Просмотр исходного текста страницы Определение суммы числового ряда

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

{{Определение
|definition=
<tex>\sum\limits_{k=1}^\infty a_k = a_1 + a_2 + a_3 \ldots</tex> {{---}} числовой ряд
}}

Для ряда должно выполняться несколько свойств:
*Если начиная с какого-то <tex>n</tex> все <tex>a_k</tex>, <tex>k > n</tex> равны нулю, то <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty = \sum\limits_{k = 1}^n</tex>.
*Линейность ряда: <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty (\alpha a_k + \beta b_k) = \alpha\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k + \beta\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k</tex>.

То, каким правилом определяется сумма ряда, называется способом суммирования.

Классический способ суммирования:
<tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k</tex> {{---}} частичные суммы ряда.

{{Определение
|definition=
<tex>\lim\limits_{n\to\infty} S_n</tex> {{---}} сумма числового ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, иначе {{---}} расходящийся.
}}

Сумму ряда обычно обозначают так же, как и ряд: <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k = 1}^n a_k</tex>.

Из арифметики предела становится ясно, что:
*<tex>S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1}</tex>
*<tex>S_n \to S \Rightarrow a_n \to 0</tex>

{{Утверждение
|statement=
Если ряд сходится, то его слагаемые необходимо стремятся к нулю. Однако, это требование лишь необходимое
|proof=
Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда:

<tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> {{---}} сходится <tex>\iff</tex> <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0</tex>.

Это видно из равенства <tex>S_{n + p} - S_{n - 1} = \sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k</tex>.
}}

Заметим, что <tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^p a_k + \sum\limits_{k = p + 1}^n a_k</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} ограничено, <tex>n \to \infty</tex>.

Значит, <tex>S_n</tex> и <tex>\sum\limits_{k = p+1}^n a_k</tex> равносходятся.

Вывод: на сходимость конечное число слагаемых не влияет. Однако, очевидно, они вляют на значение суммы.