Просмотр исходного текста страницы Решение уравнений в регулярных выражениях

== Уравнения в регулярных выражениях ==
Поскольку алгебра [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность | регулярных выражений]] является частным случаем алгебры Клини, то и соответствующие уравнения можно рассматривать как уравнения алгебры Клини. Сама эта алгебра классически используется в [[Теория формальных языков | теории формальных языков]], но также была применена к алгоритмам поиска пути в графах<ref>[http://www.researchgate.net/publication/223558454_Regular_algebra_applied_to_language_problems/links/00b7d52caa66919923000000.pdf R.C. Backhouse, B.A. Carre: ''Regular algebra applied to path-finding problems''. J. Institute of Mathematics and its applications '''15''', 161-186 (1975)]</ref>, нахождения выпуклой оболочки<ref>[http://oai.cwi.nl/oai/asset/5015/05015D.pdf K. Clenaghan: ''Calculational graph algorithmics: reconciling two approaches with dynamic algebra''. CWI Amsterdam, Report CS-R9518, 1995]</ref>. В компиляторах она может быть использована для доказательства корректности методик оптимизации циклов<ref>[http://www.cs.cornell.edu/~kozen/papers/opti.pdf M.C. Patron, D. Kozen: ''Certification of compiler optimizations using Kleene algebra with tests'', Report 99-1779, Computer Science Department, Cornell University, Dec. 1999.]</ref>.

==Решение уравнений в регулярных выражениях==
Пусть <tex>X</tex> — некий [[Основные_определения:_алфавит,_слово,_язык,_конкатенация,_свободный_моноид_слов;_операции_над_языками | язык]], для которого выполняется равенство <tex>X = \alpha X + \beta </tex>, где <tex>\alpha,\,\beta</tex> — некие регулярные выражения над неким алфавитом  <tex>A</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пусть уравнение имеет вид <tex> X = \alpha X + \beta \Rightarrow \, 1)</tex> 
если <tex>\varepsilon \notin \alpha </tex>, тогда <tex> \alpha^{*} \beta</tex> — единственное решение <tex>2)</tex> если <tex>\varepsilon \in \alpha </tex>, тогда <tex> \alpha^{*}( \beta + L)</tex> — решение для <tex>\forall L</tex>
|proof=
<tex> 1) </tex> Пусть <tex>\varepsilon \notin \alpha </tex>. Тогда <tex>\forall i \geqslant 0: </tex> выражение <tex>\alpha^{i} \beta \subset X </tex>, следовательно <tex> \alpha^{*} \beta \subset X </tex>. Докажем это индукцией по <tex>i</tex>: при <tex>i = 0</tex> из начального равенства <tex>\beta \subset X</tex>, и если <tex>\alpha^{i} \beta \subset X</tex>, то <tex>\alpha^{i+1} \beta = \alpha \alpha^{i} \beta \subset \alpha X \subset X</tex>.

Пусть существует <tex> z \in X,\, z\notin \alpha^{*} \beta</tex> такой, что <tex> z </tex> — самое короткое; тогда <tex>z \notin \beta \subset \alpha^{*} \beta \Rightarrow z \in \alpha X, z=z_\alpha z', </tex> где <tex>z_\alpha \in \alpha, z' \in X, z' \notin \alpha^{*} \beta </tex>. 

Тогда <tex> z_\alpha \ne \varepsilon \Rightarrow z'</tex> короче <tex>z</tex>, противоречие, тогда не существует самого короткого <tex>z</tex>, значит не существует никакого.



<tex> 2)</tex> Пусть <tex> \varepsilon \in \alpha</tex>. Тогда можно представить этот язык в виде <tex>\alpha = \varepsilon + \alpha_{1}, \varepsilon \notin \alpha_{1}</tex>, а исходное равенство преобразуется в <tex>\varepsilon X + \alpha_{1} X + \beta = X</tex>. Теперь мы можем взять в качестве базы индукции не просто <tex>\beta</tex>, а любой язык <tex>L \supset \beta</tex>, или, что то же самое, любой <tex>\beta + L</tex>, и дальше показать <tex>\forall i \geqslant 0: {\alpha_{1}}^{i} (\beta + L) \subset X \Rightarrow {\alpha_{1}}^{*} (\beta + L) \subset X</tex>, а потом отсутствие самого короткого <tex>z \in X, z \notin {\alpha_{1}}^{*}(\beta + L)</tex>. Заметим, что <tex>\alpha^{*}={\alpha_{1}}^{*}</tex>, тогда <tex>X = {\alpha_{1}}^{*}(\beta + L) = \alpha^{*}(\beta + L)</tex>.

