Просмотр исходного текста страницы Поиск k-ой порядковой статистики в двух массивах

{{Задача
|definition = Даны два отсортированных массива <tex>a</tex> и <tex>b</tex> размерами <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно. Требуется [[Поиск k-ой порядковой статистики|найти <tex>k</tex>-ый порядковый элемент]] после их слияния. Будем считать, что все элементы в массивах различны и нумеруются с нуля.}}

== Варианты решения ==
=== Наивное решение ===
Сольем два массива и просто возьмем элемент с индексом <tex>k - 1</tex>. Слияние будет выполнено за время <tex>O(n + m)</tex>, к тому же этот алгоритм использует <tex>O(n + m)</tex> дополнительной памяти.

=== Чуть менее наивное решение ===
Будем использовать два указателя, с помощью которых сможем обойти массивы, не сливая их. Поставим указатели на начало каждого из массивов. Будем увеличивать на единицу тот из них, который указывает на меньший элемент. После <tex>(k - 1)</tex>-ой итерации сравним элементы, на которых стоят указатели. Меньший из них и будет ответом. Таким образом, мы получим <tex>k</tex>-ый элемент за <tex>O(k)</tex> шагов.

=== Еще одно решение ===
В первом массиве выберем элемент c индексом <tex>i = \dfrac{n}{2}</tex> и [[Целочисленный двоичный поиск|бинарным поиском]] найдем во втором массиве позицию <tex>j</tex>, на которой стоит наибольший элемент, меньший <tex>a[i]</tex>. Если <tex>i + j = k - 2</tex>, то мы нашли <tex>k</tex>-ую порядковую статистику {{---}} это элемент <tex>a[i]</tex>. Иначе, если <tex>i + j > k - 2</tex>, то далее тем же способом ищем в массиве <tex>a</tex> в диапазоне индексов <tex>[0, i - 1]</tex>, а если <tex>i + j < k - 2</tex>, то в диапазоне индексов <tex>[i + 1, n - 1]</tex>. Решая задачу таким способом, мы получим асимптотику <tex>O(\log(n) \cdot \log(m))</tex>.

=== Совсем не наивное решение ===
Приведём теперь решение, работающее за время <tex>O(\log(\min(n, m)))</tex>.

Для начала рассмотрим следующую ситуацию: пусть у нас есть элемент <tex>a[i]</tex> из массива <tex>a</tex> и элемент <tex>b[j]</tex> из массива <tex>b</tex> и они связаны неравенством <tex>b[j - 1] < a[i] < b[j]</tex>. Тогда <tex>a[i]</tex> есть <tex>(j + i + 1)</tex>-ый порядковый элемент после слияния массивов. Это объясняется тем, что до <tex>a[i]</tex>-ого элемента идут <tex>j</tex> элементов из массива <tex>b</tex>, <tex>(i+1)</tex> элементов из массива <tex>a</tex> (включая сам элемент <tex>a[i]</tex>). В итоге получаем <tex>j + i + 1</tex>. Принимая это во внимание, будем выбирать <tex>i</tex> и <tex>j</tex> таким образом, чтобы <tex>j + i + 1 = k</tex>.
 
Подведем промежуточный итог:
# Инвариант <tex>j + i = k - 1</tex>
# Если <tex>b[j - 1] < a[i] < b[j]</tex>, то <tex>a[i]</tex> и есть <tex>k</tex>-ая порядковая статистика
# Если <tex>a[i - 1] < b[j] < a[i]</tex>, то <tex>b[j]</tex> и есть <tex>k</tex>-ая порядковая статистика

Итак, если одно из двух последних условий выполняется, то мы нашли нужный элемент. Иначе нам нужно сократить область поиска, как задумывалось в начале. 

