Просмотр исходного текста страницы Предел отображения в метрическом пространстве

{{В разработке}}

== Подмножества метрического пространства ==

Если <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} [[метрическое пространство]], то <tex>\forall\ Y \subset X : (Y, \rho)</tex>, очевидно, тоже метрическое пространство.

== Окрестность точки в метрическом пространстве ==

{{Определение
|definition = 
Пусть <tex>x \in A</tex>. Тогда <tex>A</tex> {{---}} '''окрестность''' точки <tex>x</tex>, если существует открытый шар <tex>V: x \in V \subset A </tex>. При этом <tex>A \backslash \{x\}</tex> называется '''проколотой окрестностью''' точки <tex>x</tex>.
}}

Окрестность точки <tex>x</tex> обозначается как <tex>O(x)</tex>, ее проколотая окрестность {{---}} <tex>\dot{O}(x)</tex>.

=== Примеры ===

* Любой открытый шар <tex> V_r(x) </tex> является окрестностью точки <tex>x</tex>.

* Числовая прямая {{---}} окрестность любого числа.

== Предельная точка ==

{{Определение
|definition = 
Рассмотрим <tex>A \subset X</tex>. Тогда <tex>b \in X</tex> {{---}} '''предельная точка''' для <tex>A</tex>, если в любой окрестности <tex>O(b)</tex> содержится бесконечное число точек, принадлежащих <tex>A</tex>.
}}

=== Пример(ы) ===

#<tex> X = \mathbb R, A = (0; 1);\ 0 \notin A</tex>, <tex>0</tex> {{---}} предельная точка(как и <tex>1</tex>, например).

== Предел отображения ==
{{Определение
|definition = 
Пусть даны два метрических пространства <tex> (X,\rho) </tex> и <tex> (Y, \tilde \rho) </tex>, <tex> A \subset X</tex> и <tex>\ a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>. Пусть <tex> f: A \rightarrow Y </tex>.
* Тогда <tex> b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y</tex> , если <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho(x, a) < \delta \Rightarrow \tilde \rho(f(x), b) < \varepsilon </tex>.
}}

Так как <tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, то у нас есть гарантии, что <tex>0 < \rho(x, a) < \delta</tex> выполнимо для бесконечного числа точек <tex> x \in A</tex>. Отметим: если <tex>a \in A</tex>, то <tex>f(a)</tex> нас не интересует.

=== Пример(ы) ===
<tex>X = Y = \mathbb R, f: (a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a</tex> {{---}} предельная точка.
Тогда <tex> \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = b\ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon </tex>.

{{Определение
|definition= 
Если при <tex>a \in A выполняется \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)</tex>, тогда говорят, что отображение <tex>f</tex> '''непрерывно''' в точке <tex>a</tex>.
}}

== Предел сложного отображения == 
Если <tex>f</tex> имеет предел, то в ситуации общих МП:

{{Теорема
|about=
предел сложного отображения
|statement=
 Пусть даны 3 МП: <tex> X, Y, Z</tex>, у каждого своя метрика; <tex> A \subset X,\ B \subset Y</tex>.
 
Пусть также заданы отображения

<tex>f: A \rightarrow B, \qquad g: B \rightarrow Z </tex>

<tex> (f(x) \ne b \forall x \in A) </tex>

<tex>a</tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>, <tex>b</tex> {{---}} предельная точка B, при этом:

<tex> b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) </tex>

Пусть <tex>z(x) = g(f(x)) </tex>

Тогда утверждается, что <tex> \lim\limits_{x \rightarrow a} z(x) = d </tex>. Если вы дочитали условие до этого места, возьмите с полки пирожок.   _о_
|proof=
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g(y), d) < \varepsilon \\
\forall \delta_1 > 0 \, \exists \delta > 0 : 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>
:<tex>f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 </tex>, а тогда <tex>y = f(x) </tex>
:<tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d </tex>( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции)
}}

Итак, сложная фукнция от двух непрерывных {{---}} непрерывна.

== Некоторые непрерывные отображения ==
{{Теорема
|statement=
Пусть задана <tex> f: X \rightarrow R_+, f(x) = \rho(x, a)  </tex>
Проверим, что  <tex> \forall x_0\ f(x_0) </tex> - непрерывное отображение.
|proof=
Воспользуемся свойством метрического пространства - неравенством треугольника:

<tex> \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_2, a) - \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, x_1)</tex> 

<tex> \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, x_2)</tex> 

Отсюда, <tex> |\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| \le \rho(x_2, x_1) </tex>.