}}

==Решение системы уравнений в регулярных выражениях==
Пусть система уравнений имеет вид:


<tex>
\begin{cases}
    \alpha_{11} X_1 + \alpha_{12} X_2 + \dots + \alpha_{1n} X_n + \beta_1 = X_1 \\
    \alpha_{21} X_1 + \alpha_{22} X_2 + \dots + \alpha_{2n} X_n + \beta_2 = X_2\\
    \dots\\
    \alpha_{n1} X_1 + \alpha_{n2} X_2 + \dots + \alpha_{nn} X_n + \beta_n = X_n \\
\end{cases}
</tex>


'''Метод решения'''

Выразим <tex>X_1</tex> из первого уравнения и подставим во второе уравнение: <tex>X_2 = ( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) X_2 + (\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} + \alpha_{23}) X_3 + \dots + (\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} + \alpha_{2n}) X_n</tex> <tex>+ \beta_2</tex>. 

Пусть <tex> a =( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) </tex>, <tex> b =(\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} + \alpha_{23}) X_3 + \dots + (\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} + \alpha_{2n}) X_n + \beta_2 </tex>, тогда уравнение примет вид <tex>X_2=a X_2 + b</tex>. Его решением будет <tex>a^{*} b</tex>. Подставим в следующее уравнение выраженный <tex>X_2</tex>.

Далее выполняя схожие итерации получим уравнение <tex>X_n = a' X_n + b'</tex>, где <tex> a'=f( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} ),\, b'=g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} ) </tex>, тогда <tex>X_n= f^{*}( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )</tex>. 

Далее подставляя в полученные в ходе итераций уравнения найденный <tex> X_i </tex>, обратной прогонкой найдем <tex>X_1 \dots X_{n-1} </tex>.

== Пример решения системы уравнений в регулярных выражениях ==
Пусть нам нужно найти регулярное выражение, соответствующее языку <tex>L_0</tex>, слова которого интерпретируются как последовательности чисел <tex>0, 1, 2</tex>, а языку удовлетворяют слова, сумма чисел в которых делится на 3. Тогда доопределив языки <tex>L_1, L_2</tex>, сумма чисел в словах из <tex>L_i</tex> равна <tex>3 - i</tex> по модулю <tex>3</tex>, получим систему уравнений в регулярных выражениях:

<tex>
\begin{cases}
L_0 = 0L_0 + 1L_1 + 2L_2 + \varepsilon \\
L_1 = 2L_0 + 0L_1 + 1L_2 \\
L_2 = 1L_0 + 2L_1 + 0L_2
\end{cases}
</tex>

Поскольку нам нужно найти только <tex>L_0</tex>, чтобы избежать обратной прогонки, начнём выражать языки с <tex>L_2</tex>.

<tex>L_2 = 0L_2 + (1L_0 + 2L_1), \varepsilon \notin 0 \Rightarrow L_2 = 0^*(1L_0+2L_1)</tex>

<tex>L_1 = 2L_0 + 0L_1 + 1L_2 = 2L_0 + 0L_1 + 10^*(1L_0+2L_1) = </tex>

<tex> = (0 + 10^*2)L_1 + (2 + 10^*1)L_0, \varepsilon \notin (0 + 10^*2) \Rightarrow L_1 = (0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1)L_0</tex>

<tex>L_0 = 0L_0 + 1L_1 + 2L_2 + \varepsilon = 0L_0 + 1L_1 + 20^*(1L_0 + 2L_1) + \varepsilon = </tex>

<tex> = (0 + 20^*1)L_0 + (1 + 20^*2)L_1 + \varepsilon = </tex>

<tex>(0 + 20^*1)L_0 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1)L_0 + \varepsilon = </tex>

<tex> = (0 + 20^*1 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1))L_0 + \varepsilon </tex>

<tex>\varepsilon \notin (0 + 20^*1 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1)) \Rightarrow </tex>

<tex> \Rightarrow L_0 = (0 + 20^*1 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1))^* </tex>

== Примечания ==
<references/>

== См. также ==
* [[Альтернативное доказательство теоремы Клини (через систему уравнений в регулярных выражениях)]]

== Источники информации ==
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра_Клини Википедия {{---}} Алгебра Клини]
* [https://www.informatik.uni-augsburg.de/lehrstuehle/dbis/pmi/staff/moeller/talks/pdf/dagstuhl.pdf Applications of Kleene Algebra]
* [http://www-sst.informatik.tu-cottbus.de/~wwwti/Studium/04PSAutomaten/Zusamenfassungen/03DuSuikang.pdf Kleene Algebra and Regular Expressions]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
[[Категория: В разработке]]