Просмотр исходного текста страницы Простейшие методы синтеза схем из функциональных элементов

{{Определение

|definition= '''Синтезом [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов|схемы из функциональных элементов]]''' называется процедура получения логической схемы, реализующей заданную логическую функцию.
}}

Приведем несколько простейших алгоритмов синтеза схем, реализующих произвольную функцию от <tex> n </tex> аргументов <tex> f(x_{1}, \ldots, x_{n}) </tex>, в случае когда базис <tex> B = \{\neg, \lor, \land\} </tex>.

==Метод синтеза, основанный на [[СДНФ|совершенной ДНФ]]==

{{Лемма
|id = Lemma1
|about = 1
|statement =Любой конъюнкт в СДНФ можно представить не более, чем <tex> 2n-1 </tex> элементами.
|proof =  [[Файл:Synschemes Lemma1.png|250px|thumb|right|Рис 1. Схема для <tex> \bar{x}_{1}\wedge x_{2}\wedge x_{3} \wedge \bar{x}_{4}</tex>. Сложность построенной схемы <tex>size_{B}(f)=2+3=5\leqslant 7</tex>.]] 
Построим данную схему следующим образом: если <tex> i </tex>-й множитель равен <tex> \bar{x}_{i} </tex>, то присоединяем к выходу <tex> i </tex> элемент отрицания и последовательно присоединяем к элементу конъюнкции, иначе просто присоединяем к "свободному" входу элемента конъюнкции.

Очевидно, что сложность построенной схемы <tex> size_{B}(f)= n+n-1 = 2n-1 </tex>. 

Поэтому <tex> size_{B}(f)\leqslant 2n-1 </tex>.

Приведем пример для <tex> f=\bar{x}_{1}\wedge x_{2}\wedge x_{3} \wedge \bar{x}_{4}</tex> (рис. 1).

}}

{{Теорема
|id = Th1 
|about = 1
|statement = Для любой функции <tex> f(x_{1}, \ldots, x_{n}) </tex> имеет место неравенство <tex> size_{B}(f)\leqslant n2^{n+1} </tex>
|proof = [[Файл:Synschemes Theorem1.png|250px|thumb|right|Рис. 2]]
Пусть <tex> f(x_{1}, \ldots,x_{n}) </tex> {{---}} произвольная [[Определение булевой функции|булева функция]].

Если <tex> f = 0 </tex>, то схема строится в соответствии с представлением <tex> 0=x_{1}\wedge\overline{x}_{1} </tex>, то есть <tex> size_{B}(0) \leqslant 2</tex>.

Если <tex> f \ne 0 </tex>, то <tex> f </tex> может быть задана [[ДНФ|дизъюнктивной нормальной формой]]

::<tex> f(x_{1}, \ldots,x_{n}) = K_{1} \vee K_{2} \vee \ldots \vee K_{s} </tex>,

где <tex> s \leqslant 2^{n} </tex> и каждая конъюнкция имеет вид 

::<tex> K_{j}=x_{1}\wedge\overline{x}_{2}\wedge{x}_{3}\wedge \ldots \wedge{x}_{i} </tex>

Схема <tex> S </tex> для <tex> f </tex> состоит из конъюнкций <tex> K_{j} </tex> (каждая из них в соответствии с  [[#Lemma1|леммой 1]] имеет сложность не более <tex> 2n-1 </tex>) и цепочки из <tex> s-1 </tex> элемента дизъюнкции с <tex> s </tex> свободными входами. Свободные входы этой цепочки присоединяются к выходам схем для конъюнкций <tex> K_{j} </tex>.(рис. 2) Имеем

::<tex> size_{B}(f)\leqslant s\cdot(2n-1)+s-1 < s\cdot(2n-1)+s = 2ns \leqslant n2^{n+1} </tex>.

Таким образом, для любой функции <tex> f(x_{1}, \ldots,x_{n}) </tex> выполняется неравенство 

::<tex> size_{B}(f(x_{1}, \ldots,x_{n}))\leqslant n2^{n+1} </tex>.

