Просмотр исходного текста страницы Лемма Римана-Лебега

[[Теорема Фейера|<<]][[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|>>]]

{{В разработке}}
{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> коэффициенты ряда Фурье <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
|proof=
<tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>. 

Пусть <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex>, в пространстве <tex>L_1</tex>.

Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то, по свойству тригонометрических функций, выполняется:

<tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1 \cos{nx}dx = 0</tex>.

<tex>\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx </tex>
<tex> = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>. 

Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| \cdot |\cos nx|dx \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1|dx = </tex>

<tex> = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>.

По обобщенной теореме Вейерштрасса, <tex>E_{n-1}(f)_1 \to 0</tex>, следовательно, <tex>a_n(f) \to 0</tex>.

Доказательство для <tex>b_n</tex> аналогично приведенному выше.
}}

Следует иметь в виду, что <tex>\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для <tex>2\pi</tex>-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт:

{{Лемма
|author=
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}|f| < +\infty</tex>, тогда <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0</tex> при <tex>p \to \infty</tex>.
|proof=
На самом деле обе леммы равносильны.
# Первая получается из второй, если подставить <tex>f = 0</tex> вне отрезка <tex>Q</tex>.
# В обратную сторону: так как интеграл от модуля функции сходится, то необходимо <tex> | \int\limits_{|x| > a} f(x) \cos(px) | \le \int\limits_{|x| > a} |f(x)| \xrightarrow[a \to \infty]{} 0 </tex>. На отрезке <tex> [-a; a] </tex> можно сжать интервал интегрирования в <tex> [-\pi; \pi] </tex>. 
}}

Из леммы Римана-Лебега получается важный результат, называемый '''принципом локализации Римана рядов Фурье'''.
{{Теорема
|author=
Риман
|about= Принцип локализации
|statement=
Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>. 

Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
|proof=
Для удобства записи, в силу <tex>2\pi</tex>-периодичности, сдвинем точку <tex>x</tex> в ноль.

<tex> S_n(f, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt </tex>.

<tex> S_n(g, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt </tex>.

Разобьем данные интегралы на три части: <tex> \int\limits_{-\pi}^{\pi} = \int\limits_{-\pi}^{-\delta} + \int\limits_{-\delta}^{\delta} + \int\limits_{\delta}^{\pi} </tex>.

Рассмотрим разность двух сумм:

<tex> S_n(f, x) - S_n(g, x) = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} - \int\limits_{-\pi}^{-\delta} + \int\limits_{\delta}^{\pi} - \int\limits_{\delta}^{\pi}) </tex> (интегралы по участку <tex> [-\delta; \delta] </tex> равны).

Рассмотрим, например, первый из четырех интегралов:

<tex> \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x+t) \frac1{\sin \frac{t}2} (\cos \frac{t}2 \sin nt + \sin \frac{t}2 \cos nt) dt = </tex>

<tex> = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x +t) \mathrm{ctg} \frac{t}2 \sin nt dt + \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x + t) \cos nt dt )</tex>.

Так как функции <tex> f(x+t) \mathrm{ctg} \frac{t} 2 </tex> и <tex> f(x+t) </tex> суммируемы на <tex> (-\pi; -\delta) </tex>, то, по только что доказанной лемме, оба интеграла стремятся к нулю при <tex> n \to \infty </tex>. Аналогично поступаем с тремя остальными частями разности.

}}

[[Теорема Фейера|<<]][[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]