Просмотр исходного текста страницы Метрические, нормированные и евклидовы пространства

=Метрическое пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>M</tex> - множество, тогда <tex>M</tex> называется '''метрическим пространством''', если на нём определена функция <tex>\rho:\: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}</tex> (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:

<tex>1)\:\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y</tex> - аксиома тождества;

<tex>2)\:\rho(x,y)=\rho(y,x)</tex> - аксиома симметрии;

<tex>3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)</tex> - аксиома(неравенство) треугольника;
}}
==Примеры==
1) Дискретная:<tex>
\rho(x,y)=\left\{ \begin{array}{c}
1,\: x\ne y\\
0,\: x=y
\end{array}\right\}</tex>

2) <tex>M=\mathbb{R}^{n}; \: \rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|</tex>  (по всем i)

=Нормированное пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> - линейное пространство над <tex>\mathbb{R}(\mathbb{C})</tex>, тогда <tex>X</tex> называется '''нормированным пространством''', если на нём определена функция <tex>\Vert\:\Vert: X\longrightarrow \mathbb{R}</tex> (норма), такая, что выполняются три свойства:

<tex>1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}</tex> - положительная определённость

<tex>2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert</tex>

<tex>3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert</tex>
}}
==Примеры==
<tex>X = \mathbb{R}^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}</tex>
{{Лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement=
Любое нормированное пространство является метрическим(обратное не верно!)
|proof= Очевидно, <tex>\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert</tex>
}}
=Вещественное псевдоевклидово пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - линейное пространство над <tex>\mathbb{R}</tex>. Пусть на <tex>E</tex> задана т.н. метрическая форма <tex>G(x,y)</tex>, такая, что выполняются три свойства:

<tex>1)G(x,y)</tex> - билинейная форма валентности (2;0) <tex>(x,y \in E)</tex>

<tex>2)G(x,y)=G(y,x)</tex> - симметричность

<tex>3)</tex> При <tex>x=0: G(x,y)=0</tex> при любых <tex>y \in E</tex> - невырожденность

Тогда <tex>E</tex> называется вещественным псевдоевклидовым пространством}}
==Примеры==
Пространство Минковского: <tex>E = \mathbb{R}^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}</tex>, где первая координата - временная, а остальные - пространственные;

<tex>\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}</tex> - не обязано быть положительным

=Вещественное евклидово пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - вещественное псевдоевклидово пространство, <tex>G(x,x)</tex> - положительно определённая, то есть <tex>G(x,x)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}</tex>. Тогда <tex>E</tex> - вещественное евклидово пространство.}}
==Примеры=
Пространство полиномов <tex>E = P_{n};</tex>

<tex>\left\langle p,q\right\rangle_{s} =  \int_{-1}^{1} p(t)q(t)dt </tex>

{{Определение
|definition=
<tex>G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle_{G}</tex> называется скалярным произведением x и y (в E)}}
{{Определение
|definition=
<tex>\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle_{G}}</tex> называется нормой вектора в вещественном евклидовом пространстве E}}
{{Лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement=
Любое вещественное пространство является нормированным.
|proof= Очевидно, можно переписать для нового определения три свойства нормы.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>x \in E</tex> называется нуль-вектором относительно метрики G, если <tex>\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0</tex>}}

[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]