Просмотр исходного текста страницы Точки Лебега суммируемой функции

{{В разработке}}
{{TODO|t=Этой темы, видимо, не будет на экзамене, так что забить на неё}}


E \in \mathbb R^n, f — суммируемая функция на E, \int\limits_E |f| d \lambda_n < + \infty.

По определению суммируемой функции мы можем подобрать g — ограниченную и суммируемую на E таким образом, что:

\int\limits_E |f - g| d \lambda_n < \varepsilon

|g(x)| \le M на E.

По теореме Лузина имея \varepsilon мы можем подобрать неперывную на \mathbb R^n функцию \varphi, которая ограничена |\varphi(x)| \le M и \lambda_n E(g \ne \varphi) < \frac{\varepsilon}{M}.

Тогда \int\limits_E |f - \varphi| \le \int\limits_E |f - g| + \int\limits_E |g - \varphi| \le \varepsilon + \int\limits_E |g - \varphi| 

\int\limits_E |g - \varphi| = \int\limits_{E(\varphi \ne g)} |g - \varphi| \le \int\limits_{E(\varphi \ne g)} (|g| + |\varphi|) \le