Будем использовать <tex>i</tex> и <tex>j</tex> как опорные точки для разделения массивов. Заметим, что если <tex>a[i] < b[j]</tex>, то <tex>a[i] < b[j - 1]</tex> (иначе второе условие бы выполнялось). В таком случае на месте <tex>i</tex>-го элемента может стоять максимум <tex>i + (j - 2) + 2 = (i + j)</tex>-ый порядковый элемент после слияния массивов (так произойдет в случае, когда <tex>a[i] > b[j - 2]</tex>), а значит элемент с номером <tex>i</tex> и все до него в массиве <tex>a</tex> никогда не будут <tex>k</tex>-ой порядковой статистикой. Аналогично элемент с индексом <tex>j</tex> и все элементы, стоящие после него, в массиве <tex>b</tex> никогда не будут ответом, так как после слияния на позиции <tex>j</tex> будет стоять <tex>(i + j + 2)</tex>-ой порядковый элемент, порядковые номера остальных же будут еще больше. Таким образом, далее мы можем продолжать поиск в массиве <tex>a</tex> только в диапазоне индексов <tex>[i + 1, n - 1]</tex>, а в массиве <tex>b</tex> {{---}} <tex>[0, j - 1]</tex>. По аналогии, если <tex>b[j] < a[i]</tex>, то <tex>b[j] < a[i - 1]</tex> (иначе выполнялось бы третье условие). Аналогичными рассуждениями приходим к тому, что в таком случае дальнейший поиск нужно осуществлять в массиве <tex>a</tex> в диапазоне <tex>[0, i - 1]</tex>, в массиве <tex>b</tex> {{---}} <tex>[j + 1, m - 1]</tex>. 

Стоит отметить, что нам не нужно рассматривать элементы, стоящие и в том, и в другом массивах на позициях от <tex>k</tex>-ой до конца (если такие есть), так как они тоже никогда не будут ответом. Поэтому первый раз запускаем нашу функцию от параметров <tex>\mathtt{findKthOrderStatistic}(a, \min(n, k), b, \min(m, k), k)</tex>.
  
 '''int''' findKthOrderStatistic('''int*''' a, '''int''' n, '''int*''' b, '''int''' m, '''int''' k): 
   '''if''' n == 1 <font color=green>// в этом случае можно сразу дать ответ </font>
     '''if''' b[k - 1] < a[0]
       '''return''' b[k - 1]
     '''else if ''' a[0] < b[k - 2]
       '''return''' b[k - 2]
     '''else'''
       '''return''' a[0]
   '''if''' m == 1 <font color=green>// симметричен случаю с n = 1 </font>
       '''return''' findKthOrderStatistic(b, m, a, n, k)
   '''int''' i = n / 2
   '''int''' j = (k - 1) - i <font color=green>// j > 0, так как i <= (k / 2) </font>
   '''if''' j >= m
     '''return''' findKthOrderStatistic(a + i + 1, n - i - 1, b, m, k - i - 1)
   <font color=green>// чтобы сохранить инвариант, сделаем a[-1] = -INF и b[-1] = -INF </font>
   '''int''' aiLeft = ((i == 0) ? INT_MIN : a[i - 1])
   '''int''' bjLeft = ((j == 0) ? INT_MIN : b[j - 1])
   '''if''' bjLeft < a[i] '''and''' a[i] < b[j]
     '''return''' a[i]
   '''else if''' aiLeft < b[j] '''and''' b[j] < a[i]
     '''return''' b[j]
   '''if''' a[i] < b[j]
     '''return''' findKthOrderStatistic(a + i + 1, n - i - 1, b, j, k - i - 1)
   '''else'''
     '''return''' findKthOrderStatistic(a, i, b + j + 1, m - j - 1, k - j - 1)

Чтобы алгоритм работал за <tex>O(\log(\min(n, m)))</tex>, будем передавать первым массивом в функцию тот, длина которого меньше. Тогда  длина рассматриваемой области первого массива на каждой итерации уменьшается в два раза. После того, как она станет равна единице, ответ можно будет получить за несколько сравнений.

==См. также==
* [[Сортировка слиянием|Сортировка слиянием]]
* [[Быстрая сортировка|Быстрая сортировка]]
* [[Поиск k-ой порядковой статистики за линейное время|Поиск k-ой порядковой статистики за линейное время]]
== Источники информации ==
* [http://articles.leetcode.com/2011/01/find-k-th-smallest-element-in-union-of.html LeetCode {{---}} Find the k-th Smallest Element in the Union of Two Sorted Arrays]
* [http://dcsobral.blogspot.ru/2011/05/cute-algorithm.html Blogspot {{---}} A Cute Algorithm]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]
[[Категория: Другие сортировки]]