Просмотр исходного текста страницы Линейные ограниченные операторы

{{В разработке}}

Будем рассматривать пару пространств <tex>X, Y</tex> и оператор <tex>A: X \to Y</tex>.

{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> называется '''линейным''', если <tex>A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha A(x_1) + \beta A(x_2)</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Нормой''' оператора <tex>A</tex> называется <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \| Ax \|</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''ограничен''', если <tex>\|A\| \le \infty</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\lim\limits_{x \to x_0} Ax = Ax_0</tex>.
}}


Так же, как и в случае с линейным функционалом, можно показать, что ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности (копипаста из 2 семестра)
{{Теорема
|statement=
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
|proof=
# <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>
#: <tex>\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| </tex>
#: <tex> \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex>.
#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, в частности, в <tex>0</tex>, тогда:
#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \to ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>
#* Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>.
#* Для <tex>x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad</tex>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \to \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>
#*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>
#: Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, и получим, что оператор ограничен.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> - линейное множество, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \to Z</tex> - линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.
Тогда <tex>\exists ! B: X \to Z</tex>:
# <tex>B|_Y = A</tex>
# <tex>\|B\| = \|A\|</tex>
|proof=
Так как <tex>Cl Y = X</tex>, то для любого <tex>x</tex> из <tex>X</tex> можно подобрать последовательность <tex>y_n \in Y: y_n \to x</tex>.

<tex>z_n = Ay_n \in Z</tex>, <tex>\|z_n - z_m\| = \|A(y_n - y_m)\| \le \|A\|\|y_n - y_m\| \xrightarrow[n,m\to \infty]{} 0</tex>.

<tex>\{ z_n \}</tex> сходится в себе, следовательно, в силу банаховости <tex>Z</tex>, <tex>\{ z_n \}</tex> сходится, <tex>\exists z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n</tex>

<tex>z \underset{def}{=} Bx = \lim\limits_{y_n \to x} Ay_n</tex>

Оператор <tex>B</tex> линеен по арифметике предела. Проверим однозначность определения:

Пусть <tex>y_n' \to x</tex>, тогда <tex>\|Ay_n' - Ay\| \le \|A\|\|y_n - y_n'\| \to 0</tex>, то есть, <tex>\lim Ay_n' = \lim Ay_n</tex>, и оператор определен корректно.

"Ясно, что норма оператора сохраняется, здесь все тривиально"{{TODO|t=написать о тривиальном. Наверняка также как в [[Линейные функционалы#densefunextension]], но лучше бы все равно написать, а то мало ли}}
}}

Обычно пространство линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> обозначают как <tex>L(X, Y)</tex>.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> {{---}} банахово, тогда <tex>L(X, Y)</tex> тоже банахово.
|proof=
Рассмотрим сходящуюся в себе последовательность операторов <tex>A_n</tex> в <tex>L(X, Y)</tex>.

Для произвольного <tex>x \in X</tex> рассмотрим <tex>\{A_n x\}</tex>:

<tex>\|A_nx -A_mx\| = \|(A_n - A_m)x\| \le \|A_n - A_m\| \|x\| \to 0</tex>

Так как <tex>\{A_nx\}</tex> сходится в себе, то существует <tex>y = \lim\limits_{n \to \infty} A_n x, y \underset{def}{=} Ax</tex>.

Проверим, что <tex>A</tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, <tex>A = \lim\limits_{n \to \infty} A_n</tex>. Рассмотрим <tex>\|x\| \le 1</tex>. 

Так как <tex>\{A_n\}</tex> сходится в себе, то <tex>\forall \varepsilon \exists N: \forall n, m \ge N: \| A_n - A_m \| < \varepsilon</tex>.

По определению <tex>A</tex>, <tex>\forall x \forall \varepsilon \exists N_1(x): \forall n \ge N_1: \| A_n x - A x \| < \varepsilon</tex>.

Значит, для любого <tex>x</tex> можно выбрать <tex>n_1(x) \ge N, N_1(x)</tex>, такое, что <tex>\forall m \ge N: \|Ax - A_m x\| \le \|Ax - A_{n_1} x\| + \|(A_{n_1} - A_m) x\| \le 2 \varepsilon</tex>.

Таким образом, <tex>\|A - A_m\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \|Ax - A_m x\| \le 2 \varepsilon \to 0</tex>.
}}

Примеры:
* <tex>A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex> — очевидно, линеен, а ограничен, так как в качестве константы, его ограничивающей можно взять сумму модулей элементов матрицы оператора.
* <tex>X = C[0, 1]</tex>, <tex>K</tex> - непрерывная на <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex> функция, <tex>x \in X</tex>. <tex>A(x, t) = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) ds</tex> {{---}} интегральный оператор Фредгольма. Очевидно, он линеен, а так как <tex>|K(t, S)| \le M</tex>, то <tex>|A(x, t)| \le M \|x\|</tex>, то ограничен.

Сама по себе задача вычисления <tex>\|A\|</tex> может быть нетривиальной даже в конечномерном случае.

== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_operator Bounded operator]

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]