Просмотр исходного текста страницы Объём n-мерного прямоугольника

[[Процесс Каратеодори|<<]][[Мера Лебега в R^n|>>]] 

{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}

{{Определение
|definition=
<tex>\mathbb{R}^n,  \Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}</tex>
}}

{{Определение
|definition=<tex>v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)</tex> {{---}} объём прямоугольника
}}

== Свойства объема прямоугольников в R^n ==

Выведем три основных свойства объемов прямоугольников:

=== Свойство 1 ===

{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек, <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi</tex>(прямоугольник), тогда <tex>v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>.
|proof=Доказательство основано на следующем тождестве:
Если дано какое-то разбиение отрезка <tex>a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b</tex>, то 

<tex>b - a = \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} (x_{k + 1} - x_k)</tex>

Далее доказательство полностью аналогично доказательству для многократного интеграла.
План:
#Доказать для разбиения на клетки
#Обобщить

{{TODO|t=Неплохо бы написать полное доказательство здесь, хотя казалось бы оно очевидное}}
}}

===Свойство 2===
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек и <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi</tex>.
Тогда <tex>v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=
Для доказательства заметим, что совокупность прямоугольников {{---}} полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо бесконечной суммы здесь используется конечная.
{{TODO|t=Доказать}}
}}

===Свойство 3===
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> {{---}} прямоугольники, <tex>\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j</tex>. Тогда <tex>v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=
Это свойство тоже доказывается аналогично соответствующему свойству меры в полукольце.
{{TODO|t=Доказать}}
}}

==Ячейки==
Хотя совокупность всех прямоугольников и является полукольцом, целесообразно его заузить, а именно:

{{Определение
|definition=Пусть <tex>\bar a = (a_1, \ldots, a_n)</tex>, <tex>\bar b = (b_1, \ldots, b_n)</tex>. Тогда ячейка <tex>[\overline a; \overline b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)</tex>.
}}

Следующие утверждения проверяются непосредственно:

{{Утверждение
|statement=Пересечение ячеек {{---}} ячейка
}}

{{Утверждение
|statement=Разность ячеек {{---}} объединение двух (вообще, конечного числа) дизъюнктных ячеек
}}

{{Утверждение
|statement=Совокупность ячеек {{---}} тоже полукольцо
}}

Но ячеек, так сказать, меньше, чем прямоугольников.

Далее символом <tex> \mathcal{R} </tex> будем обозначать полукольцо ячеек.

{{Утверждение
|statement=<tex>v(\Pi)</tex> {{---}} конечная полуаддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex> в силу свойств <tex> v </tex>.
}}

==Мера на множестве ячеек==
{{Теорема
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, мера на этом множестве.
|proof=
Доказательство будет основано на том, что если в <tex>\mathbb{R}^n</tex> ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие (это верно, так как <tex> \mathbb {R} ^n </tex> — компакт).

<tex>\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j</tex> {{---}} дизъюнктны. Нужно доказать, что <tex>v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)</tex>.

<tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j \subset \Pi \Rightarrow </tex> (по второму свойству <tex>v</tex>) <tex>\sum\limits_{j=1}^p v(\Pi_j) \leq v(\Pi)</tex>

Устремляя <tex>p\to\infty</tex>, получаем, что <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) \leq v(\Pi)</tex>

Осталось доказать противоположное неравенство.

<tex>v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)</tex>

Если на это величину смотреть как на функцию двух переменных, то она будет непрерывна как произведение непрерывных функций.

Значит, малое отклонение аргумента приведёт к малому изменению значения функции. 

<tex>\Pi_j \subset \Pi_j^o</tex>(открытое). Погружаем <tex>\Pi_j</tex> в открытый прямоугольник <tex>\Pi_j^o</tex> таким образом, чтобы <tex>v(\Pi_j^o) < v(\Pi_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}</tex>. Это можно сделать по непрерывности <tex>v</tex>.

В результате получаем, что <tex>\Pi\subset\bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>

{{Определение
|definition=<tex>\Pi^c</tex> {{---}} замыкание ячейки <tex>\Pi^o</tex>
}}

{{Утверждение
|statement=Замыкание не изменяет объёма
}}

Однако, после замыкания множество становится компактом.

<tex>\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>

В силу свойства компактов, из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие:

<tex>\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o</tex>

По третьему свойству объёма, <tex>v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) < \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \sum\limits_{k=1}^p \frac\varepsilon{2^{j_k}}</tex> <tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon</tex>. 

При <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex>, <tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) </tex>, обратное неравенство установлено, и корректность определения меры доказана.
}}

[[Процесс Каратеодори|<<]][[Мера Лебега в R^n|>>]] 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
{{В разработке}}