<tex> f(x_2) = \rho(x_2, a), f(x_1) = \rho(x_1, a)</tex>, значит, <tex> |f(x_2) - f(x_1)| \le \rho(x_2, x_1) </tex>

Полагаем в этом неравенстве <tex> x_1 = x, x_2 = x_0 </tex> и обращаемся к определению непрерывного отображения:

<tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta: 0 < \rho(x, x_0) < \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x)| < \varepsilon</tex>
Из неравенства напрямую следует, что условие выполняется при <tex> \delta = \varepsilon</tex>, поэтому <tex> \forall x_0 \Rightarrow f(x_0) </tex> непрерывна.
}}

{{Определение
|definition=
<tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a) </tex> - расстояние от x до A.
}}

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall x_0\ f(x_0) = \rho(x_0, A) </tex> - непрерывна.
|proof=
<tex> f(x_1) \le \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, a) + \rho(x_2, x_1) </tex>

По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists a^* \in A: \rho(x, a^*) < \rho(x, A) + \varepsilon</tex>, значит, <tex>f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \varepsilon + \rho(x_2, x_1) </tex>.

Делая предельный переход при <tex> \varepsilon \rightarrow 0</tex>, получаем неравенство 
<tex> f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1) </tex>.

Аналогично, <tex> f(x_2) \le \rho(x_1, A) + \rho(x_1, x_2) </tex>.

Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему доказательству непрерывности.

}}

{{Теорема
|statement=
Пусть F - замкнуто. Тогда <tex>x \in F \Leftrightarrow \rho(x, F) = 0 </tex>
|proof=
<tex> \Rightarrow </tex>:
: <tex> \rho(x, F) = \inf\limits_{a \in F} \rho(x, a) </tex>.
: Но <tex> x \in F</tex>, а <tex> \rho(x, x) = 0 </tex>, по определению <tex> \rho >= 0 </tex>, значит, <tex> \rho(x, F) = 0, </tex>
<tex> \Leftarrow </tex>:
: Пусть <tex> x \notin F </tex>, тогда <tex>x \in X \backslash F = G = \bigcup\limits_{\alpha}{V_{r_\alpha}(x_{\alpha}})</tex>.
: Значит, <tex> x \in V_r(y) </tex> и <tex> \rho(x, y) < r</tex>, <tex> F \bigcap V = \varnothing</tex>.
: Но, так как <tex>\rho(x, F) = 0</tex>, то <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists a \in F: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>. 

: По неравенству треугольника, <tex> \rho(y, a) < \rho(y, x) + \rho(x, a) < r + \varepsilon </tex>. При <tex>\varepsilon \rightarrow 0</tex> получаем, что <tex> \rho(y, a) < r </tex>, значит, точка <tex> a </tex> принадлежит открытому шару, значит <tex> F \bigcap V \ne \varnothing</tex>, получили противоречие.
}}

{{Теорема
|about=
о нормальности МП
|statement=
Любое МП - нормальное.

Пусть <tex> (X, \rho) </tex> - МП. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing , F_1, F_2</tex> - замкнутые <tex> \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_1 \subset G_1, F_2 \subset G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
|proof=
<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество(это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).
: <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) </tex>
: <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>, ч.т.д.
}}

{{Теорема
|about=топологическое определение непрерывности
|statement=
Пусть у нас есть <tex> f :(X, \rho) \to (Y, \rho), </tex> тогда
<tex> f </tex> - непрерывная  <tex> \iff </tex> прообраз  любого открытого множества открыт.
|proof=
1.Докажем в одну сторону 
Рассмотрим открытое множество G в У.
Рассмотрим произвольную точку f(p) из G.
Так как G открытое то <tex> \exists \varepsilon >0 : V_\varepsilon(f(p)) \in G </tex>
По непрерывности <tex> \exists \delta : x \in V_\delta(p) \Rightarrow f(x) \in V_\varepsilon(f(p)) </tex>
Подберем такое <tex> \delta </tex>
Из выше сказанного следует что <tex> V_\delta(p) \in f^-1(p) </tex>.
<tex> \delta </tex>  можно найти для любого p значит прообраз открыт    
}}
Замечание: так как замкнутые множества являются дополнениями открытых, то отсюда напрямую следует, что прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут.

== Свойства непрерывных отображений. Определение компакта ==
{{Определение
|definition=
Множество ''ограниченное'', если его можно поместить в шар.
}}
1)
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} МП. <tex> K \in X </tex> является '''компактом''' в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> x_n: \lim x_n \in K </tex>.
}}
<tex> [a, b] </tex> на <tex> \mathbb{R} </tex> - классический пример.
{{Утверждение
|statement = Легко видеть что если K {{---}} компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Обратное в общем случае не верно.
|proof = 
Докажем от противного.

