Просмотр исходного текста страницы Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке

[[Лемма Римана-Лебега|<<]][[Функции ограниченной вариации|>>]]

{{В разработке}}
В этом параграфе установим ряд результатов, гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>S_n(f, x) \to S</tex>.

__TOC__

== Теорема Дини ==

{{Теорема
|author=
Дини
|statement=
<tex>f\in L_1</tex>, <tex> S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2S</tex> . Тогда <tex> S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)</tex>
|proof=
<tex>S_n(f, x) - S = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac1{2\pi} \frac{\sin(n + 1/2)t}{\sin t/2} dt</tex>
<tex>= \frac1{2\pi} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \cos nt dt + \frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt</tex>

По лемме Римана-Лебега, так как <tex>\varphi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, первое слагаемое при <tex>n\to\infty</tex> 
стремится к 0.

Так как, по условию, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < \varepsilon</tex>

Тогда <tex>\left|\int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|</tex>
<tex>\le \int\limits_0^{\delta} |\varphi_x(t)| \frac{1}{\sin t/2 [\ge t/\pi]} dt + \left| \int\limits_\delta^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|</tex>

<tex>\int\limits_0^\delta \le \pi \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt</tex>
<tex>\le \pi\varepsilon </tex> по выбору <tex>\delta</tex> и по условиям теоремы.

<tex>\int\limits_\delta^\pi \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 </tex> по лемме Римана-Лебега, так как <tex>\varphi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, а <tex>\frac{\cos t/2}{\sin t/2}</tex> — ограниченная и суммируемая.
}}

Выведем некоторые следствия:

=== Следствие о четырех пределах ===

{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=
Пусть точка <tex>x</tex> регулярна, а также существуют <tex>\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex> и <tex>\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна <tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
|proof=
''Примечание'': Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке <tex>x</tex> у <tex>f</tex> есть производная. 

Доказательство сводится к проверке условий Дини для <tex>s = \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>

<tex>\frac{|\varphi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t}  + \frac{|f(x - t) - f(x - 0)|}{t}</tex>

Первое слагаемое стремится на бесконечности к <tex>\alpha</tex>, второе {{---}} к <tex>\beta</tex>.

Значит, <tex>\ \frac{|\varphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуля и суммируема, то есть, теорема Дини применима.
}}

=== Следствие 2 ===

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>S_n(f, x) \to S</tex>. 
Тогда <tex>S = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
|proof=
<tex>x</tex>{{---}} регулярная точка <tex>\Rightarrow</tex> по следствию теоремы Фейера, 

<tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>

Но суммы Фейера {{---}} способ средних арифметических для сумм ряда Фурье.

Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>S_n(f, x) \to S</tex>, то и <tex>\sigma_n(f, x) \to S</tex>.

Тогда, по единственности предела, <tex>S=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>
}}

=== Следствие 3 ===

{{Утверждение
|statement=
<tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex>
|proof=
Действительно, из совпадения коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\sigma_n(f, x) \to f(x)</tex>, <tex>\sigma_n(g, x) \to g(x)</tex> для любого <tex> x </tex>. Тогда, сопоставляя с равенством сумм, по единственности предела получаем: <tex> f = g </tex>.
}}

[[Лемма Римана-Лебега|<<]][[Функции ограниченной вариации|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]