Поэтому <tex> size_{B}(f)\leqslant n2^{n+1} </tex>.
}}

==Метод синтеза, основанный на более компактной реализации множества всех конъюнкций==

{{Определение

|definition= <tex> f(n) \sim g(n) </tex> означает, что <tex>f</tex> асимптотически эквивалентна <tex>g</tex>, то есть <tex>\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{f(n)}{g(n)} = 1</tex>
}}

{{Определение
|definition= <tex> f(n) \lesssim g(n) </tex> означает, что <tex>\varlimsup\limits_{n \to \infty}\dfrac{f(n)}{g(n)} \leqslant 1</tex>
}}

{{Определение
|definition= 
Пусть есть булева функция от <tex> n </tex> аргументов <tex> f : \lbrace0, 1\rbrace^n \rightarrow \lbrace0, 1\rbrace </tex> и набор из <tex> n </tex> булевых функций <tex> g_1 \dotsc g_n </tex>, таких что <tex> g_i :\lbrace0, 1\rbrace^{m_i} \rightarrow \lbrace0, 1\rbrace </tex>, где <tex> i=1,\dotsc, n</tex>. Тогда системой булевых функций называется функция <tex> S </tex> от всех аргументов функций <tex> g_i</tex>, которая определяется как 

<tex> S(x_{11},\dotsc,x_{1(m_1)},x_{21},\dotsc,x_{2(m_2)}</tex> <tex>,\dotsc,x_{n1},\dotsc,x_{n(m_n)})</tex><tex>=f(g_1(x_{11},\dotsc,x_{1(m_1)}),g_2(x_{21},\dotsc,x_{2(m_2)}),\dotsc,g_n(x_{n1},\dotsc,x_{n(m_n)}))</tex>
}}
'''Примечание'''

Введем функцию

<tex> x^{\sigma} = \begin{cases} 
    x, \sigma =1;\\
    \overline{x}, \sigma =0
\end{cases}</tex>

{{Лемма
|id = Lemma2
|about = 2
|statement = Пусть <tex> K_{n}(\lbrace x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{n}^{\sigma_{n}} \rbrace^{2^n}_{i=1}) </tex> {{---}} система всех <tex> 2^{n} </tex> конъюнкций <tex> x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}}</tex>, где каждому <tex> i </tex> соответствует свой набор <tex> \lbrace \sigma_{1},\dotsc,\sigma_{n} \rbrace </tex>, тогда для <tex> K_{n} </tex> имеет место соотношение <tex> size_{B}(K_{n}) \sim 2^n </tex>
|proof = [[Файл:Synschemes Lemma2.png|250px|thumb|right|Рис. 3]]
Конъюнкции <tex> x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}}</tex> соответствуют функциям <tex> g </tex> из определения функции,<tex> K_{n} </tex> соответствует функции <tex> S </tex>, а конъюнкция функций <tex> g </tex> соответствует функции <tex> f </tex>.

Заметим, что на вход схемы подается определенный набор аргументов <tex> x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{n}^{\sigma_{n}} </tex>, то есть на выходе схемы будет результат конъюнкции этих аргументов. 

Разделим цепочки конъюнкций на две части. Каждая конъюнкция <tex> x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}} </tex> может быть представлена в виде конъюнкции двух конъюнкций длины <tex> k </tex> и <tex> n-k </tex> (<tex> k </tex> мы выберем позже):

::<tex> x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}} = (x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{k}^{\sigma_{k}})(x_{k+1}^{\sigma_{k+1}}\wedge\dotsc\wedge x_{n}^{\sigma_{n}}) </tex>.

Поэтому схема для <tex> K_{n} </tex> может быть образована из схем для <tex> K_{k}(x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{k}^{\sigma_{k}}) </tex> и <tex> K_{n-k}(x_{k+1}^{\sigma_{k+1}},\dotsc,x_{n}^{\sigma_{n}}) </tex> и системы из <tex> 2^n </tex> элементов конъюнкции, осуществляющих вышеприведенную операцию, как показано в [[#Th1|теореме 1]] (рис. 3). Левая часть схемы считает конъюнкцию переменных <tex> x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{k}^{\sigma_{k}} </tex>, а правая часть - переменных <tex> x_{k+1}^{\sigma_{k+1}},\dotsc,x_{n}^{\sigma_{n}}</tex>. Следовательно,

::<tex> size_{B}(K_{n}) \leqslant size_{B}(K_{k}) + size_{B}(K_{n-k}) + 2^n </tex>.

