Просмотр исходного текста страницы Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре

[[Файл:MST-example.png|right|thumb|200px|Пример минимального остовного дерева.]]
==Необходимые определения==
Рассмотрим связный неориентированный взвешенный [[Основные определения теории графов|граф]] <tex> G =( V, E ) </tex>, где <tex>V </tex> {{---}} множество [[Основные определения теории графов| вершин]], <tex>E </tex> {{---}} множество [[Основные определения теории графов|ребер]]. Вес ребра определяется, как функция <tex> w : E \to \mathbb{R} </tex>. 
{{Определение
|id = spanning_tree
|definition =
'''Остовное дерево''' (англ. ''spanning tree'') графа <tex> G = ( V, E ) </tex> {{---}} ациклический связный подграф данного связного неориентированного графа, в который входят все его вершины.
}}{{Определение
|definition =
'''Минимальное остовное дерево''' (англ. ''minimum spanning tree'') графа <tex> G = ( V, E ) </tex>  {{---}} это его ациклический связный подграф, в который входят все его вершины, обладающий минимальным суммарным весом ребер.
}}
Заметим, что граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев. 
Для формулировки и доказательства леммы о безопасном ребре рассмотрим следующие определения.

Пусть <tex>G'</tex> {{---}} подграф некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G = ( V, E ) </tex>.
{{Определение
|definition =
Ребро <tex> ( u, v ) \notin G' </tex> называется '''безопасным''' (англ. ''safe edge''), если при добавлении его в <tex> G' </tex>, <tex> G' \cup \{ ( u, v ) \}</tex> также является подграфом некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G </tex>.
}}{{Определение
|definition =
'''Разрезом''' (англ. ''cut'') неориентированного графа <tex> G = ( V, E ) </tex>  называется разбиение <tex> V </tex> на два непересекающихся подмножества: <tex> S </tex> и <tex> T = V \setminus S </tex>.  Обозначается как <tex> \langle S, T \rangle </tex>.
}}{{Определение
|definition =
Ребро <tex> ( u, v ) \in E </tex> '''пересекает''' (англ. ''crosses'') разрез <tex> \langle S, T \rangle </tex>, если один из его концов принадлежит множеству <tex> S </tex>, а другой {{---}} множеству <tex> T </tex>.
}}

==Лемма о безопасном ребре==
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф <tex> G = ( V, E ) </tex> с весовой функцией <tex>w : E \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex> G' = ( V, E' ) </tex> {{---}} подграф некоторого минимального остовного дерева <tex> G </tex>, <tex> \langle S, T \rangle </tex> {{---}} разрез <tex> G </tex>, такой, что ни одно ребро из <tex> E' </tex> не пересекает разрез, а <tex> ( u, v ) </tex> {{---}} ребро минимального веса среди всех ребер, пересекающих разрез <tex> \langle S, T \rangle </tex>. Тогда ребро <tex> e = ( u, v ) </tex> является безопасным для <tex> G'</tex>.
|proof=
[[Файл:Лемма_о_безопасном_ребре.png‎|right|thumb|300px]]
Достроим <tex> E' </tex> до некоторого минимального остовного дерева, обозначим его <tex>T_{min}</tex>. Если ребро <tex>e \in T_{min}</tex>, то лемма доказана, поэтому рассмотрим случай, когда ребро <tex>e \notin T_{min}</tex>. Рассмотрим путь в <tex>T_{min}</tex> от вершины <tex>u</tex> до вершины <tex>v</tex>. Так как эти вершины принадлежат разным долям разреза, то хотя бы одно ребро пути пересекает разрез, назовем его <tex>e'</tex>. По условию леммы <tex>w(e) \leqslant w(e')</tex>. Заменим ребро <tex>e'</tex> в <tex>T_{min}</tex> на ребро <tex>e</tex>. Полученное дерево также является минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>, поскольку все вершины <tex>G</tex> по-прежнему связаны и вес дерева не увеличился. Следовательно <tex>E' \cup \{e\} </tex> можно дополнить до минимального остовного дерева в графе <tex>G</tex>, то есть ребро <tex>e</tex> {{---}} безопасное.
}}

==Cм. также==
*[[Алгоритм Прима]]
*[[Алгоритм Краскала]]
*[[Алгоритм Борувки]]

==Источники информации==
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. {{---}} Алгоритмы. Построение и анализ : Вильямс, 2-е издание, 2005, С. 644-649

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]] 
[[Категория: Остовные деревья]]
[[Категория: Построение остовных деревьев]]