Просмотр исходного текста страницы Согласованный интервал

[[Категория: Параллельное программирование]]
{{Определение
|definition=
'''Интервал''' — упорядоченная пара [[Срез, согласованный срез|срезов]] (не обязательно согласованных) <tex>[G, H]</tex> такая, что <tex>G \le H</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Интервал $[G, H]$ является '''согласованным''', если <tex>\forall e, g: g \in G \land e \rightarrow g \Rightarrow e \in H</tex>.
}}
Это значит, что нет сообщений, которые пересекают весь согласованный интервал в обратную сторону (или, что то же самое, нет и "произошло-до" в обратную сторону).
Если взять $[G, G]$, то получим в точности определение согласованного среза.

Теорема: "интервал $[G, H]$ согласован" равносильно "существует согласованный срез $X$ внутри интервала: $G \le X \le H$".

В одну сторону очевидно: если внутри интервала есть согласованный срез, то этот срез в обратную сторону сообщения
пересекать не могут. Значит, не могут они пересекать и весь интервал.

В обратную сторону (на экзамене не требуется): рассмотрим произвольный согласованный интервал <tex>[G, H]</tex>.
В доказательстве ниже будем считать, что $a \to a$ для простоты (но можно переписать доказательство и без рефлексивности).

<tex>G</tex> может не быть согласованным срезом (если есть стрелочка из <tex>H \setminus G</tex> в <tex>G</tex>), что печально.
Но можно попробовать пойти по стрелочкам в обратную сторону.
Придумаем формальное "замыкание" <tex>G</tex>: возьмём множество <tex>X = \{ e \mid \exists g \in G \colon e \rightarrow g \}</tex>.
* $G \subseteq X$ по построению (тут пользуемся тем, что $a \to a$).
* $X \subseteq H$, иначе есть стрелочка, пересекающая согласованный интервал в обратную сторону.
* $X$ является срезом, так как если есть $a < b$ и $b \in X$, есть $g \in G$ такое, что $b \rightarrow g$. По транзитивности имеем $a \rightarrow g$, что и требуется.
* $X$ является согласованным срезом. Пусть есть события $a \rightarrow b$, причём $b \in X$. Тогда есть такое $g \in G$, что $b \rightarrow g$. Следовательно, $a \rightarrow g$. Значит, $a \in X$, что и требовалось.