Просмотр исходного текста страницы Теорема о связи вопросов EXP=NEXP и P=NP

=== Формулировка ===
:<tex>\text{P=NP} \Rightarrow \text{EXP=NEXP}</tex>

----

=== Доказательство ===
Рассмотрим [[Классы_EXP,_NEXP._Полнота_языков_EXP_и_NEXP#Полнота класса NEXP|NEXP-полный]] язык <tex>\text{BH}_{2N}=\{\langle m, x, t \rangle ~|~ m(x)=1, T(m, x) \le t \}</tex>.
Докажем, что при условии выполнения равенства <tex>\text{P=NP,~BH}_{2N} \in \text{EXP}</tex>.

Сведем <tex>\text{BH}_{2N}</tex> к <tex>\text{BH}_{1N}</tex> [[Сведение_по_Карпу|по Карпу]] за экпоненциальное время <tex>\left( \text{BH}_{2N} \le_{\tiny{\text{EXP}}} \text{BH}_{1N} \right)</tex>.
Для этого запишем <tex>\text{t}</tex> в унарной системе счисления: <tex>\langle m, x, t \rangle \rightarrow \langle m, x, 1^t \rangle</tex>.
Ясно, что для выполнение этого сведения потребуется выполнить <tex>O(2^{p_1(t)})</tex> операций, где <tex>p_1</tex> &mdash; полином.

Поскольку мы предположили, что <tex>\text{P=NP}</tex>, то существует детерминированная машина Тьюринга <tex>M</tex>, разрешающая <tex>\text{BH}_{1N}</tex> за полиномиальное от длины
входа время <tex>\left( T(M, \langle m, x, 1^t \rangle) ~=~ O(p_2(|\langle m, x, 1^t \rangle|)),~ p_2 \in \text{\textit{\large{poly}}} \right)</tex>. Имея ее, легко построить машину <tex>M'</tex>, которая сначала выполняла бы описанное выше сведение, а затем подавала бы полученный результат на вход машине <tex>M</tex>. То есть <tex>M'(\langle m, x, t \rangle) ~=~ M(\langle m, x, 1^t \rangle)</tex>.

Заметим, что время работы машины <tex>M'</tex> складывается из времени, необходимого на преобразование входа, и времени работы машины <tex>M</tex>.
:<tex>T(M', \langle m, x, t \rangle) ~=~ O(2^{p_1(t)}) + O(p_2(|\langle m, x, 1^t \rangle|)) = O(2^{poly(|\langle m, x, t \rangle|)})</tex>

Полученное равенство означает, что <tex>\text{BH}_{2N} \in \text{EXP}</tex>, откуда в силу [[Классы_EXP,_NEXP._Полнота_языков_EXP_и_NEXP#Полнота класса NEXP|NEXP-полноты]] языка <tex>\text{BH}_{2N}</tex> вытекает включение <tex>\text{NEXP} \subset \text{EXP}</tex>. Поскольку обратное включение <tex>\left(\text{NEXP} \supset \text{EXP}\right)</tex> тривиально, то это и означает, что <tex>\text{EXP=NEXP}</tex>