Просмотр исходного текста страницы Определение поля и подполя, изоморфизмы полей

{{В разработке}}
{{Определение
|definition=
Расширим понятие кольца: введём обратный элемент <tex>(F, *, +)</tex> — получим '''поле'''
# абелево по <tex>+</tex>
# <tex>F\setminus\{0\}</tex> — абелево по <tex>*</tex>
# дистрибутивно
}}

Примеры:
* Поля: <tex>\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}_n^*</tex>
* <tex>\mathbb{Q}(x)=\{\frac{p(x)}{q(x)} \mid p,q \in \mathbb{Q}[x]\}</tex>
* <tex>\mathbb{Q}(\sqrt{d})=\{a+b\sqrt{d}\mid a,b \in \mathbb{Q}\}</tex>

Мультипликативная группа поля состоит из ненулевых элементов по умножению.

<tex>1 \in F</tex>

<tex>n \cdot 1</tex> — обозначение суммы
<tex> n \cdot 1 = m \cdot 1 \Rightarrow (n-m) \cdot 1 = 0 </tex>

Все разные <tex>\begin{cases}
1 \\
1 + 1 \\
1 + 1 + 1 \\
\vdots
\end{cases} \begin{aligned} \nearrow \exists n : n \cdot 1 = 0 \\
 \searrow \nexists n : n \cdot 1 = 0 \end{aligned} </tex>

В первом случае наименьшее такое n называется характеристикой поля и обозначается <tex>char\; F</tex>.
Во втором случае характеристика поля полагается равной 0.

<tex>\mathbb{Q}, \mathbb{C}, \mathbb{R} </tex> имеют характеристику 0 <br />
<tex>\mathbb{Z}_p</tex> имеет характеристику p <br />
<tex>\mathbb{Q}(x)</tex> имеет характеристику 0 <br />
<tex>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</tex> — характеристику 0 <br />

{{Теорема
|statement=<tex> char\; F</tex> либо 0, либо простое число:
<tex>\left [ \begin{aligned} char\; F = 0\\ char\; F \in \mathbb{P} \end{aligned} \right .</tex><br />
|proof=<tex>(n \cdot m) \cdot 1 = 0</tex> <br />
<tex> (n \cdot 1) \cdot (m \cdot 1) = 0 \Rightarrow \left [ \begin{aligned} n \cdot 1 = 0 \\ m \cdot 1 = 0\end{aligned} \right . \Rightarrow</tex> характеристика <tex>\ne n \cdot m</tex> — противоречие с минимальностью <tex> char\; F </tex>
}}
Подполе - некоторое поле <tex> K \subset F </tex>, замкнутое относительно сложения и умножения:
# <tex>0,1 \in K</tex>
# <tex>a,b \in K \Rightarrow a+b \in K </tex>
# <tex>a,b \in K \Rightarrow a*b \in K </tex>
# <tex>a \in K \Rightarrow -a \in K </tex>
# <tex>a \in K \Rightarrow a^{-1} \in K </tex>
<tex>\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</tex> - подполе.

Поле называется простым, если оно не содержит тривиальных подполей.
<tex>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(x)</tex> - подполе <tex>\Rightarrow \mathbb{Q}(x)</tex> - не простое поле.

{{Определение
|definition=
Два поля называются одинаковыми, если существует биекция из одного поля в другое, сохраняющая операции сложения и умножения. <tex>K \cong F \Leftrightarrow \exists \varphi \colon K \to F; \varphi (a + b) = \varphi (a) + \varphi (b); \varphi (a b) = \varphi (a) \cdot \varphi (b) </tex>
}}

{{Утверждение
|statement=<br />
# <tex>char\; F = 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Q}</tex><br />F - простое
# <tex>char\; F \ne 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Z}_P</tex><br />F - простое
|proof=<br />
# <tex> char \; F = 0 \Rightarrow </tex> суммы все различны; <tex>n \cdot 1 \ne 0, n \ne 0</tex><br /><tex>\frac{n}{m}\cdot1=\frac{n\cdot1}{m\cdot1}</tex><br /><tex>\frac{kn \cdot 1}{km \cdot 1} = \frac{(k \cdot 1) \cdot (n \cdot 1)}{(k \cdot 1) \cdot (m \cdot 1)} = \frac{n \cdot 1}{m \cdot 1}</tex><br /><tex>q \cdot 1 \ne 0, q \ne 0 \Rightarrow </tex>построенное поле <tex>\cong \mathbb{Q}</tex>
# <tex> char \; F = p \qquad n \cdot 1 = m \cdot 1 \Leftrightarrow n \equiv m (mod \;p) </tex>. Замкнуто относительно сложения и умножения <tex> \Rightarrow </tex> подполе <tex> \cong \mathbb{Z}_p </tex><br /><tex> K \subset F </tex>, F - вектор-пространство надо полем K. (F - вектора, K - скалярные величины). <br /> <tex> V_1 + V_2 \in F; K \cdot V_1 \in F \Rightarrow </tex> получаем векторное пространство. <br /><tex>[F:K]</tex> - размерность поля F над полем K.
}}

== Ссылки ==
* [http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/lecture/lect-3.pdf Арифметика полиномов]
* [http://ium.mccme.ru/postscript/s11/alg2_07.pdf Расширение полей]
[[Категория: Поля]]