Предположим, что K неограниченное.
То есть <tex> \forall x \in K, \forall\varepsilon > 0 \exists x_1 \in K : \rho (x, x_1) > \varepsilon</tex>.

Тогда мы можем построить последовательность из таких точек <tex>x_i: \rho (x_i, x_{i+1}) > \varepsilon</tex>.

Эта последовательность неограниченна и из нее нельзя выделить сходящуюся. Но К {{---}} компакт, получили противоречие с определением компакта.
То, что K {{---}} замкнутое, следует из основного характеристического свойства замкнутых множеств.
}}



2)
{{Определение
|definition=
<tex> A \in X </tex> является связным, если нельзя подобрать пару имеющих хотя бы одну общую точку с <tex>A</tex> множеств <tex> G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) </tex>
}}
Например, любой промежуток на R - связное множество.

{{Теорема
|about=
свойство связанного множества на вещественной оси
|statement=
Вместе с парой точек оно содержит отрезок с концами в этих точках.
Пусть A - связное в R. Пусть <tex> a, b \in A </tex>. Если <tex> \forall c \in (a, b): c \in A </tex>, свойство верно.
|proof=
<tex> G_1 \cup G_2 = R \backslash \{c\}, c \in A. A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) \Rightarrow A </tex> не связно, получили противоречие, <tex> c \in A </tex>, ч.т.д.
}}

Эти классы определены, т.к:
{{Теорема
|statement=
Пусть K - компакт в <tex> (X, \rho); f:  K \rightarrow (Y, \rho'), f </tex> {{---}} непрерывное отображение. Тогда <tex>f(K) </tex> - компакт в <tex> (Y, \rho') </tex> (непрерывный образ компакта {{---}} компакт).
|proof=
Рассмотрим <tex> y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K </tex>.
<tex> \exists x_{n_k} \rightarrow x \in K </tex>. По непрерывности <tex> f(K): y_{n_k} = f(x_{n_k}) \rightarrow y = f(x) \in f(K) </tex>, ч.т.д.
}}

== Равномерно непрерывные отображения ==
{{Определение
|definition=
Пусть заданы МП: <tex> (X, \rho), (Y, \rho'), E \subset X</tex>. Тогда <tex> f: E -> Y</tex> {{---}} '''равномерно непрерывное отображение''', если
<tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: \forall x{'}, x{''} \in E:\ \rho(x{'}, x{''}) < \delta \Rightarrow \rho'(f(x{'}), f(x{''})) < \varepsilon</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
Отображение, равномерно непрерывное на <tex> E </tex>, непрерывно в любой точке <tex> a </tex> множества <tex> E </tex>.
|proof=
Достаточно положить <tex> x = x{'}, a = x{''} </tex>, тогда отображение будет непрерывным по определению.
}}
Замечание: обратное в общем случае неверно. 

Например, пусть <tex> X = Y = \mathbb R, E = (0, 1), f(x) = \sin(\frac1x)</tex> - непрерывная функция.

Положим <tex> x{'}_n = \frac1{\pi n}, x{''}_n = \frac1{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} </tex>.
Тогда <tex> |x{'}_n - x{''}_n| \rightarrow 0 </tex>, но <tex> |f(x{'}_n) - f(x{''}_n)| \rightarrow 1 </tex>, значит, <tex> f(x) </tex> - не равномерно непрерывное отображение.

{{Теорема
|author=
Кантор
|statement=
Пусть даны МП <tex> (X, \rho), (Y, \rho)</tex>, <tex> K \subset X</tex> - компакт, <tex> f: K \rightarrow Y </tex> - непрерывное отображение. Тогда <tex> f </tex> также и равномерно непрерывное на <tex> K </tex>.
|proof=
Допустим, что это не так. Тогда, по логическому отрицанию: <tex>\exists \varepsilon_0 > 0~ \, \forall \delta > 0~ \exists {x'}_\delta, {x''}_\delta \in K: \rho({x'}_\delta, {x''}_\delta) < \delta ; \rho(f({x'}_\delta), f({x''}_\delta)) \ge \varepsilon_0;  </tex>

Рассмотрим:<tex>  \partial_{n}=\frac{1}{n}: {x}'_{n}={x}'_{\partial_{n}},  {x}''_{n}={x}''_{\partial_{n}}, \rho({x}''_{n},{x}'_{n})< \frac{1}{n}; \rho(f({x}''_{n}),f({x}'_{n}))\geq \varepsilon _{0}</tex>

т.к. K {{---}} компакт, т.е. в послед <tex>{x}'_{n}</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность меньшую <tex>\frac{1}{{n}'_{k}}</tex>следовательно стремящуюся к нулю.

