Просмотр исходного текста страницы Неразрешимость задачи вывода типов в языке с зависимыми типами

Лямбда исчисление с зависимыми типами {{---}} расширение просто типизированного [[Лямбда-исчисление|лямбда-исчисления]], которое позволяет типам зависеть от значений. Например, в языке с таким исчислением функция может возвращать не просто пару чисел, а пару чисел, в которой первое число меньше второго, или если ваша функция принимает число <tex>n</tex> и возвращает массив длины <tex>n</tex>, то это можно будет выразить типом этой функции. Зависимые типы добавляют выразительности типовой системе, что приводит к лучшей проверке корректности программы на этапе компиляции. Однако, как будет показано далее, для этого придётся идти на определённые жертвы: почти всегда придётся явно указывать типы выражений, так как компилятор не сможет справиться с выводом типов для них.

==<tex dpi = "150">\lambda\Pi</tex>-исчисление==
{{Определение|definition=Множество '''термов''' (англ. ''term'') рекурсивно определяется следующей грамматикой:

<tex>\displaystyle T ::= \mathrm{Type} \mid \mathrm{Kind} \mid x \mid \left(T\ T\right) \mid \lambda x : T . T \mid \Pi x : T . T</tex>.

* Термы <tex>\mathrm{Type}</tex> и <tex>\mathrm{Kind}</tex> называются '''сортами''' (англ. ''sorts''),
* <tex>x</tex> {{---}} '''переменными''' (англ. ''variables''),
* <tex>(t\ t')</tex> {{---}} '''применениями''' (англ. ''applications''),
* <tex>\lambda x : t . t'</tex> {{---}} '''абстракциями''' (англ. ''abstractions''),
* <tex>\Pi x : t . t'</tex> {{---}} '''произведениями''' (англ. ''products'').
Обозначение <tex>t \rightarrow t'</tex> используется вместо <tex>\Pi x : t . t'</tex>, если <tex>x</tex> не входит свободно в <tex>t'</tex>.}}

Пусть есть термы <tex>t</tex> и <tex>t'</tex> и переменная <tex>x</tex>. Записью <tex>t\left[x \leftarrow t'\right]</tex> обозначается терм, полученный заменой <tex>t'</tex> на <tex>t</tex> в <tex>x</tex>. Запись <tex>t =_\beta t'</tex> означает, что термы <tex>t</tex> и <tex>t'</tex> <tex>\beta</tex>-эквивалентны.
{{Определение|definition='''Контекст''' (англ. ''context'') это список пар <tex>x : T</tex>, где <tex>x</tex> {{---}} переменная, <tex>T</tex> {{---}} терм.}}
{{Определение|definition=Правила вывода для нашего исчисления:

<tex>
\displaystyle
\frac{}{\left[ \right] \in \mathrm{WF}} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash T : s}{\Gamma\left[x : T\right] \in \mathrm{WF}} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \in \mathrm{WF}}{\Gamma \vdash \mathrm{Type} : \mathrm{Kind}} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \in \mathrm{WF} \qquad x : T \in \Gamma}{\Gamma \vdash x : T} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash T : \mathrm{Type} \qquad \Gamma\left[x : T\right] \vdash T' : s}{\Gamma \vdash \Pi x : T . T' : s} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash \Pi x : T . T' : s \qquad \Gamma\left[x : T\right] \vdash t : T'}{\Gamma \vdash \lambda x : T . t : \Pi x : T . T'} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash t : \Pi x : T . T' \qquad \Gamma \vdash t' : T}{\Gamma \vdash \left(t\ t'\right) : T'\left[x \leftarrow t'\right]} \text{,} \vspace{3mm} \\
\frac{\Gamma \vdash T : s \qquad \Gamma \vdash T' : s \qquad \Gamma \vdash t : T \qquad T =_\beta T'}{\Gamma \vdash t : T'} \text{;}
</tex>

где <tex>s ::= \mathrm{Type} \mid \mathrm{Kind}</tex>, а <tex>\mathrm{WF}</tex> {{---}} множество корректных контекстов.

