \tau) \to 0 \Rightarrow F \circ f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>
}}

=== Следствие === 

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f, g \in \mathcal{R}(a, b)</tex>. Тогда
* <tex>|f| \in \mathcal{R}(a, b)</tex>
* <tex>f^2 \in \mathcal{R}(a, b)</tex>
* <tex>fg \in \mathcal{R}(a, b)</tex>
|proof=
Первый и второй пункты получаются из теоремы, если вспомнить, что <tex>|x|</tex> и <tex>x^2</tex> {{---}} непрерывны.

Докажем третий пункт.

<tex>fg = \frac14(f + g)^2 - \frac14(f - g)^2</tex>. 

Это интегрируется по линейности интеграла и второму пункту.
}}

== Аддитивность интеграла == 

Установим одно из самых важных свойств интеграла {{---}} его аддитивность.

{{Теорема
|about=
Аддитивность интеграла
|statement=
1. Пусть <tex>[a; b] \subset [c; d]</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(c;d)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>
2. Пусть <tex>a < b < c</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(b, c)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, c)</tex> и 
<tex>\int\limits_a^c f = \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f</tex>. Это свойство называется аддитивностью интеграла
|proof=
Пусть <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, <tex>[a; b] \subset [c; d]</tex>.

Поделим отрезки <tex>[c; a]</tex> и <tex>[b; d]</tex> таким образом, чтобы ранги их разбиений были не больше рангов 
разбиений <tex>[a; b]</tex> и <tex>[c; d]</tex>.
Получаем разбиение <tex>\tau^*</tex>, <tex>\operatorname{rang} \tau^* \leq \operatorname{rang} \tau</tex>

Тогда <tex>\omega(f, \tau) \leq w(f, \tau^*)</tex>

Устремим <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>. Тогда <tex>\operatorname{rang} \tau^* \to 0</tex>

<tex>(\omega(f, \tau^*) \to 0) \Rightarrow (\omega(f, \tau) \to 0)</tex>

Аналогично устанавливается пункт второй, часть интегрируемости.

Что касается <tex>\int\limits_a^c f</tex>, то, раз все интегралы существуют, выстроить интегральные суммы специального вида,
например, деля отрезки <tex>[a; b]</tex> и <tex>[b; c]</tex> на равные части, получаем разбиение отрезка <tex>[a; c]</tex>.
Тогда <tex>\sigma(f, [a; c]) = \sigma(f, [a; b]) + \sigma(f, [b; c])</tex>

Устремляя ранг этого разбиения к нулю, в пределе получаем искомую формулу.
}}

== Существование определённого интеграла непрерывной или возрастающей функции ==  

{{Утверждение
|statement=
Если <tex>f</tex> {{---}} 

1. непрерывна на <tex>[a; b]</tex>
или

2. возрастает на <tex>[a; b]</tex>,

то <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>
|proof=
1. Если <tex>f</tex> непрерывна на <tex>[a;b]</tex>, то, по теореме Кантора о равномерной непрерывности на отрезке, она равномерно непрерывна на нём. Тогда 

<tex>\forall \varepsilon \ \exists \delta: \quad |x'' - x'| < \delta \Rightarrow |f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex>

Возьмём разбиение <tex>\tau</tex>, такое, что <tex>\operatorname{rang} \tau < \delta</tex>. Тогда для любой пары соседних промежуточных точек
<tex>|f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex>. Тогда, по лемме о колебаниях, <tex>M_k - m_k < \varepsilon</tex>.

Получаем:
<tex>\omega(f, \tau) \leq \varepsilon \sum\limits_{k = 0}^{n -1} \Delta x_k = (b - a)\varepsilon</tex>, если <tex>\operatorname{rang} \tau < \delta</tex>.
Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем, что функция интегрируема.

2. <tex>f</tex> возрастает.

Так как <tex>m_k</tex> {{---}} минимум на отрезке, а <tex>M_k</tex> {{---}} максимум, то <tex>m_k = f(x_k)</tex>, <tex>M_k = f(x_{k + 1})</tex>

<tex>\omega(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (f(x_{k + 1}) - f(x_k)) \Delta x_k \leq </tex>
<tex>\operatorname{rang} \tau \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(x_{k + 1} - f(x_k)) = </tex>
<tex>(f(b) - f(a)) \operatorname{rang} \tau</tex>

Так как <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex> <tex>\Rightarrow f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>
}}

== Обобщение формулы аддитивности == 

{{Определение
|definition=
При <tex>a > b</tex>, <tex>\int\limits_a^b f = -\int\limits_b^a</tex>
}}

Легко проверить, что формулу аддитивности можно обобщить для немонотонной последовательности чисел <tex>a_1, a_2, \ldots a_n</tex>:

<tex>\int\limits_{a_1}^{a_n} = \int\limits_{a_1}^{a_2} + \int\limits_{a_2}^{a_3} + \cdots + \int\limits_{a_{n - 1}}^{a_n}</tex>


[[Категория:Математический анализ 1 курс]]