Просмотр исходного текста страницы Производные и дифференциалы высших порядков

{{В разработке}}

== Определение ==

{{Определение
|definition =
Производные и дифференциалы высших порядков вводятся индуктивно:
* <tex>f^{(n + 1)} = (f^{(n)})'</tex>
* <tex>f^{(0)} = f</tex>
}}

<tex>d^{n + 1}f = d(d^n f)</tex>. Внешнее дифференцирование осуществляется при фиксированном
значении независимой переменной.

<tex>df = f'(x)dx</tex><br>
<tex>d^2f = d(f'(x) dx) = f^{(2)}(x) dx^2</tex><br>
<tex>d^n f(x) = f^{(n)}(x)dx^n</tex><br>

== Инвариантность формы записи == 

<tex>df(x) = f'(x) dx,\ x = \phi(t),\ F(t) = f(\phi(t))</tex><br>
<tex>dF = [f(\phi(t))]' dt = f'(x) \phi'(t) dt</tex><br>
<tex>dx = \phi'(t) dt,\ df = dF</tex><br>

Чтобы найти дифференциал сложной [[Отображения|функции]], достаточно найти дифференциал внешней 
функции, приращение независимой переменной <tex>x</tex> трактовать как приращение зависимой
и раскрыть его.

=== Инвариантность формы записи дифференциалов первого порядка ===
==== Пример ====
<tex>f(x) = x^2,\ x = \sin t</tex>

<tex>df = 2x dx,\ dx = \cos t dt</tex>

<tex>dF = 2 \sin t \cos t dt</tex>

=== Инвариантность формы записи дифференциалов второго порядка === 
Однако, уже для второго порядка, это не верно:
<tex>df = f'(x) \phi'(t) dt</tex><br />
<tex>d^2 F = [f'(x) \phi'(t) dt]' dt = </tex><br />
<tex>[f''(x)(\phi'(t))^2 + f'(x) \phi''(t)]dt^2 =  </tex><br />
<tex>f''(x) [\phi'(t) dt]^2 + f''(x) \phi''(t) dt^2 =  </tex><br />
<tex>f''(x)dx^2 + f''_x(x) d^2 x \ne d^2f</tex>

Упс! Инвариантности нет.

== Формула Лейбница == 

Определённое значение имеет так называемая формула Лейбница 
для вычисления <tex>(uv)^{(n)}</tex>:

<tex>(uv)^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n - k)}</tex>.

Эта формула доказывается по индукции аналогично биномиальным коэффициентам.

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]