Терм <tex>t</tex> '''типизируется''' (англ. ''well-typed'') в контексте <tex>\Gamma</tex>, если существует такой терм <tex>T</tex>, что <tex>\Gamma \vdash t : T</tex>.}}

Отношение редуцируемости на типизируемых термах сильно нормализуемо и обладает ромбовидным свойством. Каждый типизируемый терм имеет единственную нормальную форму, два терма эквивалентны, если у них одинаковая нормальная форма.

Типизируемый в контексте <tex>\Gamma</tex> терм <tex>t</tex> имеет единственный тип с точностью до эквивалентности.
{{Определение|definition=Нормальный терм <tex>t</tex>, типизируемый в контекте <tex>\Gamma</tex>, имеет либо вид

<tex>\displaystyle t = \lambda x_1 : T_1 \ldots \lambda x_n : T_n . \left(x\ c_1\ \ldots\ c_n\right)</tex>,

где <tex>x</tex> это переменная или сорт, либо вид

<tex>\displaystyle t = \lambda x_1 : T_1 \ldots \lambda x_n : T_n . \Pi x : P . Q\text{.}</tex>

Согласимся '''первым символом''' (англ. ''head symbol'') <tex>t</tex> называть <tex>x</tex> в первом случае, и <tex>\Pi</tex> во втором. '''Первыми переменными''' (англ. ''top variables'') <tex>t</tex> будем называть переменные <tex>x_1, \ldots, x_n</tex>.}}

==Задача вывода типов в <tex dpi = "150">\lambda\Pi</tex>-исчислении==
{{Определение|definition=Терм <tex>t</tex> типа <tex>T</tex> в контексте <tex>G</tex> называется '''объектом''' (англ. ''object'') в <tex>\Gamma</tex>, если <tex>\Gamma \vdash T : \mathrm{Type}</tex>.}}

{{Утверждение|statement=Если терм <tex>t</tex> является объёктом в контексте <tex>\Gamma</tex>, то он является либо переменной, либо применением, либо абстракцией. Если он является применением <tex>t=(u\ v)</tex>, тогда оба терма <tex>u</tex> и <tex>v</tex> являются объектами в <tex>\Gamma</tex>, если он является абстракцией <tex>t=\lambda x : U . u</tex>, то тогда терм <tex>u</tex> является объектом в контексте <tex>\Gamma\left[x : U\right]</tex>.}}

{{Определение|definition=Множество '''чистых термов''' (англ. ''pure terms'') определяется грамматикой <tex>T ::= x \mid \left(T\ T\right) \mid \lambda x . T</tex>.}}

{{Определение|definition=Пусть <tex>t</tex> {{---}} объект в контексте <tex>\Gamma</tex>. '''Содержимое''' (англ. ''content'') <tex>t</tex> (<tex>\left|t\right|</tex>) {{---}} это рекурсивно определённый чистый терм:

* <tex>\left|x\right| = x</tex>;
* <tex>\left|\left(t\ t'\right)\right| = \left(\left|t\right|\left|t'\right|\right) </tex>;
* <tex>\left|\lambda x : U . t\right| = \lambda x . \left|t\right|</tex>.}}

{{Определение|definition=Чистый терм <tex>t</tex> называется '''типизируемым''' (англ. ''typable'') в контексте <tex>\Gamma</tex>, если существует терм <tex>t'</tex>, типизируемый в неком <tex>\Gamma\Delta</tex>, являющимся расширением <tex>\Gamma</tex>, что <tex>t'</tex> является объектом в <tex>\Gamma\Delta</tex> и <tex>t=\left|t'\right|</tex>.}}

Типизация чистого терма в контексте <tex>\Gamma</tex> это присвоение типов связанным переменным и некоторым свободным переменным, типов которых нет в <tex>\Gamma</tex>. Если же контекст <tex>\Gamma</tex> пустой, то типизация терма в нём будет являться присваиванием типов и связанным и свободным переменным.

