Просмотр исходного текста страницы Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>G</tex> — произвольный граф. Превратим каждое его ребро в дугу, придав ребру одно из двух возможных направлений. Полученный [[Основные определения теории графов#Ориентированные графы|орграф]] на том же самом множестве вершин будем называть '''ориентацией''' графа <tex>G</tex>. 
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>K</tex> — [[Матрица Кирхгофа| матрица Кирхгофа]] графа <tex>G</tex>, <tex>I</tex> — [[Матрица инцидентности графа| матрица инцидентности]] <tex>G</tex> с некоторой ориентацией. Тогда 
 <tex>K = I \cdot I^T.</tex>

|proof=
При умножении <tex>i</tex>-й строки исходной матрицы <tex>I</tex> на <tex>j</tex>-й столбец транспонированной матрицы <tex>I^T </tex> перемножаются <tex>i</tex>-я и <tex>j</tex>-я строки исходной матрицы. При умножении <tex>i</tex>-й строки на саму себя на диагонали полученной матрицы получится сумма квадратов элементов <tex>i</tex>-й строки, которая равна, очевидно, <tex>\deg(v_i)</tex>. Пусть теперь <tex>i \ne j</tex>. Если <tex> (v_i, v_j) \in E </tex>,  то существует ровно одно ребро, соединяющее <tex> v_i </tex> и <tex> v_j </tex>, следовательно результат перемножения <tex>i</tex>-й и <tex>j</tex>-й строк равен <tex>-1</tex>, в противном случае он равен <tex>0</tex> в силу отсутствия ребра, инцидентного обеим вершинам. Определенная данными условиями матрица и является матрицей Кирхгофа.
}}
{|class="wikitable"
!Граф
!Матрица Кирхгофа
!Матрица инцидентности
|-
|[[Файл:Link_kirhgof_matrix_1.png|200px]]
|<tex>\left(\begin{array}{rrrrrr}
 2 & -1 &  0 &  0 & -1 &  0\\
-1 &  3 & -1 &  0 & -1 &  0\\
 0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0\\
 0 &  0 & -1 &  3 & -1 & -1\\
-1 & -1 &  0 & -1 &  3 &  0\\
 0 &  0 &  0 & -1 &  0 &  1\\
\end{array}\right)</tex>
|<tex>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</tex>
|}

==См. также==
*[[Матрица Кирхгофа]]
*[[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа]]
*[[Количество помеченных деревьев]]
*[[Коды Прюфера]]

==Источники информации==

*Асанов М., Баранский В., Расин В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]]
[[Категория: Свойства остовных деревьев ]]