Так как по [[#Th1|теореме 1]]  <tex> size_{B}(K_{k}) \leqslant k2^{k+1} </tex> , <tex> size_{B}(K_{n-k}) \leqslant (n-k)2^{n-k+1} </tex>,то 

::<tex> size_{B}(K_{n}) \leqslant k2^{k+1} + (n-k)2^{n-k+1} + 2^n </tex>.

Положим <tex> k=[\dfrac{n}{2}]</tex>. Тогда <tex> k \leqslant \dfrac{n}{2} </tex>, <tex> n-k \leqslant \dfrac{n}{2}+1 </tex> и 

::<tex> size_{B}(K_{n}) \leqslant \dfrac{n}{2}2^{\dfrac{n}{2}+1} + (\dfrac{n}{2}+1)2^{\dfrac{n}{2}+2} + 2^n =2^n+O(n2^{\dfrac{n}{2}})</tex>.

С другой стороны, при <tex> n \geqslant 2 </tex> каждая конъюнкция реализуется на выходе некоторого элемента, то есть при <tex> n \geqslant 2 </tex> выполняется неравенство <tex> size_{B}(K_{n}) \geqslant 2^{n} </tex>. Таким образом,

::<tex> size_{B}(K_{n}) \sim 2^n </tex>.
}}

{{Теорема
|id = Th2
|about = 2
|statement =Для любой функции <tex> f(x_{1}, \ldots, x_{n}) </tex> имеет место соотношение <tex> size_{B}(f)\lesssim 2^{n+1} </tex>.
|proof = 
[[Файл:Synschemes_ NewTheorem2.png|400px|thumb|right|В верхней части схемы рис.2 все подсхемы, вычисляющие конъюнкции, заменили на <tex>K_n</tex>]]
Пусть <tex> f(x_{1}, \ldots,x_{n}) </tex> {{---}} произвольная булева функция, <tex> f \ne 0 </tex>. Заменим в схеме (рис. 2) верхнюю часть схемы, реализующую конъюнкции <tex> K_{1} \vee K_{2} \vee \ldots \vee K_{s} </tex>, схемой, реализующей все конъюнкции из <tex> K_{n} </tex>. Тогда для любой такой функции <tex> f(x_{1}, \ldots,x_{n}) </tex> (не равной нулю) имеем

::<tex> size_{B}(f) \leqslant size_{B}(K_{n})+s-1 \leqslant size_{B}(K_{n})+2^{n}-1 \lesssim 2^{n+1} </tex>

Таким образом,

::<tex> size_{B}(f)\lesssim 2^{n+1}. </tex>
}}

==Метод синтеза схем К.Э.Шеннона <ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude Shannon]</ref>==

{{Теорема
|id = Th3
|about = 3
|statement =Для любой функции <tex> f(x_{1}, \ldots, x_{n}) </tex> имеет место соотношение <tex> size_{B}(f)\lesssim 12\dfrac {2^{n}}{n} </tex>.
|proof = [[Файл:Synschemes-Theorem2.png|300px|thumb|right|Рис. 4]]
Пусть <tex> f(x_{1}, \ldots,x_{n}) </tex> {{---}} произвольная булева функция. Рассмотрим разложение <tex> f </tex> по переменным <tex> x_{1}, \ldots,x_{m} </tex>, где <tex> 1 \leqslant m \leqslant n </tex>:

<tex>f(x_{1}, \ldots,x_{n})=\displaystyle\bigvee_{(\sigma_{1},\dotsc,\sigma_{m})}x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{m}^{\sigma_{m}}\wedge f(\sigma_{1},\dotsc,\sigma_{m},x_{m+1},\dotsc,x_{n})  </tex>.

'''Схема для функции <tex> f </tex> строится из трех подсхем: <tex> S_{1},S_{2},S_{3} </tex>. (рис. 4)'''

:1. Система <tex> K_{m} (x_{1}^{\sigma_{1}},\dotsc,x_{m}^{\sigma_{m}}) </tex> содержит всевозможные конъюнкции <tex>x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{m}^{\sigma_{m}}</tex>. И схема  <tex> S_{1} </tex> реализует все эти конъюнкции. В силу [[#Lemma2|леммы 2]] выполняется неравенство

::<tex> size_{B}(S_{1}) \leqslant size_{B}(K_{m}) \lesssim 2^{m} </tex>.