{{Утверждение|statement=Задача вывода типов в пустом контексте разрешима в <tex>\lambda\Pi</tex>-исчислении.|proof=Типизируемые в пустом контексте чистые термы <tex>\lambda\Pi</tex> исчисления совпадают с типизируемыми выражениями просто типизированного <tex>\lambda</tex>-исчисления, а задача вывода типов в просто типизированном <tex>\lambda</tex>-исчислении разрешима.}}

==Неразрешимость задачи вывода типов в <tex dpi="150">\lambda\Pi</tex>-исчислении==

Рассмотрим контекст
<tex>\Gamma=\left[T : \mathrm{Type}; a : T \rightarrow T; b : T \rightarrow T; c : T; d : T; P : T \rightarrow \mathrm{Type}; F : \Pi x : T.\left(\left(P\ x\right) \rightarrow T\right)\right]</tex>.

{{Определение|definition=Пусть <tex>\varphi</tex> {{---}} слово двухсимвольного алфавита <tex>\left\{A, B\right\}</tex>. Определим <tex>\hat{\varphi}</tex> и <tex>\tilde{\varphi}</tex> следующим образом:
* <tex>\hat{\varepsilon} = \lambda y : T . y</tex>;
* <tex>\hat{A\ \varphi} = \lambda y : T.\left(a\ \left(\hat{\varphi}\ y\right)\right)</tex>;
* <tex>\hat{B\ \varphi} = \lambda y : T.\left(b\ \left(\hat{\varphi}\ y\right)\right)</tex>;
* <tex>\tilde{\varphi}=\left|\hat{\varphi}\right|</tex>.}}

{{Утверждение|statement=Рассмотрим [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста |проблему соответствий Поста]] для списков слов над двухсимвольным алфавитом <tex>\left(\varphi_1, \ldots, \varphi_n\right)</tex> и <tex>\left(\psi_1, \ldots, \psi_n\right)</tex>. Непустая последовательность <tex>\left(i_1,\ldots,i_p\right)</tex> является её решением тогда и только тогда, когда <tex>(\hat{\varphi_{i_1}}\ (\ldots (\hat{\varphi_{i_p}}\ c)\ldots)) =_\beta (\hat{\psi_{i_1}}\ (\ldots (\hat{\psi_{i_p}}\ c)\ldots))</tex>.}}

{{Утверждение|statement=Если <tex>g</tex> это такой терм, что терм <tex>(g\ a \ldots a)</tex> (<tex>a</tex> повторяется <tex>n</tex> раз) типизируемый, и он является объектом в неком <tex>\Gamma\Delta</tex>, то тогда терм <tex>g</tex> типизируется в контексте <tex>\Gamma\Delta</tex>, и его тип эквивалентен терму <tex>\Pi x_1 : T \rightarrow T \ldots \Pi x_n : T \rightarrow T . (\beta\ x_1 \ldots x_n)</tex> для какого-то терма <tex>\beta</tex> типа <tex>(T \rightarrow T) \rightarrow \ldots \rightarrow (T \rightarrow T) \rightarrow \mathrm{Type}</tex> в контексте <tex>\Gamma\Delta</tex>.
|proof=Индукция по <tex>n</tex>.}}

{{Утверждение|statement=Пусть <tex>t,u_1,\ldots,u_n,v</tex> {{---}} такие нормальные термы, что <tex>(t\ u_1\ldots u_n)</tex> {{---}} типизируемый терм, и его нормальная форма это <tex>v</tex>. Тогда первый символ <tex>t</tex> это либо первый символ <tex>v</tex>, либо первая переменная <tex>t</tex>.
|proof=Пусть <tex>x</tex> {{---}} первый символ <tex>t</tex>. Если <tex>x</tex> не является первой переменной <tex>t</tex>, то первый символ нормальной формы <tex>(t\ u_1 \ldots u_n)</tex> это тоже <tex>x</tex>, значит, <tex>x</tex> это первый символ <tex>v</tex>.}}

