Просмотр исходного текста страницы Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

== Описание ==
Алгоритм Томпсона строит по [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] эквивалентный [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] следующим образом:
* Начало.
* '''Шаг 1.''' Помещаем в очередь <tex>Q</tex> множество, состоящее только из стартовой вершины.
* '''Шаг 2.''' Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия:
** Достаем из очереди множество, назовем его <tex>q</tex>
** Для всех <tex>c \in \Sigma</tex> посмотрим в какое состояние ведет переход по символу <tex>c</tex> из каждого состояния в <tex>q</tex>. Полученное множество состояний положим в очередь <tex>Q</tex> только если оно не лежало там раньше. Каждое такое множество в итоговом ДКА будет отдельной вершиной, в которую будут вести переходы по соответствующим символам.
** Если в множестве <tex>q</tex> хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной.
* Конец.

== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==

Пусть нам дан произвольный НКА: <tex>\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to 2^Q \rangle</tex>.

Построим по нему следующий ДКА: <tex>\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle</tex>, где:
# <tex>Q_d = \{q_d \mid q_d \subset 2^Q \}</tex>,
# <tex>s_d = \{s\}</tex>,
# <tex>T_d = \{q \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q\}</tex>,
# <tex>\delta_d(q, c) = \bigcup_{a \in q} \delta(a, c)</tex>.

===Доказательство эквивалентности===
{{Теорема
|statement=
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.
|proof=
#Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА. Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash^* \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>. Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>. Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leqslant m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash^* \langle {u_d}_i, w_{i + 1} \dots w_m\rangle</tex>. Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
#Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА. Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash^* \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>. Проверим, что НКА тоже принимает это слово. Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКА принимает это слово. 
Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА, совпадают, то есть они эквивалентны.
}}

== Алгоритм Томпсона ==
Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Будем использовать вышеуказанный способ построения с одним дополнением {{---}} не будем учитывать состояния недостижимые из стартового.
Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

===Алгоритм===
* <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА. 
* <tex>\mathtt{Q_d}</tex> {{---}} массив множеств, соответствующих состояниям ДКА.
* <tex>\mathtt{s}</tex> {{---}} стартовое состояние НКА.
 '''Automaton''' getDFAbyNFA(<tex>\langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex> : '''Automaton'''):
    <tex>P</tex>.push(<tex>\{s\}</tex>)
    <tex>Q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
    '''while''' <tex>P</tex> <tex> \neq </tex> <tex>\varnothing </tex>
       <tex>P</tex>.pop(<tex>p_d</tex>)
       '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
          <tex>q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
          '''for''' <tex>p \in p_d</tex>
             <tex>q_d</tex> = <tex>q_d \cup \{ \delta(p, c) \}</tex>
          <tex>\delta_d(p_d, q_d)</tex> = <tex>c</tex>
          '''if''' <tex>q_d \notin Q_d</tex>
             <tex>P</tex>.push(<tex>q_d</tex>)
             <tex>Q_d</tex>.add(<tex>q_d</tex>)           
    <tex>T_d</tex> = <tex>\{q_d \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q_d\}</tex>
    '''return''' <tex>\langle \Sigma, Q_d, \{s\}, T_d, \delta_d \rangle</tex>

===Асимптотика===
Так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем <tex>2^n</tex>, а каждое подмножество мы обрабатываем ровно один раз за время <tex>O(n)</tex>, получаем верхнюю оценку времени работы алгоритма {{---}} <tex>O(n \cdot 2^n)</tex>.

===Пример===
Пусть нам дан [[Недетерминированные конечные автоматы|недетерминированный конечный автомат]]: 

[[Файл:DKA.png|250px]]

По нашему заданию эквивалентного ДКА мы получаем: 

[[Файл:NKA_definition.png|250px]]

#Помещаем в очередь множество из одной стартовой вершины — <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\{1\}\}</tex>.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, a) = \{1, 2\}</tex>, кладём множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь: <tex>Q = \{\{1, 2\}\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, b) = \{1\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1, 2\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, a) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, b) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Помечаем все терминальные вершины, в данном случае — <tex>\{1, 2\}</tex>.

В итоге получаем ДКА, эквивалентный исходному: 

[[Файл:NKA_algorithm.png|250px]].

== См. также ==

* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]
* [[Минимизация ДКА, алгоритм за O(n^2) с построением пар различимых состояний]]
* [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]]

== Источники информации ==
* ''Серебряков В.А.'' Теория и реализация языков программирования. М.: МЗ-Пресс, 2003 (1-е изд.) и 2006 (2-е изд) — С. 294. — ISBN 5-94073-094-9

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]