:2. Схема <tex> S_{2} </tex> реализует систему <tex> F(x_{m+1}^{\sigma_{m+1}}, \ldots,x_{n}^{\sigma_{n}}) </tex> всех булевых функций от всевозможных наборов переменных <tex> x_{m+1}, \ldots,x_{n} </tex>. Другими словами, подсхема <tex> S_{2} </tex> вычисляет все булевы функции, зависящие от последних <tex> n - m </tex> переменных. В силу [[#Th1|теоремы 1]]
::<tex> size_{B}(S_{2}) \leqslant (n-m)2^{n-m+1}2^{2^{n-m}} </tex>.

:3. Схема <tex> S_{3} </tex> производит "сборку" в соответствии с разложением функции <tex> f </tex>: для каждого набора <tex> \widetilde{\sigma}=(\sigma_{1},\dotsc,\sigma_{m}) </tex> реализуется конъюнкция

::<tex> x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\dotsc\wedge x_{m}^{\sigma_{m}}\wedge f(\widetilde{\sigma},x_{m+1},\dotsc, x_{n}) </tex> (<tex> 2^{m} </tex> элементов конъюнкции) и образуется дизъюнкция таких конъюнкций (<tex> 2^{m}-1 </tex> элементов дизъюнкции). 

Поэтому выполняется неравенство <tex> size_{B}(S_{3}) \leqslant 2^{m} +2^{m} -1 </tex>. Таким образом,

::<tex> size_{B}(f) \leqslant size_{B}(S_{1})+size_{B}(S_{2})+size_{B}(S_{3}) \lesssim 3 \cdot 2^{m} +(n-m)2^{n-m+1}2^{2^{n-m}} </tex>.

Положим <tex> k=n-m </tex>. Тогда 

::<tex>  size_{B}(f) \lesssim 3 \cdot 2^{n-k} +k2^{k+1}2^{2^{k}} </tex>.

Заметим, что второе слагаемое "очень быстро" растет с ростом <tex> k </tex>, а первое слагаемое убывает с ростом <tex> k </tex> медленней. Поэтому следует взять такое значение <tex> k </tex>, при котором первое и второе слагаемые приблизительно равны, и потом немного уменьшить <tex> k </tex>. Тогда второе слагаемое "сильно" уменьшится, а первое "не очень сильно" возрастет. Возьмем, например, <tex> k=\log_{2}n </tex>. Тогда 

::<tex> 3 \cdot 2^{n-k} = 3 \cdot \dfrac{2^{n}}{n} </tex>,

::<tex> k \cdot 2^{k+1} \cdot 2^{2^{k}}=\log_{2}n\cdot (2n)\cdot 2^{n}</tex>,

то есть получили "слишком много". Возьмем <tex> k </tex> на единицу меньше: <tex> k=\log_{2}n-1 </tex>. Тогда

::<tex> 3 \cdot 2^{n-k} = 3 \cdot \dfrac{2^{n}}{n} \cdot 2 </tex>,

::<tex> k \cdot 2^{k+1} \cdot 2^{2^{k}}=(\log_{2}n-1)\cdot n\cdot 2^{\dfrac{n}{2}}</tex>.

Вспомним теперь, что <tex> k </tex> должно быть целым числом, и положим <tex> k=[\log_{2}n-1] </tex>. Тогда
<tex> n-k < n- \log_{2} + 2</tex>,

::<tex> 3 \cdot 2^{n-k} < 12 \cdot \dfrac {2^{n}}{n} </tex>,

::<tex> k\cdot 2^{k+1}\cdot 2^{2^{k}} \leqslant (\log_{2}-1)\cdot n\cdot 2^{\dfrac{n}{2}} </tex>.

При этом выборе <tex> k </tex> окончательно имеем 

::<tex> size_{B}(n)\lesssim 12\dfrac {2^{n}}{n} </tex>.
}}

	
== См. также ==
*[[Реализация_булевой_функции_схемой_из_функциональных_элементов|Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов]]
*[[Метод_Лупанова_синтеза_схем|Метод Лупанова синтеза схем]]
*[[Контактная_схема|Контактная схема]]
	
== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
* Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. — 4-е изд. — М.: Высшая школа, 2003. — 384 с. — ISBN 5-06-004681-8

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Схемы из функциональных элементов ]]