{{Утверждение|statement=Пусть <tex>t</tex> {{---}} такой нормальный терм типа <tex>(T \rightarrow T) \rightarrow \ldots \rightarrow (T \rightarrow T) \rightarrow T</tex> в контексте <tex>\Gamma</tex>, что нормальная форма <tex>(t\ \lambda y : T.y \ldots \lambda y : T.y)</tex> равна <tex>c</tex>. Тогда терм <tex>t</tex> является термом вида
<tex>t=\lambda x_1 : T \rightarrow T \ldots \lambda x_n : T \rightarrow T . (x_{i_1}\ (\ldots (x_{i_p}\ c)\ldots))</tex> для некой последовательности <tex>i_1,\ldots,i_p</tex>.
|proof=Индукция по числу переменных в <tex>t</tex>.}}

{{Теорема|statement=Задача проверки типизируемости чистого терма в заданном контексте неразрешима.
|proof=Рассмотрим проблему соответствий Поста для списков слов над двухсимвольным алфавитом <tex>\left(\varphi_1, \ldots, \varphi_n\right)</tex> и <tex>\left(\psi_1, \ldots, \psi_n\right)</tex>. Построим такой чистый терм <tex>t</tex>, что <tex>t</tex> типизируем в <tex>\Gamma</tex> тогда и только тогда, когда проблема соответствий поста имеет решение.

<tex>
\begin{aligned}
t = \lambda f . \lambda g . \lambda h . (f\ 
&(g\ a \ldots a)\\
&(h\ (g\ \tilde{\varphi_1} \ldots \tilde{\varphi_n}))\\
&(h\ (g\ \tilde{\psi_1} \ldots \tilde{\psi_n}))\\
&(F\ c\ (g\ \lambda y.y \ldots \lambda y.y))\\
&(F\ d\ (g\ \lambda y.d \ldots \lambda y.d)))\text{.}
\end{aligned}
</tex>

Предположим, что этот терм типизируем, и обозначим тип <tex>g</tex> как <tex>\alpha</tex>. Терм <tex>(g\ a \ldots a)</tex> типизируется и является объектом в <tex>\Gamma\Delta</tex>, значит, 

<tex>\alpha =_\beta \Pi x_1 : T \rightarrow T \ldots \Pi x_n : T \rightarrow T . (\beta\ x_1 \ldots x_n)</tex>,

где <tex>\beta</tex> это терм типа <tex>(T \rightarrow T) \rightarrow \ldots \rightarrow (T \rightarrow T) \rightarrow \mathrm{Type}</tex> в <tex>\Gamma\Delta</tex>.

Тогда все переменные <tex>y</tex>, связанные в термах <tex>\hat{\varphi_i}</tex>, <tex>\tilde{\psi_i}</tex>, <tex>\lambda y.y</tex> и <tex>\lambda y.d</tex>, имеют тип <tex>T</tex>. Терм <tex>(g \ \hat{\varphi_1} \ \ldots\ \hat{\varphi_n})</tex> имеет тип <tex>(\beta\ \hat{\varphi_1} \ \ldots\ \hat{\varphi_n})</tex>, тогда из типизируемости терма <tex>(h\ (g \ \hat{\varphi_1} \ \ldots\ \hat{\varphi_n}))</tex> мы получаем, что тип переменной <tex>h</tex> имеет вид <tex>\Pi x : \gamma : \gamma'</tex>, и

<tex>y =_\beta (\beta\ \hat{\varphi_1} \ \ldots\ \hat{\varphi_n})</tex>.

Точно так же, из типизируемости терма <tex>(h\ (g \ \hat{\psi_1} \ \ldots\ \hat{\psi_n}))</tex> получаем, что

<tex>y =_\beta (\beta\ \hat{\psi_1} \ \ldots\ \hat{\psi_n})</tex>,

значит,

<tex>(\beta\ \hat{\varphi_1} \ \ldots\ \hat{\varphi_n}) =_\beta (\beta\ \hat{\psi_1} \ \ldots\ \hat{\psi_n})</tex>.

