Просмотр исходного текста страницы Сортирующие сети для квадратичных сортировок

Рассмотрим модели [[Сортирующие сети|сортирующих сетей]] для квадратичных сортировок. 

== Сортирующие сети с последовательной сортировкой ==

На один слой будем устанавливать только один компаратор. Все последующие сети получаются простым моделированием соответствующих сортировок.
{| cellpadding="10"
| '''[[Сортировка пузырьком]]''' || '''[[Сортировка вставками]]''' || '''[[Сортировка выбором]]'''
|-
| [[Файл:Bubblesort.png]] || [[Файл:Insertsort.png]] || [[Файл:Choosesort.png‎]]
|}

== Сортирующие сети с параллельной сортировкой ==

На один слой устанавливается несколько компараторов.

=== Сортировка пузырьком и вставками ===

Заметим, что если сжать последовательные сортирующие сети пузырьком и вставками, то результат будет одним и тем же. Это видно из симметрии расположения компараторов на картинках выше.
{{
Утверждение
|statement=
 В результирующей сети будет <tex>(2n - 3)</tex> слоев, где <tex>n</tex> — количество входов.
|proof= 
Докажем данное утверждение по принципу математической индукции. 

'''База индукции''':

При <tex> n = 2 </tex>. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется. 

'''Шаг индукции''': 

Пусть <tex> S(n) = 2n - 3 </tex> — количество слоев в сети сортировки.

При переходе от сортирующей сети с <tex>n</tex> входами к сети с <tex>n + 1</tex> входами, добавляем <tex> n </tex> дополнительных компараторов (<tex>[1:2],[2:3]\dots[n:n + 1]</tex> или <tex>[n + 1:n],[n:n + 1]\dots[1:2]</tex>, т.к. возможны две стратегии добавления; отсюда, кстати, тоже видна эквивалентность схем для обоих сортировок). Будем также поддерживать сортирующую сеть в виде "треугольной" сети. Таким образом компараторы <tex>[i:i+1],\ i \geqslant 3</tex> можно расположить в существующих слоях над самым верхним компаратором в соответствующем слое. То есть в сети с <tex> n </tex> входами был слой с единственным компаратором <tex>[1:2]</tex>, поэтому над ним можно разместить компаратор <tex>[3 : 4]</tex>, на <tex>[2:3]</tex> {{---}} <tex>[4:5]</tex>. Затем на следующем слое будет уже два компаратора: <tex>[3 : 4]</tex> над <tex>[1:2]</tex>, поэтому сверху можно добавить <tex> [5: 6]</tex>. В общем виде, на слое с номером <tex> k \geqslant 0 </tex> с конца (до середины треугольника), будет <tex>\left\lfloor\dfrac{k}{2}\right\rfloor + 1</tex> компараторов, последним из которых является <tex>[k + 1 : k + 2]</tex>, следовательно, на этот слой можно добавить компаратор 
<tex>[k + 3 : k + 4]</tex>.

Значит, новые слои создадутся лишь благодаря компаратором <tex>[1:2]</tex> и <tex>[2:3]</tex>, поэтому число слоёв в новой сети составит <tex>S(n+1) = 2n - 3 + 1 = 2n - 1 = 2(n + 1) - 3</tex>, что удовлетворяет нашему соотношению.

}}

Сортирующая сеть для <tex> n = 6 </tex>: 

[[Файл:Parralelsort.png‎]]

=== Сортировка выбором ===

Сеть для [[Сортировка выбором | сортировки выбором]] выглядит иначе. При переходе к сети с <tex> n + 1 </tex> входами, добавляется <tex> n </tex> компараторов: <tex> [0:1],[0:2]\dots[0:n] </tex>, .

[[Файл:Choosesortparralel2.png‎]]

{{
Утверждение
|statement=
В результирующей сети будет <tex>2n - 3</tex> слоев, где <tex> n </tex> — количество входов.
|proof= 
Определим операцию вложения компаратора <tex> [i:j] </tex> в компаратор <tex> [t:s] </tex> : разместим компаратор  <tex> [i:j] </tex> и <tex> [t:s] </tex> на одном слое, так, что <tex> t < i < j < s </tex>.

Теперь воспользуемся принципом математической индукции.

'''База индукции''':

<tex> n = 2 </tex>. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется. 

'''Шаг индукции''':

Пусть <tex> S(n) </tex> — количество слоев в сети сортировки с <tex> n </tex> входами.

При переходе от сортирующей сети с <tex>n</tex> входами к сети с <tex>n + 1</tex> входами, добавляем <tex> n </tex> компараторов <tex>\left( [0:1] \dots [0:n]\right) </tex>. Заметим, что в <tex> n - 2 </tex> добавленных компаратора можно вложить <tex> n - 2 </tex> компараторов из предыдущей сети, так, вкладывая один компаратор в другой, образуется новый слой, т.е. количество слоев не изменяется. Тогда останется два компаратора: <tex>[0:1], [0:2] </tex> в которые ничего нельзя вложить, т.е. количество слоев изменяется на <tex> 2 = S(n + 1) - S(n) </tex>. 

Тогда наш переход выполняется и формула верна. Что и требовалось доказать.

}}

Пример правильной и ошибочной сети для <tex> n = 4 </tex>. Если перенести свободные компараторы и слить их в один слой, то можно уменьшить количество слоев, но при этом сеть перестает быть сортирующей (при <tex> n = 4 </tex> ошибка будет возникать на последовательности <tex> [0,1,0,0] </tex>).

[[Файл:MyRis.jpg]]

==См.также==
* [[Сортировочные сети с особыми свойствами]]

== Источники информации==
*Дональд Э. Кнут. Искусство программирования. Том 3. Сортировка и Поиск. стр. 238— ISBN 0-201-89685-0
*Кормен, Томас Х.,Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 27. Сортирующие сети // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e издание. — М.: «Вильямс», 2005. — С. 799 - 822. — ISBN 5-8459-0857-4.
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B5%D1%82%D1%8C_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8 Википедия — Сети сортировки]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Сортирующие сети]]