Просмотр исходного текста страницы Об обратных теоремах теории приближения функций

[[Неравенство Бернштейна|<<]][[Математический анализ 2 курс|>> на главную]]

Ранее была установлена теорема Джексона, показывающая, что скорость, с которой наилучшее приближение функции тригонометрическими полиномами стремится к нулю, напрямую связана с её структурными свойствами.

Чем более гладкая функция, тем быстрее стремятся к ней её наилучшие приближения. Бернштейн обнаружил, что верно и обратное: скорость приближения определяет структурные свойства функции. Установим одну из теорем Бернштейна, потом приведём общие формулировки.

{{Теорема
|author=Бернштейн
|statement=<tex>E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'</tex>
|proof=
По теореме Вейерштрасса, если <tex>T_n(f)</tex> {{---}} полином наилучшего приближения <tex>f</tex> степени <tex>\le n</tex>, то
<tex>T_n(f) \rightrightarrows f</tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>

<tex>T_{2^n} \rightrightarrows f</tex>

<tex>U_{2^n} = T_{2^n} - T_{2^{n-1}}</tex>

<tex>T_1 + U_{2^1} + U_{2^2} + \ldots = f</tex>

<tex>\|U'_{2^n}\| \le 2^n\|U_{2^n}\|</tex> [по неравенству Бернштейна] <tex>\le 2^n(\|T_{2^n} - f\| + \|T_{2^{n-1}} - f\|)</tex> [наилучшее прибижение] <tex>2^n(E_{2^n}(f) + E_{2^{n-1}}(f))</tex> <tex>\le 2 \cdot 2^nE_{2^{n-1}}(f)</tex> <tex>\le 2\cdot2^n\frac{A}{2^{2n-2}}</tex> <tex>= \frac{A}{8}\cdot \frac1{2^n}</tex>

Ряд из производных мажорируется сходящейся геометрической прогрессией <tex>\Rightarrow</tex> по признаку Вейерштрасса, он равномерно сходится <tex>\Rightarrow</tex> ряд можно почленно дифференцировать <tex>\Rightarrow</tex> у <tex>f</tex> есть производная.

}}

''Примечание'': можно было бы попросить <tex>E_n(f) \le \frac1{n^{\alpha + 1}}</tex>, где <tex>\alpha > 0</tex>.

[[Неравенство Бернштейна|<<]][[Математический анализ 2 курс|>> на главную]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]