Из типизируемости терма <tex>(F\ c\ (g\ \lambda y : T.y\ldots \lambda y : T . y))</tex> получаем

<tex>(\beta\ \lambda y:T.y \ldots \lambda y:T.y) =_\beta (P\ c)</tex>.

Наконец, из типизируемости терма <tex>(F\ d\ (g\ \lambda y : T.d\ldots \lambda y : T . d))</tex> получаем

<tex>(\beta\ \lambda y:T.d \ldots \lambda y:T.d) =_\beta (P\ d)</tex>.

Поскольку терм <tex>\beta</tex> имеет тип <tex>(T \rightarrow T) \rightarrow \ldots \rightarrow (T \rightarrow T) \rightarrow \mathrm{Type}</tex>, первый символ нормальной формы терма <tex>\beta</tex> не может быть первой переменной <tex>\beta</tex>, значит, это переменная <tex>P</tex>, и мы получаем, что

<tex>\beta =_\beta \lambda x_1 : T \rightarrow T \ldots \lambda x_n : T \rightarrow T.(P\ (\delta\ x_1 \ldots x_n))</tex>,

где <tex>\delta</tex> {{---}} некий терм типа <tex>(T \rightarrow T) \rightarrow \ldots \rightarrow (T \rightarrow T) \rightarrow T</tex>. Получаем, что

<tex>
(\delta\ \hat{\varphi_1} \ldots \hat{\varphi_n}) =_\beta (\delta\ \hat{\psi_1} \ldots \hat{\psi_n})\text{,} \\
(\delta\ \lambda y:T.y \ldots \lambda y:T.y) =_\beta c \text{,}\\
(\delta\ \lambda y:T.d \ldots \lambda y:T.d) =_\beta d \text{.}
</tex>

Вторая эквивалентность показывает, что нормальная форма <tex>\delta</tex> имеет вид

<tex>\lambda x_1:T \rightarrow T \ldots \lambda x_n : T \rightarrow T . (x_{i_1}\ (\ldots(x_{i_p}\ c)\ldots))</tex>

для некоторой последовательности <tex>i_1,\ldots,i_p</tex>. Третья эквивалентность показывает, что <tex>p>0</tex>, и первая {{---}} что

<tex>(\hat{\varphi_{i_1}}\ (\ldots(\hat{\varphi_{i_p}\ c})\ldots)) =_\beta (\hat{\psi_{i_1}}\ (\ldots(\hat{\psi_{i_p}\ c})\ldots))</tex>,

то есть последовательность <tex>i_1,\ldots,i_p</tex> является решением проблемы Поста.

И наоборот, если предположить, что проблема Поста имеет решение <tex>i_1,\ldots,i_p</tex>, то можно задать типы переменным <tex>f</tex>, <tex>g</tex> и <tex>h</tex>:

<tex>
f : (P\ (a\ (\ldots(a\ c)\ldots))) \rightarrow T \rightarrow T \rightarrow T \rightarrow T \rightarrow T \text{,}\\
g : \Pi x_1 : T \rightarrow T \ldots \Pi x_n : T \rightarrow T.(P\ (x_{i_1}\ (\ldots(x_{i_p}\ c)\ldots))) \text{,}\\
h : (P\ (\hat{\varphi_{i_1}}\ (\ldots(\hat{\varphi_{i_p}}\ c)\ldots))) \rightarrow T \text{;}
</tex>

и тип <tex>T</tex> всем остальным переменным терма <tex>t</tex>, и получить такой типизируемый в <tex>\Gamma</tex> терм <tex>t'</tex>, который является объектом и <tex>t = \left|t'\right|</tex>.
}}

==См. также==
* [[Лямбда-исчисление]]
* [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста]]
* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]
* [[Математическая логика]]

==Источники информации==
* Gilles Dowek, The undecidability of typability in the Lambda-Pi-calculus
* [https://github.com/shd/logic2011 Д. Штукенберг. Лекции по математической логике]
* [https://github.com/artemohanjanyan/tt-conspect Конспект лекций по теории типов]
* Henk Barendregt, Introduction to generalized type systems

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Примеры неразрешимых задач]]