<tex>{x}'_{n_{k}} \rightarrow  x\in K</tex>

<tex>\rho ({x}''_{n_{k}},x)< \rho ({x}''_{n_{k}},{x}'_{n_{k}}) + \rho ({x}'_{n_{k}},x) \rightarrow 0</tex>

<tex>{x}''_{n_{k}}\rightarrow x</tex> т.к. f {{---}} непрерывна  на K, из получаем <tex>f({x}'_{n_{k}})\rightarrow f(x)</tex>, значит растояние между ними стремится к нулю: противоречие. Как то так.
}}

'''Частный случай: <tex>[a,b]\subset \mathbb{R}, f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</tex>'''

по т. Кантора f {{---}} равномерно и непрерывна на <tex>[a,b]</tex> т.е.

<tex>\forall \varepsilon > 0   \exists \delta > 0 : \left | \bigtriangleup x \right | < \delta ; x, x+ \bigtriangleup x \in [a,b] \rightarrow \left | f(x+ \bigtriangleup x)-f(x) \right |<\varepsilon </tex>

{{Теорема
|statement=
Непрерывный образ связного множества связен.
|proof=
A {{---}} связно в X,
f(a) {{---}} непрерывный образ,
<tex> \sqsupset f(A) </tex> {{---}} не связно <tex>\Rightarrow G_{1}\cap G_{2} = \varnothing </tex> в Y <tex>; G_{1}\cap G_{2} </tex> - открытые множества

<tex>f(A)\subset G_{1}\cup  G_{2}</tex>

<tex>A\subset f^{-1}(G_{1})\cup f^{-1}(G_{2})</tex>

прообразы открытых множеств открыты, оба они входят в A, а значит A {{---}} не связно {{---}} противоречие.
}}

{{Теорема
|author=
Коши
|about=
о промежуточных значениях функции
|statement=
Пусть <tex> f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [a; b], f(a) = A, f(b) = B</tex>, для определенности считаем, что <tex> A < B </tex>.
Тогда <tex> \forall D: A < D < B\ \exists d \in (a; b): f(d) = D </tex>.
|proof=
Поскольку отрезок <tex> [a; b] </tex> {{---}} связное множество, значит, его образ <tex> f([a; b]) </tex> при непрерывном отображении связен. По свойству связных на <tex> R </tex> множеств, так как <tex> A, B \in f([a; b]) </tex>, то и <tex> [A; B] \in f([a; b]) </tex>. Значит, для любого <tex> D \in [A; B] </tex> соответствующий прообраз <tex> d </tex> найдется.
}}

{{Теорема
|id=
weirstrass
|author=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть <tex> f: K \rightarrow \mathbb R </tex> {{---}} непрерывная функция на компакте <tex> K </tex>.
Тогда существуют такие <tex> x_1, x_2 </tex>, что <tex> f(x_1) = \inf\limits_{K}f, f(x_2) = \sup\limits_{K}f </tex>.
|proof=
Пусть <math>f(x)</math> — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте <math>A</math>), <math>M = \sup_A f</math>. Возьмём последовательность чисел <math>a_m</math> таких, что <math>\lim a_m = M</math> и <math>a_m < M</math>. Для каждого <math>m</math> найдётся точка <math>x_m</math>, такая что
<math>a_m < f(x_m)</math>. Имеем дело с компактом, поэтому, согласно [[Теорема Больцано — Вейерштрасса|теореме Больцано — Вейерштрасса]] из последовательности <math>x_m</math> можно выделить сходящуюся последовательность <math>\{x_{m_k}\}</math>, предел которой лежит в <math>A</math>.

Для любого <math>x_m</math> справедливо <math>a_m < f(x_{m_k}) < M</math>, поэтому, применяя [[предельный переход]], получаем <math>\lim f(x_{m_k}) = M</math> и в силу непрерывности функции существует точка <math>x_0</math> такая, что <math>\lim f(x_{m_k}) = f(x_0)</math> и, следовательно <math>M = f(x_0)</math>.

Таким образом функция <math>f(x)</math> ограничена и достигает своей верхней грани при <math>x = x_0</math>. Аналогично и для нижней грани.
}}

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]