Просмотр исходного текста страницы Определение функционального ряда

[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_VI_.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D1.8F.D0.B4.D1.8B|на главную <<]] [[Равномерная сходимость функционального ряда|>>]]
== Определения ==
{{Определение
|definition=
На <tex>E \subset \mathbb{R}</tex> задана последовательность функций <tex>f_1, f_2, \ldots f_n \ldots</tex>.
Тогда говорят, что имеется фукциональная последовательность.
}}

<tex>\forall x \in E</tex> определена числовая последовательность <tex>f_1(x), f_2(x), \ldots</tex>, поэтому можно говорить о пределе соответствующей числовой последовательности. Но предел может существовать не на всем <tex>E</tex>.

{{Определение
|definition=
Область сходимости функциональной последовательности <tex>D \subset E : \{x | \forall x \in D \ f_1(x), f_2(x), \ldots</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>
}}

{{Определение
|definition=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> {{---}} функциональный ряд.
}}

{{Определение
|definition=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x) = \lim\limits_{n \to \infty} s_n(x)</tex>, <tex>x \in D</tex> {{---}} сумма числового ряда.
}}

Из определения суммы функционального ряда видно, что это предел специальной последовательности {{---}} <tex>s_n</tex>. Отсюда, исследование ряда на сходимость {{---}} исследование на сходимость последовательности сумм.

В тех местах, где это удобно, исследуются функциональные последовательности, а там, где нет, числовые ряды. 

== Пример == 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex>

<tex>s_n = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}</tex>
Тогда, при <tex>n \to \infty</tex>,
<tex>s_n \to \begin{cases}
\frac1{1 - x}, & |x| < 1 \\
\infty, & |x| \geq 1 \\ 
\end{cases}</tex>

<tex>E = R</tex>, <tex>D = (-1, 1)</tex>

На <tex>D</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n = \frac1{1 - x}</tex>

[[Математический_анализ_1_курс|на главную <<]] [[Равномерная сходимость функционального ряда|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]