Просмотр исходного текста страницы Представление функции класса DM с помощью медианы

{{Теорема
 |statement= Любую монотонную самодвойственную [[Определение булевой функции|булеву функцию]] (self-'''D'''ual, '''M'''onotone) можно представить как некоторую [[Суперпозиции|суперпозицию]] функции медианы(majority function, median operator).
 |proof= 
Единственная унарная функция из класса DM {{---}} проектор. С помощью медианы её  можно выразить так: 
<tex>  P_1(x) = \langle x, x, x\rangle  </tex>. 

Бинарных функций из класса DM всего две.
Рассмотрим эти функции :
#<tex> ~f(0,0) < f(1,1)</tex> и <tex> f(0,0) = \lnot f(1,1)</tex>, следовательно, <tex> f(0,0)=0</tex> и <tex> f(1,1)=1 </tex>
#<tex> ~f(0,1) = \lnot f(1,0)</tex>
Из первого и второго пункта видно, что  подходят только проекторы {{---}} <tex> P_1,P_2 </tex>

Теперь покажем, как эти функции можно представить с помощью медианы :

<tex>  P_1 = \langle  x, x, y \rangle, P_2 = \langle  x, y, y\rangle</tex>.



Только четыре тернарные  функции принадлежат классу DM. Рассмотрим эти функции :

Заметим, что для всех таких функций
 
<tex> f(0,0,0) < f(1,1,1)</tex> и <tex> f(0,0,0) = \lnot f(1,1,1), </tex> следовательно <tex>, f(0,0,0) = 0 </tex> и <tex> f(1,1,1) = 1 </tex>

#<tex>f(1,0,0)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(0,1,1) = \lnot f(1,0,0) = 0 
\\ f(0,0,1) = f(0,1,0)= 0 
\\ f(1,0,1) = f(1,1,0) = 1
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=P_1 </tex> &nbsp;
#<tex>f(0,1,0)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,0,1) = \lnot f(0,1,0) = 0 
\\ f(0,0,1) = f(1,0,0)= 0 
\\ f(1,1,0) = f(0,1,1)= 1
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=P_2 </tex> &nbsp;
#<tex>f(0,0,1)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,1,0) = \lnot f(1,0,0) = 0 
\\ f(1,0,0) = f(0,1,0) = 0 
\\ f(1,0,1) = f(0,1,1) = 1
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=P_3 </tex> 
#<tex>f(1,0,0) = f(0,1,0) = f(0,0,1) = 0, </tex> следовательно, <tex> f = \langle x_1,x_2,x_3\rangle  </tex> 
Покажем как эти функции представляются с помощью медианы :
#<tex> P_1 = \langle x, x, y\rangle </tex>
#<tex> P_2 = \langle x, y, y\rangle </tex> 
#<tex> P_3 = \langle x, z, z\rangle  </tex>.



Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию <tex> f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} </tex> для <tex> n > 3 </tex>. Обозначим аргументы <tex> x_4, x_5 \dots x_n </tex> за <tex> \bar x </tex>, то есть <tex> f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) </tex>. Тогда введем три функции от <tex>n - 1</tex> аргумента :
: <tex> f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) </tex>
: <tex> f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) </tex>
: <tex> f_3(x_3, x_1, \bar x) = f(x_1, x_1, x_3, \bar x) </tex>
Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения <tex>f</tex>, и <tex>f</tex> можно выразить одной из функций <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>, так как два из трех аргументов точно совпадут. Теперь выразим <tex>f</tex> через <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> :
: <tex> f(x_1 \dots x_n) = \langle f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x) \rangle  </tex>
#Все три аргумента равны : <tex> x_1 = x_2 = x_3 </tex>, тогда, очевидно, что равенство выполняется.
#Равны два аргумента : <tex> x_1 = x_2 \ne x_3 </tex>  (случаи <tex> x_1 = x_3 \ne x_2 </tex> и <tex> x_2 = x_3 \ne x_1 </tex> доказываются аналогично). Тогда :
::<tex> f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex> f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)</tex>, <tex>f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex>f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>.Рассмотрим два случая :
:::*<tex> x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.</tex> <br> Тогда можно упорядочить <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности):<br> <tex> f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) </tex>. Так как <tex> f(0, 0, 1, \bar x) </tex>  зажато  между двумя остальными функциями, то она и будет медианой <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>.
:::*<tex> x_1 = x_2 = 1, x_3 = 0 </tex>. Доказывается аналогично.

}}
== Ссылки ==
* [http://oeis.org/A001206 Количество  монотонных самодвойственных булевых функций от n аргументов].

* [http://math.stackexchange.com/questions/5523/monotone-self-dual-boolean-functions-clone Monotone self-dual boolean functions clone].
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Булевы функции]]