Просмотр исходного текста страницы Построение компонент рёберной двусвязности

Построение компонент реберной двусвязности будет осуществляться с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]].

== Двупроходный алгоритм ==

Первый способ найти искомые компоненты {{---}} сначала определить критерий перехода в новую [[Отношение реберной двусвязности#Компоненты реберной двусвязности|компоненту реберной двусвязности]], а затем покрасить вершины графа в нужные цвета.

Определим критерий перехода к новой компоненте.
Воспользуемся ранее доказанной [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммой]]. Получается {{---}} перешли по мосту, следовательно началась новая компонента.

'''Первый проход:''' запустим [[Использование обхода в глубину для поиска мостов|алгоритм для поиска мостов]], чтобы посчитать две величины: <tex>tin(v)</tex> и <tex>up(v)</tex>.

'''Второй проход:''' окрашиваем вершины, т.е. если перешли по мосту, то оказались в новой компоненте реберной двусвязности.

=== Псевдокод второго прохода ===
* В переменной <tex>\mathtt{color}</tex> хранится цвет текущей компоненты.
* <tex>\mathtt{maxColor}</tex> изначально равен <tex>0</tex>, что эквивалентно тому, что никакая компонента не окрашена.

 '''function''' paint(<tex>v</tex>, color):
   colors[<tex>v</tex>] = color
   '''for''' <tex>(u, v) \in E</tex>:
     '''if''' colors[<tex>u</tex>] == 0:
       '''if''' up[<tex>u</tex>] > tin[<tex>v</tex>]:
         maxColor++
         paint(<tex>u</tex>, maxColor)
       '''else''':
         paint(<tex>u</tex>, color)

 '''function''' solve():
   '''for''' <tex>v \in V</tex> :
     colors[<tex>v</tex>] = 0
     '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
       dfs(<tex>v</tex>)
   maxColor = 0
   '''for''' <tex>v \in V</tex> :
     '''if''' colors[<tex>v</tex>] == 0:
       maxColor++
       paint(<tex>v</tex>, maxColor)

Вершины каждой из компонент реберной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.

Время работы алгоритма будет время работы двух запусков dfs, то есть  <tex>2 \cdot O(|V| + |E|)</tex>, что есть  <tex> O(|V| + |E|)</tex>.

== Однопроходный алгоритм ==


Однопроходный алгоритм строится на базе алгоритма поиска мостов. Во-первых, создадим глобальный [[Стек|стек]], и при спуске по дереву <tex> dfs </tex> добавляем в него вершины. Во-вторых, когда возвращаемся назад, проверяем не является ли ребро мостом (при помощи [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммы]]). Если это так, то все вершины, находящиеся до текущего потомка в стеке, принадлежат одной компоненте.Заметим, что эта компонента будет висячей вершиной в дереве блоков и мостов, так как обходили граф поиском в глубину. Значит, ее можно выкинуть и продолжить поиск в оставшемся графе. Действуя по аналогии в получившемся графе, найдем оставшиеся компоненты реберной двусвязности.

=== Псевдокод ===

 '''function''' paint(<tex>v</tex>):
   maxColor++
   last = -1
   '''while''' last != <tex>v</tex> '''and''' '''not''' stack.empty()
     colors[stack.top()] = maxColor
     last = stack.top()
     stack.pop()

 '''function''' dfs(<tex> v </tex>)
   time =  time + 1
   stack.push(<tex>v</tex>)
   tin[<tex>v</tex>] = time
   up[<tex>v</tex>] = time
   '''for''' <tex> (v, u) \in E</tex>:
     '''if''' <tex>(v, u)</tex> — обратное ребро
       up[<tex>v</tex>] = min(up[<tex>v</tex>], tin[<tex>u</tex>])
     '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
       dfs(<tex>u</tex>)
       up[<tex>v</tex>] = min(up[<tex>v</tex>], up[<tex>u</tex>])
       '''if''' up[<tex>u</tex>] > tin[<tex>v</tex>] 
         paint(<tex>u</tex>) 

Так же после вызова dfs нужно не забыть в конце вызвать ещё раз paint.

Теперь две вершины имеют одинаковый цвет тогда и только тогда, когда они принадлежат одной компоненте реберной двусвязности.

Время работы dfs <tex> O(|V| + |E|)</tex>. Покраска за <tex> O(|V|) </tex>.
Итоговое время работы алгоритма <tex> O(|V| + |E|)</tex>.

== См. также ==
* [[Построение компонент вершинной двусвязности]]
* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]]

== Источники информации ==
* ''Седжвик Р.'' Фундаментальные алгоритмы на C++. Часть 5: Алгоритмы на графах. Пер. с англ. — СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. — С. 123-128
* ''Кузнецов В.А., Караваев. А.М.'' "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/bridges-2001| Визуализация {{---}} Построение компонент реберной двусзяности]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обход в глубину]]