Просмотр исходного текста страницы Решение RMQ с помощью разреженной таблицы

'''Разреженная таблица''' (англ. ''sparse table'') позволяет решать задачу online static RMQ (получение минимума или максимума на отрезке, когда элементы массива не могут изменяться, а запросы поступают последовательно) за <tex>O(1)</tex> на запрос, с предподсчётом за <tex>O(N \log N)</tex> и использованием <tex>O(N \log N)</tex> памяти.

{{Задача
|definition = Дан массив <tex>A[1 \ldots N]</tex> целых чисел. Поступают запросы вида <tex>(l, r)</tex>, для каждого из которых требуется найти минимум среди элементов <tex>A[l], A[l + 1], \ldots, A[r] </tex>.
}}

== Разреженная таблица ==
Разреженная таблица — двумерная структура данных <tex>ST[i][j]</tex>, для которой выполнено следующее: 

<tex>ST[i][j]=\min\left(A[i], A[i+1], \ldots, A[i+2^{j}-1]\right),\quad j \in [0 \ldots \log N]</tex>. 

Иначе говоря, в этой таблице хранятся минимумы на всех отрезках, длины которых равны степеням двойки. Объём памяти, занимаемый таблицей, равен <tex>O(N \log N)</tex>, и заполненными являются только те элементы, для которых <tex>i+2^j \leqslant N </tex>.

Простой метод построения таблицы заключён в следующем рекуррентном соотношении:
$$
ST[i][j]=
\begin{cases}
\min\left(ST[i][j-1], ST[i+2^{j-1}][j-1]\right),&\text{если $j > 0$;}\\
A[i], &\text{если $j = 0$;}
\end{cases}
$$

== Идемпотентность ==
Такая простота достигается за счет идемпотентности операции минимум: <tex>\min(a, a)=a</tex>. Это один из ключевых моментов этого метода, так как она позволяет нам корректно считать минимум в области пересечения отрезков. 

Пусть $\circ$ — произвольная бинарная операция, которая удовлетворяет свойствам:
* ассоциативности: $a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c $,
* коммутативности: $a \circ b = b \circ a$, 
* идемпотентности: $a \circ a = a $.


{{Утверждение
|statement=
$a_l \circ a_{l+1} \circ \ldots \circ a_r = (a_l \circ a_{l+1} \circ \ldots \circ a_{l + k}) \circ (a_{r - k} \circ a_{r - k + 1} \circ \ldots \circ a_r)$, где $\frac{r - l}{2} \leqslant k \leqslant  r - l$.
|proof=
Отрезок $(a_{r-k}, a_{l + k})$ содержится в обоих операндах правой части. Значит, каждый элемент из него входит два раза. По коммутативности мы можем располагать элементы в любом порядке, по ассоциативности мы можем выполнять операции в произвольном порядке, поэтому повторяющие в правой части элементы мы можем расположить рядом друг с другом и затем по идемпотентности один из них убрать. Переставляя оставшиеся элементы в правой затем легко получаем выражение в левой части.
}}

== Применение к задаче RMQ ==

<div> Предпосчитаем для длины отрезка <tex>l</tex> величину <tex>\lfloor \log_2l \rfloor</tex>. Для этого введем функцию <tex>fl</tex> (от ''floor'', т.к. логарифм округляется вниз):

 '''int''' '''fl'''('''int''' len):
     '''if''' len <tex>=</tex> 1
         '''return''' 0
     '''else'''
         '''return''' fl(<tex>\lfloor \cfrac{len}{2}\rfloor</tex>) + 1

Вычисление <tex>fl[l]</tex> происходит за <tex>O(\log (l))</tex>. А так как длина может принимать <tex>N</tex> различных значений, то суммарное время предпосчета составляет <tex>O(N\log N)</tex>.

Пусть теперь дан запрос <tex>(l, r)</tex>.  Заметим, что <tex>\min(A[l], A[l+1], \ldots, A[r]) = \min\left(ST[l][j], ST[r-2^j+1][j]\right)</tex>, где <tex>j = \max \{k \mid 2^k \leqslant r - l + 1\}</tex>, то есть логарифм длины запрашиваемого отрезка, округленный вниз. Но эту величину мы уже предпосчитали, поэтому запрос выполняется за <tex>O (1)</tex>.

[[Файл:SparseTableRMQ.png|right|Решение задачи RMQ на разреженной таблице]]

Из выше доказанной теоремы следует, что этот метод работает не только с операцией минимум, но и с любой идемпотентной, ассоциативной и коммутативной операцией. Таким образом мы получаем целый класс задач, решаемых разреженной таблицей.
<div style="clear:both"></div>

== См. также ==
* [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ | Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]
* [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера | Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
* [[Сведение задачи RMQ к задаче LCA | Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
* [[ Heavy-light декомпозиция |  Heavy-light декомпозиция]]

== Источники информации==
* ''Bender, M.A., Farach-Colton, M. et al.'' — '''Lowest common ancestors in trees and directed acyclic graphs'''. — J. Algorithms 57(2) (2005) —  с. 75–94.

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]